随机过程随机分析

,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第六章,随机分析,随机分析简介,微积分中普通函数的连续、导数和积分等概念推广到随机过程的连续、导数和积分上即随机分析,2,随机分析简介,一、均方收敛,定义6.4 设有二阶矩随机序列,X,n,和二阶矩随机变量,X,，,若有,成立，则称,X,n,均方收敛于,X,。,记作 或,(mean square),(limit in mean),3,随机分析简介,定理,6.2（柯西收敛定理）,二阶矩随机序列,X,n,收敛于二阶矩随机变量,X,的充要条件是,4,随机分析简介,定理,6.2 设,X,n,Y,n,Z,n,都是二阶矩随机序列，,U,是二阶矩随机变量，,c,n,为常数序列，,a,b,c,为常数，令,则,(1),(2),(3),5,随机分析简介,(4),(5),(6),6,随机分析简介,定理,6.4 设,X,n,为二阶矩随机序列，,则,X,n,均方收敛的充要条件是下列极限存在,7,随机分析简介,二、均方连续,定义6.6 设有二阶矩过程,X,(,t,),t,T,，,若对每一个,t,T,，有,则称,X,(,t,),在,t,点均方连续，记作,若对,T,中的一切点都均方连续，则称,X,(,t,),在,T,上均方连续,8,随机分析简介,定理6.5（均方连续准则）,二阶矩过程,X,(,t,),t,T,，,在,t,点均方连续的充要条件为相关函数,R,X,(,t,1,t,2,),在点(,t,t,),处连续。,推论 若相关函数,R,X,(,t,1,t,2,),在(,t,t,)，,t,T,上连续，则它在,T,T,上连续。,9,随机分析简介,三、均方导数,定义6.7 二阶矩过程,X,(,t,),t,T,，,若存在随机过程,X,(,t,)，,满足,则称,X,(,t,),在,t,点均方可微，,记作,并称,X,(,t,),为,X,(,t,),在,t,点的均方导数。,10,随机分析简介,若,X,(,t,),在,T,上每一点均方可微，则称,X,(,t,),在,T,上均方可微。,类似地可定义二阶均方导数,相关函数,R,X,(,t,1,t,2,),的广义二阶导数定义为,11,随机分析简介,定理6.6（均方可微准则）,二阶矩过程,X,(,t,),t,T,，,在,t,点均方可微的充要条件为相关函数,R,X,(,t,1,t,2,),在点(,t,t,),的广义二阶导数存在。,推论1 二阶矩过程,X,(,t,),t,T,在,T,上均方可微的充要条件为相关函数,R,X,(,t,1,t,2,),在(,t,t,)，,t,T,上每一点广义二阶可微。,推论2 若相关函数,R,X,(,t,1,t,2,),在(,t,t,)，,t,T,上每一点广义二阶可微，则,12,随机分析简介,13,随机分析简介,四、均方积分,设,X,(,t,),t,T,为二阶矩过程，,f,(,t,),为普通函数，其中,T,=,a,b,，,用一组分点将,T,划分如下：,a,=,t,0,t,1,t,n,=,b,，,14,随机分析简介,定义6.8 如果当,n,0,时，,S,n,均方收敛于,S,，,即,，则称在区间,a,b,上均方可积，并记为,15,随机分析简介,定理6.7（均方可积准则）,f,(,t,),X,(,t,),在区间,a,b,上均方可积的充要条件为,存在，,特别地，二阶矩过程,X,(,t,),在区间,a,b,上均方可积的充要条件为,R,X,(,t,1,t,2,),在,a,b,a,b,上可积。,16,随机分析简介,定理6.8 设,f,(,t,),X,(,t,),在区间,a,b,上均方可积，则有,(1),(2),17,随机分析简介,定理6.9 设二阶矩过程,X,(,t,),t,T,在区间,a,b,上均方连续，则,在均方意义下存在，且随机过程,Y,(,t,),t,T,在区间,a,b,上均方可微，有,Y,(,t,)=,X,(,t,)。,推论 设,X,(,t,),均方可微，且,X,(,t,),均方连续，则,18,随机分析简介,例6.7 设 ,X,(,t,),t,T,是实均方可微过程，求其导数过程,X,(,t,),t,T,的协方差函数,B,X,(,s,t,)。,解 由定理6.6推论2(1),由定理6.6推论2(4),19,随机分析简介,所以,20,