传递函数的概念及基本环节的传递函数

,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,第三节 传递函数的概念及基本环节的传递函数,传递函数是描述系统运动规律的一种数学表达式。它是一个复变量函数。按传递函数，可以把工程中所遇到的元件、部件或系统用,典型环节,表示出来。引用了传递函数的概念之后，可以更直观、更形象地表示一个系统的结构和系统各变量间的数学关系，并使运算可以大为简化 。,一,.,传递函数的概念,线性定常系统的传递函数定义为：,当全部初始条件为零时,（输入量施加于系统之前，系统处于稳定的工作状态，即,t 0,时，输出量及其各阶导数也均为,0,），,输出量,y,(,t,),的拉氏变换,Y,(,s,),与输入量,x,(,t,),的拉氏变换,X,(,s,),之比叫做系统的传递函数,G,(,s,),。,设线性定常系统输入为,x,(,t,),，输出为,y,(,t,),，描述系统的微分方程的一般形式为,:,（,2-51,）,式中，,n,m,;,a,n,、,b,m,均为系统结构参数所决定的定常数 。（,n,，,m,=0,、,1,、,2,、,3,）,如果变量及其各阶导数初值为零,，取等式两边拉氏变换后得,（,2-52,）,根据传递函数的定义，系统的传递函数,G,(,s,),为,(2-53),特征方程,X,(,s,)=0,系统的,特征方程,，,􀃆,特征根,。,特征方程决定着系统的动态特性。,X,(,s,),中,s,的最高阶次等于系统的阶次。,当,s,=0,时 系统的,放大系数,或,增益,！从微分方程的角度看，此时相当于所有的导数项都为零。,K,系统处于静态时，输出与输入的比值。,零点和极点,的根,，,称为传递函数的零点；,的根,，,称为传递函数的极点；,！系统传递函数的极点就是系统的特征根。,！零点和极点的数值完全取决于系统的结构参数！,零、极点分布图,传递函数的,零、极点分布图,：,将传递函数的零、极点表示在复平面上的图形。,零点用“,O,”,表示,极点用“,”,表示,传递函数,分母多项式,中,s,的最高幂数代表了系统的阶数，如,s,的最高幂数为,n,则该系统为,n,阶系统。,结论,传递函数通过,系统输入量与输出量之间的关系,来描述系统的固有特性。即以系统外部的输入,输出特性来描述系统的内部特性。若输入给定，则系统输出特性完全由传递函数,G,(,s,),决定。,传递函数是,复数,s,域中,的系统,数学模型,。其参数仅取决于系统本身的结构及参数，与系统的输入形式无关。,注意,适用于线性定常系统,只适合于单输入单输出系统的描述,无法描述系统内部中间变量的变化情况,传递函数原则上不能反映系统在非零初始条件下的全部运动规律,传递函数中的各项系数和相应微分方程中的各项系数对应相等，完全取决于系统结构参数􀂾,例 试写出具有下述微分方程式的传递函数。,（）,（）,解：按（,2-53,）式，则传递函数为,（）,（）,二、典型环节的传递函数,设系统有,b,个实零点,;,d,个实极点,;,c,对复零点,;,e,对复极点,;,v,个零极点。,b,+2,c,=,m,v,+,d,+2,e,=,n,把对应于实数零点,z,i,和实数极点,p,j,的因式变换成：,式中,把对应于共轭复数零点、极点的因式变换成：,式中,而,式中,！串联,比例环节,一阶微分环节,二阶微分环节,积分环节,惯性环节,二阶振荡环节,理想微分环节,延迟环节,系统传递函数一般形式可以写成：,环节是根据微分方程划分的，不是具体的物理装置或元件,一个环节往往由几个元件之间的运动特性共同组成,同一元件在不同系统中作用不同，输入输出的物理量不同，可起到不同环节的作用,1.,比例环节（又称放大环节）,比例环节的微分方程式为,则传递函数为,（,2-54,）,式中,k,比例系数,这类环节在工程中是很多的，比如齿轮系统中的输出转速与输入转速的关系；杠杆中的输出位移和输入位移的关系；电位计中的输出电压与输入转角的关系；电子放大器中输出信号与输入信号的关系等,常见的比例环节,2.,惯性环节（又称非周期环节）,惯性系统的传递函数是,式中，,y,为输出量；,x,为输入量。对上式进行拉氏变换得：,惯性环节的微分方程是,式中，,K,为放大系数；,T,为时间常数。,例,如图,2-12,所示的,RC,电路，当输入电压,u,i,(,t,),输出电压,u,o,(,t,),，,i,为电流，,R,为电阻，,C,为电容，通过列写该电路的微分方程，进而通过拉氏变换求得输出对输入的传递函数。,图,2-12,RC,电路,解：按基尔霍夫定律建立回路电压方程式得到 ：,通过拉氏变换，求得电路的传递函数为,式中,T,=,RC,为该电路的时间常数,例,设有一个液压缸如图,2-13,所示，它带动具有弹性系数为,k,的弹性负载和阻尼系数为,B,c,的阻尼负载。试求以压力,p,为输入量，与以活塞位移,x,为输出量的传递函数。,图,2-13,油缸负载系统,解：液压缸的作用力,F,式中,p,进油压力,A,液压缸工作面积,该力用于克服阻尼负载和弹性负载，即,式中,x,液压缸输出位移,B,c,阻尼系数,K,弹簧刚度,合并以上两式，得液压缸的运动方程式：,传递函数为,式中,3.,微分环节,一阶微分环节,理想微分环节,二阶微分环节,式中，,T,为常数；,为阻尼比。,对应于上面微分方程式的传递函数分别为,理想微分环节,一阶微分环节,二阶微分环节,其中，若 具有实根时，,二阶微分环节，实际上是两个一阶微分环节的串联。,例 图示的电气环节，输入电压,u,i,(,t,),输出电压为,u,o,(,t,),，试写出其传递函数。,解：按基尔霍夫定律建立回路电压方程式得到,经拉氏变换后，整理，可得传递函数为,式中,如果,RC,很小，传递函数可以近似写成,G,(,s,)=,Ts,。可以把该,RC,电路看成理想微分环节。,4.,积分环节,积分环节的微分方程为,传递函数为,具有上式传递函数的环节，称为,积分环节,。,式中,T,积分时间常数。,例,如图所示的油缸，其输入为流量,q,，输出为油缸活塞的位移,x,，试写出其传递函数。,液压积分环节,解：活塞的速度为,所以位移,式中,A,活塞的面积,对上式取拉氏变换，并整理，则得其传递函数为 ：,注意：,位移对流量来说是积分环节，而速度对流量来说，则是一个比例环节。因此对一个具体的物理系统而言，究竟是属于那一个环节，要看确定出,输入量与输出量,后的传递函数而定。,例,如图所示的无源网络，输入量为回路电流,i,而输出量为,u,c,，试写出其传递函数。,电气积分环节,解：电容器充电电流,i,与电容器两端的电压,u,c,关系为,进行拉氏变换得,传递函数为,5.,振荡环节,其微分方程式为,传递函数为,在图,2-1a,所示的机械系统可以看作这种环节。,对于平移机械系统，微分方程式为：,其传递函数为,6.,延迟环节,输出与输入关系具有延迟关系的环节，称为延迟环节。该环节的输出滞后输入时间,后不失真地复现输入，如图,2-10,所示，其,微分方程为,传递函数为,常见的机、电、液典型环节见附录,A,；机械网络及其,传递函数见附录,B,实际上，任何线性系统都可由,8,种（或其中若干种）典型环节构成，这,8,种典型环节的传递函数如下：,1,、放大环节（或比例环节）,2,、理想微分环节,3,、一阶微分环节,4,、二阶微分环节,5,、积分环节,6,、惯性环节,7,、振荡环节,8,、延迟环节,第四节 系统框图及其简化,框图是系统中各个元件功能和信号流向的图解表示。用框图表示系统的优点,:,1.,只要依据信号的流向，将各环节的框图连接起来，就能容易地构成整个系统；,2.,通过框图可以评价每一个环节对系统性能的影响，便于对系统进行分析和研究。,框图和传递函数表达式一样包含了与系统动态性能有关的信息，但和系统的物理结构无关。因此，,不同的物理系统，可以用同一框图表示,；另外，由于分析角度的不同，对于同一系统，可以画出许多不同的框图。,结构框图,将系统中各元件的,名称或功用,写在,框,图单元中，并标明它们之间的连接顺序和信号流向，主要用来说明系统构成和工作原理。,函数框图,把元件或环节的传递函数写在框图单元内，并用表明信号传递方向的箭头将这些框图单元连接起来，主要用来说明环节特性、信号流向及变量关系，便于分析系统。,一,.,框图单元、比较点和引出点,1.,框图单元,如图,2,-14,所示，图中指向框图单元的箭头表示输入，从框图出来的箭头表示输出，箭头上标明了相应的信号，,G,(,s,),表示其传递函数。,2.,比较点,(,相加点,),如图,2-15,所示，比较点代表两个或两个以上的输入信号进行相加或相减的元件，或称比较器。箭头上的“,+”,或“,-”,表示信号相加还是相减，相加减的量应具有相同的量纲。,图,2-15,比较点,3.,引出点,(,分支点,),如图,2,-16,所示，分支点表示信号引出和测量的位置，同一位置引出的几个信号，在大小和性质上完全一样。,图,2-16,引出点,二、系统构成方式及运算法则,1.,串联连接,各环节一个个顺序连接称为串联，如图,2-17,所示。,前一框图的输出为后一框图的输入。,G,1,(,s,),、,G,2,(,s,),为各个环节的传递函数，综合后总的传递函数为：,由串联环节所构成的系统，当前后方框之间无负载效应时，它的总传递函数等于个环节传递函数的乘积。,当系统由,n,个环节串联而成时，总传递函数为：,（,2-55,）,式中,G,i,(,s,),第,i,个串联环节的传递函数,(,i,=1,，,2,，,，,n,),2.,并联连接,凡有几个环节的输入相同，输出相加或相减的连接形式称为并联。图,2-18,为两个环节的并联，共同的输入为,X,(,s,),，总输出为,:,总的传递函数为,并联环节所构成的总传递函数，等于各个并联环节传递函数之和（或差）。,推广到,n,个环节并联，其总的传递函数等于各并联环节传递函数的代数和，即,（,2-56,）,式中,G,i,(,s,),第,i,个并联环节的传递函数,(,i,=1,，,2,，,，,n,),3.,反馈连接,将系统或某一环节的输出量，全部或部分地通过反馈回路回馈到输入端，又重新输入到系统中去。反馈信号与输入信号相加的称为“正反馈”，与输入信号相减的称为“负反馈”。,由图可见：,（,2-57,）,（,2-58,）,将,( 2-58 ),式代入,( 2-57 ),式，经整理后，可得传递函数为：,（,2-59,）,（,2-59,）式中，传递函数分母的“,+”,号对应于负反馈情况，而“,-”,号对应于正反馈情况。,前向通路：,信号沿箭头方向从输入直到输出，并且每一路径不要重复的通道。,前向通路传递函数：,在前向通路中，所有经过的环节的乘积。可由下式计算：,（,2-60,）,反馈回路传递函数：,H,(,s,),称为反馈回路传递函数，它是信号沿着输出端进入，而回到输入端时所有经过的环节乘积，即,（,2-61,）,常用的几个术语,开环传递函数：,G,(,s,),H,(,s,),称为系统的开环传递函数，可表示为,（,2-62,）,注意 ：,开环传递函数,和,开环系统传递函数,是不一样的。将（,2-60,）、（,2-62,）代入（,2-59,）式中，则系统的闭环传递函数为,：,（,2-63,）,当,H,(,s,)=1,时，我们将系统称为,单位反馈系统,或,全反馈系统,。,可以对输入量与干扰量单独地进行处理，然后再叠加，就可以得到总的输出,Y,(,s,),。,同时存在输入量,X,(,s,),与干扰量,N,(,s,),时的系统,在输入量,X,(,s,),的作用下可把干扰量,N,(,s,),看作为零，系统的输出为,Y,R,(,s,),，则,(2-64),在干扰量,N,(,s,),作用下,可把输入量,X,(,s,),看作为零,，系统的输出为,Y,N,(,s,),，则,（,2,-65,）,在（,2-64,）式中，,称,G,R,(,s,),为输出量对输入量的传递函数,，即,在（,2-65,）式中，,称,G,N,(,s,),为输出量对干扰量的传递函数,，即,系统总的输出量,三、绘制系统框图的方法,1,、列出描述系统各个环节的运动方程式，明确信号的因果关系（输入,/,输出）；,2,、假定初始条件等于零，对方程式进行拉氏变换，求出环节的传递函数，并将它们分别以方块的形式表示出来；,3,、按照信号在系统中的传递、变换过程，依次将各部件的方框图连接起来，得到系统的方框图。,例,绘制图示的二阶,RC,回路的框图。,解：首先列出系统原始方程,求出与上述方程式相对应的拉氏变换式,例：绘制图示机械系统的框图。设作用力,f,i,(,t,),、位移,x,(,t,),分别为系统的输入量、输出量。,解：,拉氏变换得,四、框图的变换法则,系统可以由多个典型环节以不同方式联接，通常采用框图的变换法则将其变换成最基本的联接方式，最后可以轻而易举地得到系统的传递函数。,序号,原框图,等效框图,说明,1,加法交换律,2,加法结合律,3,乘法交换律,4,乘法结合律,表,2-3,框图变换法则,序号,原框图,等效框图,说明,5,并联环节简化,6,相加点前移,7,相加点后移,8,分枝点前移,序号,原框图,等效框图,说明,9,分枝点后移,10,分枝点前移越过比较点,11,分枝点后移越过比较点,等效,是这一框图与原框图不管内部联接如何变化，但从,进入到框图的输入信号以及输出信号,来看，这些量都是不变的。,结论：,1,、分支点可以互换；,2,、相加点可以互换；,3,、分支点可以前移或后移，但移动之后，需在此回路中乘或除以所跨接的传递函数；,4,、,相加点可以前移或后移，但移动之后，需在此回路中除或乘以所跨接的传递函数；,注意：,前移是迎着信号输入方向移动；后移是顺着信号输出方向移动。,五、系统传递函数的求法,一个系统，只要可以画出框图联接方式，然后应用变换法则与基本连接公式，就很容易求得系统的传递函数。,例,2-15,试简化,如图,2-20a,所示系统的框图，并求系统传递函数。,解：,1,、,A,点后移，得到图,2-20b,所示的方框图。,2,、消去回路,，得到图,2-20c,所示的方框图。,3,、消去回路,，得到图,2-20d,所示的方框图。,4,、消去回路,，得到图,2-20e,所示的方框图。,所以,例 求出如图,2-21,所示框图的传递函数。,图,2-21,a),解：,1,、,图,2-21(a),的分支点,A,后移到分支点,B,处，因而得到图,2-23(b),所示的方框图。它包括三个回路，分别以,、,、,标明。,图,2-21,b),2,、第,回路的传递函数为：,以,F,3,(,s,),代替第,回路，从而得到图,2-21 (c),图,2-21,c),3,、 第,回路的传递函数为：,以,F,2,(,s,),代替第,回路，从而得到图,2-21(d),图,2-21,d),4,、最后，得到系统的传递函数为,可以将其表示在图,2-21,（,e,）,的框图中。,图,2-21,（,e,）,第七节,信号流程图及梅逊公式,当系统很复杂时，框图的简化过程就显得很复杂。,信号流程图是另一种分析复杂系统的有用工具，它可以不需要经过任何简化，直接采用梅逊公式求出系统的传递函数。,一、信号流程图及术语,二、信号代数运算法则,三、系统信号流程图的画法,图,2-22,（,a,）,的框图可表示成图,2-22 (b),的信号流程图。,图,2-22,框图与信号流程图,信号流程图中的输入节点表明框图的输入信号,X,(,s,),，输出节点表示了输出信号,Y,(,s,),支路的传输表示了传递函数。,反馈回路的框图与信号流程图的对应关系,信号流程图中的,E,(,s,),点为只有一个输出支路的混合节点，它对应于框图中的相加点,A,。,信号流程图中的混合节点,Y,(,s,),对应于框图中的分支点,B,。,反馈回路中的传递函数,H,(,s,),可用信号流程图中的,Y,(,s,),节点到,E,(,s,),节点的传输表示，如为负反馈，传输前加“”号。,例试将图,2-23,的框图化为信号流程图。,图,2-23,框图,图,2-24,信号流程图,解：图,2-23,框图可化为图,2-24,的信号流程图。,例试将图,2-25,的框图化为信号流程图。,图,2-25,框图,解：图,2-25,框图可化为图,2-26,的信号流程图。,图,2-26,信号流程图,四、梅逊公式,在信号流程图上，利用梅逊公式可以直接计算出来系统的传递函数。,梅逊公式可表示为：,（,2-66,）,式中：,P,K,-,第,K,条前向通路的通路传递函数；,-,信号流程图的特征式，可由下式计算,（,2-67,）,上,式中,:,为所有不同回路的传递函数之和；,:,为每两个互不接触回路传递函数乘积之和；,:,为每三个互不接触回路传递函数乘积之和；,K,:,第,K,条前向通路特征式的余因式，其值是除去与第,K,条前向通路相接触回路传递函数以后的,值。,例,试求出图,2-24,信号流程图表示的系统传递函数。,解：此例中仅有一条前向通路,P,1,，三条反馈回路分别为,L,1,，,L,2,及,L,3,，且,L,1,及,L,2,互不接触（即为独立回路）,所以 ：,因为,L,1,，,L,2,及,L,3,都同前向通路,P,1,相接触,最后可求得系统的传递函数为：,例,试求出图,2-27,信号流程图所示系统的传递函数。,图,2-27,信号流程图,解：此例有三条前向通路，分别为,P,1,，,P,2,与,P,3,，还有四条反馈回路,L,1,，,L,2,，,L,3,与,L,4,且,L,1,与,L,2,不接触。,所以：,（全部回路都与,P,1,接触）,（全部回路都与,P,2,接触）,最后可以求出系统的传递函数：,(,L,1,与,P,3,不接触,),例,利用梅逊公式求如图所示系统的传递函数。,图,2-28,解：本系统只有一条向前通道，其传递函数为：,系统有五个反馈回路，其传递函数都是,故：,5,个反馈回路之中，有,6,对彼此不接触的回路。这,6,对回路是：回路,1,与,2,；回路,2,与,3,；回路,1,与,3,；回路,3,与,4,回路,1,于,5,和回路,4,与,5,。这,6,对彼此不接触的回路，每对回路的传递函数之积都是：,故：,这五个反馈回路中，只有一组三个互不接触的回路。他们是回路,1,、,2,、和,3,。故：,又,5,个反馈回路都和向前通道接触，故：,利用公式可以求得系统的传递函数如下：,5,个反馈回路中，不存在四个以上互不接触的回路。故特征式为：,本章要解决的问题：,1,怎样抽象一个具体自动控制系统,;,2,基本数学工具（拉氏变换）,;,3,数学模型的形式（经典的有三种：微分方程、传递函数、方框图）及其联系。,本章内容：,1.,掌握建立线性系统微分方程方法,2.,掌握非线性系统的线性化基本原理,3.,掌握拉氏变换的概念,4.,掌握拉氏变换的基本性质,5.,掌握拉氏变换的方法,6.,掌握拉氏反变换的方法,7.,掌握用拉氏变换及反变换解常系数线性微分方程,8.,掌握传递函数的基本概念,9.,掌握基本环节传递函数的计算方法,10.,掌握方框图的概念、建立及其等效变换方法,本章重点,数学模型的概念及其重要性；,系统数学模型的建立方法；,拉普拉斯变换和反变换；,传递函数、动态结构图及其等效变换；,同一系统数学模型的多样性及相互变换。,本章难点,1.,控制系统微分方程的建立；,2.,传递函数的概念；,3.,结构图等效变换的正确运用,4.,用梅逊公式求系统的传递函数,。,