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,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,单击此处编辑母版标题样式,线段垂直平分线与角平分线复习,请你来帮忙,A,C,B,如图,在一个三角形的小岛上，小动物们即将举行长跑比赛，比赛分三队，要求三队从小岛内一点，沿垂直于三边的路线，分别跑到小岛三边.为公平起见，要求起点到小岛三边的距离相等，你能帮它们确定起点吗？如果到三个顶点的距离相等呢？,线段垂直平分线与角平分线复习,线段垂直平分线,角平分,线,判定,尺规作图,定义,性质,三角形三边垂直平分线和角平分线的性质,线段垂直平分线与角平分线复习,你还记得吗？,逆定理,性质定理,文字语言：,文字语言：,线段垂直平分线上,的点到这条线段两,个端点距离相等,.,到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上,.,A,C,B,P,M,N,符号语言,：,符号语言：,MNAB,AC=BC,P,是,MN,上任意一点,PA=PB,PA=PB(,已知,),点,P,在,AB,的垂直平分线上,证明两条线段相等的根据之一,.,温馨提示,:,证明点在直线上,(,或直线,经过某一点,),的根据之一,.,线段垂直平分线与角平分线复习,线段的垂直平分线,A,B,C,P,a,b,c,三角形三条边的,垂直平分线相交于一,点,并且这一点到三个,顶点的距离相等。,如图,在,ABC,中,直线,c,a,b,分别是,AB,BC,AC,的垂直平分线,直线,c,a,b,相交于一点,P,且,PA=PB=PC,三条边的垂直平分线的性质定理,文字语言：,符号语言：,线段的垂直平分线,三角形,性质定理,逆定理,证明线段相等,线段垂直平分线与角平分线复习,逆定理,性质定理,文字语言：,文字语言：,角的平分线上的,点到角的两边的,距离相等.,符号语言,：,符号语言：,证明两条线段相等的根据之一,.,证明一个点是否在角平分线上，,从而推出两个角相等,.,线段垂直平分线与角平分线复习,B,A,D,O,P,E,在一个角的内部，且到角的,两边距离相等的点，在这个,角的平分线上., PD=PE,PD,O,A, PE,OB,点,P,在,AOB,的平分线上,角平分线,温馨提示,:,OP,是,AOB,的平分线,PD,O,A, PE,OB,PD=PE,三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等.,三个内角平分线的性质定理,文字语言：,符号语言：,角平分线,三角形,性质定理,逆定理,证明线段相等,A,B,C,B,N,D,F,M,E,P,线段垂直平分线与角平分线复习,ABC的角平分线BM、CN相交于点P，PD,AB, PE,BC, PF,AC，,垂足分别是E、D、F .,PD=PE=PF,【例1】,：如图，在,ABC,中，,BC=12,AB,的垂直平分线交,BC,边于点,F, AC,的垂直平分线交,BC,边于点,H.,求,AFH,的周长。,变式1,在,ABC,中， ,AFH,的周长为,12,AB,的垂直平分线交,BC,边于点,F, AC,的垂直平分线交,BC,边于点,H.,求,BC,长为,_,。,变式2,在,ABC,中，,AB,的垂直平分线交,BC,边于点,F, AC,的垂直平分线交,BC,边于点,H.,若,B=35,， ,C=25,则,FAH=_.,1,2,12,60,线段垂直平分线与角平分线复习,例题赏析,如图，在,ABC,中，,AB=AC, BAC=120,AB,的垂直平分线交,BC,边于点,F.,求证：,CF=2BF,变式3,30,30,30,线段垂直平分线与角平分线复习,例题赏析,【例,2,】已知:如图, 点,P,是,AOB,内部的一点,（2）你能添加一个条件,，使点P在AOB的平分线上吗？,（1）若,OP平分AOB,，你能得出什么结论？,B,A,C,O,P,D,2,1,C,D,若PC=PD，1+2=180,0,.,那么点P在AOB的平分线上吗？,M,N,PCOA, PDOB ，垂足分别为点C和点D.,答：,点P在AOB的平分线上,.,理由：,过点,P,作,PMOA,PNOB,.,垂足分别为点,M,和点,N,.,1+2=180,，3,+2=180, 1 =,3,又 ,PMC= PND=90,，,PC=PD,PMCPND,（AAS）,PM=PN,又 ,PMOA,PNOB,点P在AOB的平分线上,.,线段垂直平分线与角平分线复习,例题赏析,3,【例3】,已知：如图，,AP,、,BP,分别平分,DAB,和,CBA,，,PE,、,PF,分别垂直于,AD,、,BC,，垂足为,E、F,.,求证：点,P,在,EF,的垂直平分线上.,分析：,（1）从已知条件你能想到什么定理？,（,3,）能得到什么结论,?,（,4,）用什么定理来证明结论,?,（,2,）缺少了什么,?,怎么办？,G,角平分线上的点到另一边的垂线段,.,添加辅助线,.,添辅助线的目的是什么？,构造角平分线的基本图形,.,线段垂直平分线与角平分线复习,例题赏析,【例3】,已知：如图，,AP,、,BP,分别平分,DAB,和,CBA,，,PE,、,PF,分别垂直于,AD,、,BC,，垂足为,E、F,.,求证：点,P,在,EF,的垂直平分线上.,证明：过点,P,作,PG,AB,，垂足为点,G,.,G,AP,平分,BAD,PE,AD,(,已知,),，,PG,AB,(,已作,),，,PE,PG,（角平分线上的点到角,两边,的距离相等）,同理：,PG,PF.,PE,PF,(,等量代换,).,点,P,在,EF,的垂直平分线上,（到,一条线段两个端点距离相等,的点，,在这条线段的垂直平分线上）.,线段垂直平分线与角平分线复习,例题赏析,【例3】,已知：如图，,AP,、,BP,分别平分,DAB,和,CBA,，,PE,、,PF,分别垂直于,AD,、,BC,，垂足为,E、F,.,求证：点,P,在,EF,的垂直平分线上.,（1）若把上图中的,DA,、,CB,延长相交于点,O,，点,P,还落,在什么特殊的位置上？为什么？,G,G,由角平分线的逆定理可得点,P,在,BOA,的角平分线上,.,（,2,）,OE,OF,吗？为什么？,全等三角形的对应边相等,.,线段垂直平分线与角平分线复习,垂直平分线,-,点向两端连线段,当缺少运用角平分线、线段垂直平分线的定理及逆定理的,基本图形时，要添置辅助线,构造,运用它们的,基本图形,.,线段垂直平分线与角平分线复习,规律总结,角,平分线,-,点向两边作垂线段,1.,下列命题中正确的命题有（ ）,线段垂直平分线上任一点到线段两个端点的距离相等；,线段上任一点到垂直平分线两端距离相等；,经过线段中点的直线只有一条；,点,P,在线段,AB,外且,PA,=,PB,，过,P,的直线,MN,是线段,AB,的中垂线；,过线段上任一点可以作这条线段的中垂线,.,A.1,个,B.2,个,C.3,个,D.4,个,A,线段垂直平分线与角平分线复习,达标测试,2.,如图，P,C,OA于点,C,，P,D,OB于点,D,，,12，下列结论不正确的是（,）,A.P,C,=P,D,B.O,C,=O,D,C.DPO=,C,PO,D.ODOP,D,B,A,C,O,P,D,2,1,初级目标,3,.如图所示，点P是,C,A,B,的平分线AD,上一点，PEAC于点E，已知PE,5cm,，,则点P到AB的距离是,_.,5cm,A,C,E,P,D,B,F,4已知：如图，,AOP=BOP=15,0,，,PC/OA,，,PDOA,于点D，如果,PC=4,，,则,PD=,_.,A,D,O,C,P,B,2,E,线段垂直平分线与角平分线复习,中,级目标,5.,已知,：如图，,在等边ABC中，C、B的平分线交于点I，,BI、CI的垂直平分线与BC相交于E、F点,.,求证：BEEFFC,A,B,C,I,E,F,线段垂直平分线与角平分线复习,高,级目标,已知：如图，在,ABC,中，,D,为,BC,的中点，,DEBC,，交,BAC,的平分线,AE,于,E,，,EFAB,于点,F,，,EGAC,交,AC,的延长线于点,G,.,求证：,BF=CG.,A,G,E,B,F,C,D,分享收获.,请同学们谈谈自己的收获吧！,线段垂直平分线与角平分线复习,
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