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单击以编辑母版标题样式,单击以编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,目录 上页 下页 返回 结束,三、利用极坐标计算二重积分,对应有,在极坐标系下, 用同心圆,r,=常数,则除包含边界点的小区域外,小区域的面积,在,内取点,及射线,=常数,分划区域,D,为,1,即,2,设,则,特别, 对,3,此时若,f,1 则可求得,D,的面积,思考:,下列各图中域,D,分别与,x,y,轴相切于原点,试,答:,问,的变化范围是什么?,(1),(2),4,例7.,计算,其中,解:,在极坐标系下,原式,的原函数不是初等函数 ,故本题无法用直角,由于,故,坐标计算.,5,例8.,求球体,被圆柱面,所截得的(含在柱面内的)立体的体积.,解:,设,由对称性可知,6,四、曲线坐标下二重积分的计算法,在2.3段中我们看到，运用极坐标变换有时候,可以使二重积分的计算简化,特殊的坐标变换,使用其它的坐标变换,坐标变换下计算二重积分的方法，也就是,二重积分,的,一般,换元法,但是，极坐标只是一种,为了计算二重积分，有时候需要,下面我们来介绍在一般形式的,7,作变换,若以下三个条件满足, 则称变换,(2.13),为,正则变换,.,8,可以证明，在映射（2.13）的作用下，xoy坐标系,下的二重积分与uov坐标系下的二重积分之间的,关系为,9,10,例2.10,求,解,四条直线交点的坐,标分别为,从上图中能看出,都要分成三部分，比较麻烦.,图6.21,不论先对,x,还是先对,y,积分,积分区域,所以可改用,曲线坐标,.,11,图6.22,12,13,例2.11,计算,解,由图,6.23,可见,图,6.23,如果我们用直角坐标直接计算,在此变换下,14,图,6.23,15,16,例2.12,计算,解,由于积分域是椭圆, 如果采用极坐标变换，,即,17,广义极坐标变换,.,18,
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