绝对值不等式的解法

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,绝对值不等式的解法,复习：如果,a0,，则,|x|a,的解集是,(-,-,a)(a,+),O,a,-a,x,O,-a,a,x,|x|a,1.,含绝对值的不等式,|x|a,的解集,.,不等式,a0,a=0,a0,|x|a,_,_,_,x|-a,x,a,x|x,a,或,x,-a,x,R|x,0,R,2.|ax+b|c(c0),和,|,ax+b|c(c,0),型不等式的解法,.,(1)|ax+b|c,_.,(2)|ax+b|c,_.,-,cax+bc,ax+bc,或,ax+b-c,1.,不等式,|x,1|,2,的解集是,_.,【,解析,】,由,|x,1|,2,得,2,x,1,2,，解得,1,x,3.,答案：,(,1,3),2.,不等式,|4,3x|2,的解集是,_.,【,解析,】,|4,3x|2,|3x,4|2,3x,4,2,或,3x,42,，解得 或,x2.,答案：,解含绝对值不等式的核心任务,解含绝对值不等式的核心任务是：去绝对值，将不等式恒等,变形为不含绝对值的常规不等式，然后利用已经掌握的解题,方法求解；注意不可盲目平方去绝对值符号,.,类型 一,简单绝对值不等式的解法,1.,不等式 的解集是,_.,2,不等式 的解集为,_.,【,解析,】,1.,解得,2x6.,答案：,2,6,【,拓展提升,】,绝对值不等式的常见类型及其解法,(1),形如,|,f(x,)|,a(aR,),型不等式,.,此类不等式的简单解法是等价转化法，即,当,a0,时，,|,f(x,)|a,-a,f(x,),a,f(x,)a,或,f(x,)-a.,当,a=0,时，,|,f(x,)|a,f(x)0.,当,a0,时，,|,f(x,)|,a,f(x,),有意义即可,.,(2),形如,|,f(x,)|,g(x,)|,型不等式,.,此类问题的简单解法是利用平方法，即,|,f(x,)|,g(x,)|,f(x,),2,g(x,),2,f(x)+g(x,),f(x)-g(x,),0.,(3),形如,|,f(x,)|,g(x,),型不等式,.,此类不等式的简单解法是等价转化法，即,|,f(x,)|,g(x),-g(x,),f(x,),g(x),f(x,),g(x,),或,f(x,)-,g(x,)(,其中,g(x,),可正也可负,).,若此类问题用分类讨论法来解决，就显得较复杂,.,(4),形如,a|,f(x,)|a0),型不等式,.,此类问题的简单解法是利用等价转化法，即,a|,f(x,)|b(0a,b),a,f(x,)b,或,-b,f(x,)-a.,(5),形如,|,f(x,)|,f(x,),型不等式,.,此类问题的简单解法是利用绝对值的定义，即,|,f(x,)|,f(x),f(x,)0),型不等,式的解法,(1)|x-a|+|x-b|c,|x-a|+|x-b|c(c0),型不等式有三种解,法：分区间,(,分类,),讨论法,图象法和几何法,.,分区间讨论的方,法具有普遍性,但较麻烦,;,几何法和图象法直观,但只适用于数,据较简单的情况,.,(2),分区间,(,分类,),讨论的关键在于对绝对值代数意义的理解,即 也即,xR.x,为非负数时,x,为,x;x,为负,数时,x,为,-x,即,x,的相反数,.,(3),x-a,+,x-b,c,x-a,+,x-b,c(c,0),型不等式,的图象解法和画出函数,f(x,)=,x-a,+,x-b,-c,的图象是密,切相关的,其图象是折线,正确地画出其图象的关键是写出,f(x,),的分段表达式,.,不妨设,ab,于是,这种图象法的关键是合理构造函数,正确画出函数的图象,求出函数的零点,体现了函数与方程结合、数形结合的思想,.,其他类型的绝对值不等式,【,典型例题,】,1.,不等式,2x-3,3x+1,的解集是,_.,2.,设函数,f(x,)=|x-1|+|x-a|,如果对任意,xR,f(x)2,则,a,的,取值范围是,_.,3.,解不等式：,|x,2,3|,2x.,【,解析,】,1.|2x-3|0,原不等式转化为,-(3x+1)2x-33x+1.,以上不等式等价于,所以原不等式的解集为,答案：,2.,若,a=1,则,f(x,)=2|x-1|,不满足题设条件,.,若,a1,则,f(x,),的最小值为,a-1.,综上可知，所求,a,的取值范围是,(-,-1,3,+).,答案：,(-,-1,3,+),3.,因为,|x,2,3|,2x,，所以,x,0,，,所以,|x,2,3|,2x,2x,x,2,3,2x,解不等式组得,【,拓展提升,】,含参数的不等式问题分类及解题策略,(1),一类要对参数进行讨论，另一类对参数并没有进行讨论，,而是去绝对值时对变量进行讨论，得到两个不等式组，最后,把两不等式组的解集合并，即得该不等式的解集,.,(2),解绝对值不等式的基本思想是想方设法去掉绝对值符号，,去绝对值符号的常用手段有以下几种：,形如,f(x,),g(x,),或,f(x,),g(x,),的求解方法：,(),根据实数的绝对值的意义分类讨论，,即,(),根据公式：,|x|a,-ax0);,f(x,),g(x),-g(x,),f(x,),a,x,a,或,x,g(x),f(x,),g(x,),或,f(x,)0,即,a-1,时，,6,分,原不等式可变为,-a-12x+3-1,时，原不等式的解集为,当,a-1,时，原不等式的解集为,.,12,分,【,防范措施,】,含参数的绝对值不等式,解含参数的绝对值不等式的题型，容易忽略对参数的符号进,行讨论，如本例需对,a+1,的符号进行讨论，否则易导致错误结,果,.,1.,解关于,x,的不等式：,|x,2,-a|0,时，原不等式等价于,-ax,2,-aa,0x,2,0,时，原不等式的解集为,2.,若不等式,|ax+2|,6,的解集为,(,1,2),，则实数,a=_.,【,类题试解,】,2.,若不等式,|ax+2|,6,的解集为,(,1,2),，则实数,a=_.,【,解析,】,由,|ax+2|,6,得,8,ax,4,当,a,0,时， 因为不等式的解集为,(,1,2),，所以,解得 两值相矛盾,.,当,a,0,时， 则 解得,a=,4.,综上得，,a=,4.,答案：,4,【点评】,解绝对值不等式的关键在于去掉绝对值符号，处理的方法通常是定义、平方、几何意义等方法对含多个绝对值符号的不等式一般利用”零点分割”法分段讨论本题是绝对值不等式的简单应用利用去绝对值符号的两种方法，可以解含有绝对值符号的不等式，也可以转化为求最值或求参数范围下面的变式训练是含参数的绝对值不等式的求解问题,