静定平面桁架课件

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院,*,5.2,静定平面桁架,计算静定平面桁架各杆轴力的基本方法，仍是隔离体平衡法。,一、结点法,结点法是截取桁架一个结点为隔离体，利用平面汇交力系的两个平衡条件，求解各未知轴力的方法。,结点法最适合用于计算简单桁架。,根据截取隔离体方式的不同，又区分为,结点法,和,截面法,。,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院,1,、利用力三角形与长度三角形对应边成比例的关系简化计算,为了便于计算，一般不宜直接计算斜杆的轴力,F,N,，,而是将其分解为水平分力,F,x,和,F,y,先行计算。利用这个比例关系，就可以很简便地由其中一个力推算其它两个力，而不需要使用三角函数进行计算。,F,N,F,N,F,x,F,y,l,x,l,y,l,o,x,y,B,A,a,(,长度三角形,),(,力三角形,),All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院,用图示桁架为例，来说明结点法的应用：,首先，可由桁架的整体平衡条件，求出支座反力，标注于图中。然后，即可截取各结点解算杆件内力。,15kN,15kN,15kN,4m,4m,4m,3m,1,2,3,4,5,6,7,F,6,=120kN,F,7H,=120kN,F,7V,=45kN,1,15kN,F,N12,F,N13,F,x13,F,y13,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院,按结点,1,，,2,，,，,6,依次计算各结点相关杆件轴力 。结点,7,用于校核。,15kN,15kN,15kN,4m,4m,4m,3m,1,2,3,4,5,6,7,F,6,=120kN,F,7H,=120kN,F,7V,=45kN,15,15,25,20,1,20,2,15,20,20,15,3,15,25,15,20,30,40,50,60,4,60,60,0,5,15,20,50,30,40,0,45,60,75,120,6,60,60,45,75,45,120,7,120,45,45,120,15kN,15kN,15kN,4m,4m,4m,3m,1,2,3,4,5,6,7,F,6,=120kN,F,7H,=120kN,F,7V,=45kN,-20,-20,-120,20,15,15,25,50,40,30,0,60,45,75,-45,60,60,-,+,+,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院,2,、利用结点平衡的特殊情况，判定零杆和等力杆,(1),关于零杆的判断,在给定荷载作用下，桁架杆件中轴力为零的杆件，称为,零杆,。,1,）,L,型结点：,成,L,型汇交的两杆结点无荷载作用，则这两杆皆为零杆。,2,）,T,型结点：,成,T,型汇交的三杆结点无荷载作用，则不共线的第三杆（又称单杆）必为零杆，而共线的两杆内力相等且正负号相同（同为拉力或压力）。图,5-6c,可视为,T,型结点的推广，图中单杆的轴力,F,N2,=0,。,L,型结点,F,N1,=0,F,N2,=0,T,型结点（推广）,F,N1,=,F,P,F,N2,=0,F,P,T,型结点,F,N3,=0(,单,杆,),F,N2,=,F,N1,F,N1,=,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院,(2),关于等力杆的判断,1,）,X,型结点：,成,X,型汇交的四杆结点无荷载作用，则,彼此共线的杆件的内力两两相等,。,2,）,K,型结点：,成,K,型汇交的四杆结点，其中两杆共线，而另外两杆在此直线同侧且交角相等，若结点上无荷载作用，则,不共线的两杆内力大小相等而符号相反。,3,）,Y,型结点：,成,Y,型汇交的三杆结点，其中两杆分别在第三杆的两侧且交角相等，若结点上无与该第三杆轴线方向偏斜的荷载作用，则该,两杆内力大小相等且符号相同,。,X,型结点,F,N1,F,N3,F,N2,=,F,N1,F,N4,=,F,N3,K,型结点,F,N1,F,N3,F,N2,= -,F,N1,F,N4,F,N3,a,a,Y,型结点,F,N1,F,N3,F,N2,=,F,N1,a,a,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院,【,例,5-1】,试求图示桁架各杆的轴力。,解：,(1),利用桁架的整体平衡条件，求出支座,A,、,B,的反力，并标注于图中。,(2),判断零杆,(3),计算其余杆件的轴力,A,B,C,D,E,F,P,F,P,1.5,a,a,a,a,a,1.5,a,4,F,P,/3,4,F,P,/3,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,E,F,P,F,NE1,F,NE2,F,xE2,F,yE2,A,B,C,D,E,F,P,-4,F,P,/3,-4,F,P,/3,-4,F,P,/3,-4,F,P,/3,5,F,P,/3,5,F,P,/3,5,F,P,/3,5,F,P,/3,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院,【,例,5-2】,试求图,5-9a,所示桁架杆件,a,的轴力。,首先，假设,F,N14,=,F,N,，,取结点,1,为隔离体，由 可得,F,N12,=,F,N14,=,F,N,l,l,l,l,F,P,1,2,3,4,a,1,设,F,N14,=,F,N,F,N12,=,F,N,F,N,a,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院,依次由结点,2,（属,K,型结点推广情况）和结点,3,（属,K,型结点情况），可判定,F,N23,=,-,F,N12,= -,F,N,F,N34,=,-,F,N23,=,F,N,l,l,l,l,F,P,1,2,3,4,a,1,设,F,N14,=,F,N,F,N12,=,F,N,F,N,a,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院,再取结点,4,为隔离体，由 ，得,（拉力）,l,l,l,l,F,P,1,2,3,4,a,1,设,F,N14,=,F,N,F,N12,=,F,N,F,N,a,4,F,N,F,N,F,P,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院,最后，再回到结点,1,，由 ，得,（压力）,l,l,l,l,F,P,1,2,3,4,a,1,4,设,F,N14,=,F,N,F,N12,=,F,N,F,N,a,F,N,F,N,F,P,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院,上述这种解题方法，称,通路法,（或,初参数法,）。通路法实际上是结点法（或下面将介绍的截面法）再加上一“通路边界的平衡条件”。,通路法的具体作法是,：,1,）选择一适当的通路（如本例从,1234,再回到,1,），要求回路要通畅，且愈短愈好。先设通路上一杆的轴力为,F,N,。,2,）由结点法（或截面法）依次求出通路上其它杆的轴力，表为初参数,F,N,的函数。,3,）最后，由结点平衡或取部分结构的平衡，利用通路边界的平衡条件，求出,F,N,，,于是，整个桁架的计算即无困难。,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院,3,、求解一个结点同时包含两个未知斜杆内力的简便方法,由 ，得,于是，可由比例关系求得,F,P,F,P,F,P,F,P,A,B,C,D,E,F,G,H,2m,1,2,2m,2m,2m,1m,1m,3,F,P,1.5,F,P,-,1.5,F,P,1.5,F,P,1.5,F,P,3,F,P,3,F,P,C,F,A,D,G,F,NAC,F,N1,F,x1,F,N2,F,x2,F,y1,F,y2,-,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院,又由 ，得,于是，可由比例关系求得,一般来说，在研究平衡问题时，可将任何一个力（如斜杆中的轴力）在其作用线上之任一点（如某结点），沿,x,、,y,方向分解为两个分力，用以代替原力参加计算。,F,P,F,P,F,P,F,P,A,B,C,D,E,F,G,H,2m,1,2,2m,2m,2m,1m,1m,3,F,P,1.5,F,P,-,1.5,F,P,1.5,F,P,1.5,F,P,3,F,P,3,F,P,C,F,A,D,G,F,NAC,F,N1,F,x1,F,N2,F,x2,F,y1,F,y2,-,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院,二、截面法,截面法是截取桁架一部分（包括两个以上结点）为隔离体，利用平面一般力系的三个平衡条件，求解所截杆件未知轴力的方法。截面法最适用于联合桁架的计算；简单桁架中少数指定杆件的内力计算。,1,、选择适当的截面，以便于计算要求的内力,【,例,5-3】,试求图示桁架指定杆件,a,、,b,的轴力。,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,F,P,F,P,F,P,F,P,2,F,P,2,F,P,a,b,a,a,a,a,a,a,a,a,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院,解：取,-,截面左边（或右边）部分为隔离体，将使问题得以顺利解决。而且，可由一个平衡方程解出一个未知力。,由 ，可得,1,2,7,10,8,2,F,P,F,P,a,b,F,P,F,N,a,F,N,b,F,N8,10,F,N2,9,F,N9,10,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,F,P,F,P,F,P,F,P,2,F,P,2,F,P,a,b,a,a,a,a,a,a,a,a,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院,由 ，可得,1,2,7,10,8,2,F,P,F,P,a,b,F,P,F,N,a,F,N,b,F,N8,10,F,N2,9,F,N9,10,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,F,P,F,P,F,P,F,P,2,F,P,2,F,P,a,b,a,a,a,a,a,a,a,a,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院,2,、选择适当的平衡方程，使每个方程中只含一个未知力,F,P,F,P,F,P,F,P,F,P,F,Ay,F,By,a,A,B,C,0,F,P,F,Ay,F,By,a,C,A,B,0,F,P,F,P,F,Ay,C,F,N,a,(,矩心,),F,P,F,Ay,A,C,x,y,F,N,a,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院,【,例,5-4】,试求图,5-14a,所示桁架指定杆件,1,、,2,、,3,的轴力。,解：截取截面,-,左边部分为隔离体（参见图,5-14b,、,c,、,d,），,只需注意选择适当矩心，分别列写出相应的三个力矩平衡方程，即可求出所截开三杆的未知轴力。,F,P,F,P,F,P,A,B,C,D,E,F,G,H,2m,2m,2m,2m,1m,1m,2,1,3,1.5,F,P,1.5,F,P,F,P,A,C,F,1.5,F,P,G,F,N1,F,N2,F,N3,F,x3,F,y3,D,(,矩心一,),F,P,A,C,1.5,F,P,F,F,N1,F,N3,F,N2,F,x2,F,y2,G,(,矩心二,),F,P,A,C,1.5,F,P,(,矩心三,),F,N1,F,N3,F,N2,F,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院,(1)求,F,N3,在 图,5-14b,中，由 ，得,1.5,F,P,4 -,F,P,2 +,F,x,3,2=0,F,P,F,P,F,P,A,B,C,D,E,F,G,H,2m,2m,2m,2m,1m,1m,2,1,3,1.5,F,P,1.5,F,P,F,P,A,C,F,1.5,F,P,G,F,N1,F,N2,F,N3,F,x3,F,y3,D,(,矩心一,),All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院,(2),求,F,N2,：,在图,5-14c,中，由 ，得,F,P,F,P,F,P,A,B,C,D,E,F,G,H,2m,2m,2m,2m,1m,1m,2,1,3,1.5,F,P,1.5,F,P,F,P,A,C,1.5,F,P,F,F,N1,F,N3,F,N2,F,x2,F,y2,G,(,矩心二,),All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院,(3),求,F,N1,：,在图,5-14d,中，由 ，得,在分析桁架内力时，如能选择合适的截面、合适的平衡方程及其投影轴或矩心，并将杆件未知轴力在适当的位置进行分解，就可以避免解联立方程，做到一个平衡方程求出一个未知轴力，从而使计算工作得以简化。,F,P,F,P,F,P,A,B,C,D,E,F,G,H,2m,2m,2m,2m,1m,1m,2,1,3,1.5,F,P,1.5,F,P,F,P,A,C,1.5,F,P,(,矩心三,),F,N1,F,N3,F,N2,F,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院,3,、截面法求解联合桁架,截面法还常用于计算联合桁架中各简单桁架之间联系杆的轴力。,作,-,截面并取左边（或右边）为隔离体，由 求出,F,N,a,。,F,P,F,P,F,P,F,P,F,Ay,F,By,A,B,C,D,E,a,(,联系杆,),F,P,F,P,F,P,F,P,F,Ay,A,C,D,F,N,a,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院,F,P,F,P,F,Ay,F,By,A,B,C,D,a,b,c,1,2,F,P,F,By,F,N,b,F,N,a,F,N,c,F,P,F,N1,F,N1,F,N2,F,N2,B,C,可作一封闭截面,-,，截取隔离体如图,5-16b,所示。,由 可求出,F,N,b,。,由 ，可求出,F,N,a,。,由 ，可求出,F,N,c,。,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院,三、结点法与截面法的联合运用,【,例,5-5】,试求图,5-17,所示桁架指定杆件,a,、,b,、,c,的轴力。,解：,(1),求,F,N,a,：,取截面,-,上边部分为隔离体,F,P,1,2,a,b,c,2m,2m,2m,4m,4m,3m,+,-,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院,(2),求,F,N,b,：,取结点,1,为隔离体,F,P,1,2,a,b,c,2m,2m,2m,4m,4m,3m,+,-,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院,(3),求,F,N,c,：,取结点,2,为隔离体,F,P,1,2,a,b,c,2m,2m,2m,4m,4m,3m,+,-,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院,【,例,5-6】,试求图,5-18a,所示桁架指定杆件,a,、,b,、,c,的轴力。,解：,(,1),求,F,N,a,：,取截面,-,左边为隔离体,由,求得,F,N,a,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,a,b,c,F,1y,F,12y,F,P,1,2,3,F,1y,4,6,F,N,a,(,矩心一,),All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院,(2),求,F,N,b,：,取截面,-,左边为隔离体,由,求出,F,xb,，,从而按比例求得,F,N,b,。,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,a,b,c,F,1y,F,12y,F,P,F,1y,1,2,3,4,5,6,7,F,N,a,F,N,b,(,矩心二,),F,xb,F,yb,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院,(3),求,F,N,c,：,取结点,5,为隔离体,该结点属于,K,型结点,F,N,c,= -,F,N,b,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,a,b,c,F,1y,F,12y,F,P,5,F,N,c,= -,F,N,b,F,N,b,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院,【,例,5-7】,试求图,5-19a,所示桁架指定杆件,a,、,b,的轴力。,解：,(1),取结点,6,为隔离体（图,5-19b,），,由 ，得,由 ，得,1,2,3,4,5,6,7,8,a,b,2m,2m,2m,2m,2m,2m,2m,60kN,60kN,80kN,80kN,6,60kN,-60kN,-60kN,F,N76,=60kN,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院,(2),取截面,-,左边为隔离体（图,5-19c,），,由 ，得,再由 （图,5-19c,），,得,1,2,3,4,5,6,7,8,a,b,2m,2m,2m,2m,2m,2m,2m,60kN,60kN,80kN,80kN,5,7,3,9,60kN,80kN,F,N76,=60kN,F,N,b,F,N13,F,N38,(,矩心一,),(,矩心二,),All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院,(3),取结点,8,为隔离体（图,5-19d,），,属于,X,型结点，可知,1,2,3,4,5,6,7,8,a,b,2m,2m,2m,2m,2m,2m,2m,60kN,60kN,80kN,80kN,8,F,N,a,F,N38,F,N18,F,N84,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院,四、对称桁架的计算,若桁架的几何形状、支承形式和杆件刚度（截面尺寸及材料）都关于某一轴线对称，则称此桁架为,对称桁架,。,F,P,F,P,F,P,F,P,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院,1,、对称桁架的基本特性,(1),在对称荷载作用下，对称杆件的内力是对称的，即大小相等，且拉压一致。,(2),在反对称荷载作用下，对称杆件的内力是反对称的，即大小相等，但拉压相反。,(3),在任意荷载作用下，可将荷载分解为对称荷载与反对称荷载两组，分别计算出内力后再叠加。,对称荷载,，是指位于对称轴两边大小相等、若将结构沿对称轴对折后，其作用线重合且方向相同的荷载；而,反对称荷载,，则是指位于对称轴两边大小相等、若将结构沿对称轴对折后，其作用线重合但方向相反的荷载。,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院,【,例,5-8】,试利用比较简捷的方法计算图,5-21a,所示桁架各杆的轴力。,解：利用对称性分析该桁架。首先，将对称桁架上作用的一般荷载分解为对称荷载和反对称荷载两种情况，分别计算，如图,5-21b,和图,5-21c,所示。然后将各对应杆的轴力叠加 。计算过程从略。,1,1,2,3,4,5,2,F,P,3,F,P,/2,F,P,/2,a,a,a,a,a,F,P,/2,3,F,P,/2,-F,P,F,P,F,P,F,P,F,P,F,P,F,P,F,P,F,P,F,P,F,P,-F,P,-F,P,-,-,1,2,3,4,5,1,F,P,/2,F,P,/2,F,P,/2,-F,P,/2,F,P,F,P,F,P,/2,F,P,/2,F,P,/2,F,P,/2,-,+,2,3,4,5,=,+,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院,【,例,5-9】,利用对称性重新计算例,5-2,中图,5-9,所示桁架杆件,a,的轴力。,解：,(1),将图,5-22a,荷载与支座反力一起分解为对称荷载和反对称荷载，如图,5-22b,、,c,所示。,(2),求在对称荷载作用下杆件,a,的轴力,F,N,a,1,：,F,N,a,1,=,-,F,P,。,F,P,F,P,F,P,/2,F,P,/2,a,l,l,l,l,1,2,3,4,5,6,7,1,2,3,4,5,6,7,F,P,/2,F,P,/2,F,P,/2,F,P,/2,0,0,F,P,/2,F,P,/2,F,P,/2,F,P,/2,-F,P,+,+,+,=,F,P,/2,F,P,/2,1,2,3,4,5,6,7,F,P,/2,F,P,/2,F,P,/2,F,P,/2,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院,(3),求在反对称荷载作用下杆件,a,的轴力,F,N,a,2,：,F,N,a,2,= 0,(4),将对称荷载作用与反对称荷载作用下杆件,a,的轴力叠加，即可得出图,5-22a,所示杆件的轴力为,F,N,a,=,F,N,a,1,+,F,N,a,2,= (-,F,P,) + 0 = -,F,P,F,P,F,P,F,P,/2,F,P,/2,a,l,l,l,l,1,2,3,4,5,6,7,1,2,3,4,5,6,7,F,P,/2,F,P,/2,F,P,/2,F,P,/2,0,0,F,P,/2,F,P,/2,F,P,/2,F,P,/2,-F,P,+,+,+,=,F,P,F,P,F,P,/2,F,P,/2,-F,P,a,l,l,l,l,1,2,3,4,5,6,7,F,P,/2,F,P,/2,1,2,3,4,5,6,7,F,P,/2,F,P,/2,F,P,/2,F,P,/2,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院,2,、利用对称性判定桁架零杆,1,）在对称荷载作用下，位于对称轴处的,K,型结点，若无外力作用（图,5-21b,中的结点,2,），则两斜杆轴力为零。,2,）在反对称荷载作用下，位于对称轴上且与对称轴线垂直的横杆（图,5-21c,中的杆,45,）或与对称轴线重合的竖杆（图,5-22c,中的杆,12,）轴力均为零。,F,P,/2,F,P,/2,1,2,3,4,5,6,7,F,P,/2,F,P,/2,F,P,/2,F,P,/2,F,P,F,P,F,P,F,P,F,P,F,P,F,P,F,P,F,P,F,P,-F,P,-F,P,-,-,1,2,3,4,5,1,F,P,/2,F,P,/2,F,P,/2,-F,P,/2,F,P,F,P,F,P,/2,F,P,/2,F,P,/2,F,P,/2,-,+,2,3,4,5,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院,