复数的基本概念和运算

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,复数的基本概念和运算,1,、复数,z,=,x,+,iy,或,z,=,x,+,yi,注意：,(1) 2,个复数不能比较大小,;,(2),当且仅当实部、虚部分别相等时复数才相等。,1,2,、,复数的表示,直角坐标：,z,=,x,+,iy,复平面与直角坐标平面上的点一一对应,向量表示,模,幅角,三角表示：,指数表示：,0,x,y,O,x,y,q,P,z,=,x,+,iy,|,z,|=,r,z,=0,时辐角不确定,2,辐角主值公式：,2,3,4,1,x,y,3,3,、 复数运算,加法、减法：,乘法,:,除法,:,运算法则,:,z,1,+,z,2,=,z,2,+,z,1,z,1,z,2,=,z,2,z,1,z,1,+(,z,2,+,z,3,)=(,z,1,+,z,2,)+,z,3,z,1,(,z,2,z,3,)=(,z,1,z,2,),z,3,z,1,(,z,2,+,z,3,)=,z,1,z,2,+,z,1,z,3,4,乘积：,z,1,=,r,1,(cos,q,1,+,i,sin,q,1,),z,2,=,r,2,(cos,q,2,+,i,sin,q,2,),z,1,z,2,=,r,1,r,2,cos,(,q,1,+,q,2,)+,i,sin,(,q,1,+,q,2,),于是,:,|,z,1,z,2,|=|,z,1,|,z,2,|Arg(,z,1,z,2,)=,Arg,z,1,+Arg,z,2,模相乘；辐角相加。,商：,模相除；辐角相减,幂：,根：,注意根的,多值性！,5,区域,：平面点集,D,称为区域,必须满足下列两个条件：,1,）,D,是一个开集。,2,）,D,是连通的。,不连通,单连通域：,区域,B,中任做一条简单闭曲线，曲线内,部总属于,B,，称,B,为单连通区域。,多连通域：,不满足单连通域条件的区域。,单连通域,多连通域,区域的概念,6,复变函数,w=,f,(,z,),z=,x+iy, w=,u,(,x,y,),+iv,(,x,y,),单值函数：,z,的一个值对应一个,w,值。,多值函数：,z,的一个值对应两个或以上,w,值。,反函数：,z=,g(,w,),复变函数的极限、连续性、可导、解析性的判定,7,1,、极限,定理一：,设,f,(,z,)=,u,(,x,y,)+,iv,(,x,y,),A,=,u,0,+,iv,0,z,0,=,x,0,+,iy,0,条,定理二：,8,2,、连续性,复平面内，下列各式连续：,项,9,3,、导数,定义在区域,D,内，,称 可导,10,z,0,点：,区域,D,：,4,、解析,使分母为零的点是它的奇点。,11,重要定理：,函数解析的条件,柯西,-,黎曼,(Cauchy-Riemann),方程,12,高层,中层,低层,13,初 等 函 数,14,多值！,性质,:,15,乘幂,16,幂函数,幂函数的解析性,各分支在除去原点和负实轴的复平面内是解析的,:,各分支在除去原点和负实轴的复平面内是解析的,:,17,4.,三角函数,18,