第六章 摄动方法58268

第六章 摄动方法,摄动方法是一种重要的应用数学方法，它在力学，物理和众多的工程学科中有着广泛的应用。,工程技术中归纳出来的数学模型，其中不少是含有小参数的，且方程的准确解难以获得。,利用计算机进行数值积分，虽然可以给出定解问题的数值解，但很难给出物理现象的全貌和一般规律，利用摄动法可以求得解析形式的近似解，对物理系统进行相当精确的定量和定性讨论。这里，主要讨论,正则摄动,方法和,奇异摄动,方法。,1,正则摄动方法,例,1,：已知初值问题,（,1,）,的解,试求问题,（,2,）,直到 一次项的近似解。,解：,(2),的精确解为,将它关于 展开,设,（,2,）,的准确解不知道，于是将,（,2,）,的解,表示为,（,3,）,代入方程有,（,4,）,代入初值有,（,5,）,比较,（,4,）,和,（,5,）,的同次幂系数，可得,满足的一系列方程，特别有,将 代入，得,这是关于 的一阶线性方程，由初值,可得,所以，直到 的一次项的近似解是,与前面准确展开的结果一致。,说明,1,：这个例子展开的方法就是,正则摄动法,（正则,扰动法），又叫,直接展开法,，这个例子可正确求,解，但体现的方法和思想可用于那些不能精确求解,的问题。,说明,2,：当 时，可看出扰动项对问题的解的,“影响”， 时的问题称,未扰动问题,（退化问,题），取到 一次项为止的称为,一阶近似,。,下面通过单摆问题讨论,直接展开法,的主要步骤和内容：,例,2,：单摆问题：,(6),(7),对于要采用摄动法求解的问题，首先要考查问,题是否是无量纲化形式,?,若不是，先进行无量纲化处,理。因不同量纲的物理量无法进行量化比较，无量,纲化后便于量级比较，从而可以确定哪一个量是小,参数。,引入无量纲参数：,则,(6),(7),化为,(8),(9),通过标度变换，或者说无量纲化，可将不含参数的,方程,(6),化为含,小参数,的方程,(8),，从而可以利用摄动,法。,直接展开法的主要步骤,：,第一步,：设 代入方程,(8),得,(10),第二步,：将所有的项都按小参数,(,这里是,),展开，使,每一项都可写成一个 的幂级数。利用 的展开,式，上式中的第二项为：,(,保留到 项,),第三步,：将方程中的所有同次幂项合并，并令各次,幂系数为,0,，,(11),依次有,原方程,(8),为非线性方程，现已化为一系列的线性方,程。,第四步,：将初值或边值用幂级数展开式代入，得一,系列关于 的初值或边值方程，由,(9),有：,比较两边关于 的系数有,第五步,：相继求解前四步得到的方程和初值组成的,问题，现在有,关于 步,(,即 项,),没有作修正，将 代,入,的方程有,该问题可用常数变易法或系数待定法求解。注意,到 ，得,利用初值，得,所以，,注意到，上面的求解都是形式上的。设,(12),由此可得一阶近似：,为讨论所求近似解有效性问题，需研究级数,(12),的,一致收敛性问题，下面来介绍有关概念：,定义,1,：设对任意固定的非负整数 ，,当 时，对于 一致有,则称,为 当 时，在区间 上的一致渐近,幂级数，记为,并称,为 当 时在区间 上,一致有效,的,阶渐近近似式,。,定义,2,：设有 的函数序列：,对于任意固定的正整数 ，满足：,又设对任一固定的非负整数,当 时，对于任意 一致地有,则称 为 当 时,在区间 上一致有效的,阶渐近近似式,。,注意,：注意渐近幂级数，渐近展开式，渐近近似式,与以前的幂级数的区别。,例,3,：设,利用分步积分法有,记,固定 ，若 时， ，则,(13),由 方法知，级数在 时处处发,散， 说明式,(13),不能成立。下面换一个,角度考虑问题，固定 ，由于 ，有,当 时， ，,(,固定,),，,表明 ， 充分大时，可用：,作为 的近似式，记为,可见渐近展开式是固定,，,考虑,变化,，,而幂级数,是固定,，,考虑,时的变化,。,对于前面得到的单摆问题的近似公式,:,(*),现在用前面介绍的有关一致,有效的,阶近似,来衡量就有二种情况,:,(1),(2),。,对于,(1),，注意到,(*),中有 的项，当,时，对于 ，则修正量是小的,(,的项,),，即,(*),在 区间上，当 时是一致有效的渐近近似,式。,对于,(2),， 时，情况就不同了，对给定的初始,角位移 时， 的振幅会不断增加，,从物理上看，这是不合理的，这种近似,(,或者说修正,),是不正确的，应予排除，这一项称为,长期项,，表明,正则摄动法对 是失败的，必须引入,奇异摄动,法,。,下面来给出正则摄动法的定义：,定义,：考虑,可以是无穷区间，或闭区间， ，设,为连续函数,;,对 连续，对其余变量在其变化范围内解析，则该问题称为,摄动问题,，,时对应的问题称为退化问题 ，若 问题的解 当 时，对 有一致渐近幂级数，即,则称 为 上的,正则摄动,，否则称为,奇异摄动,。,下面再考虑一个使正则摄动失效的例子：,例,4,：,（,1,）,（,2,）,该问题的解为：,(3),设 ，代入,(1),式比较同次幂的系,数，有：,相应的解,展开式,(4),可以看出，不管取零阶，一阶或二阶近似，端点条,件 均不能满足，对大的 ，当 是小量,时，渐近解与精确解很接近,;,在 附近，即使,很小，两者相称仍很大，在 附近，精确解变,化迅速，称此区域为,边界层,。将精确解展开，有,(5),对照,(4),和,(5),，在边界层中，渐近展开式,(4),之所以,非一致有效,，问题就出在,(1),中在最高阶导数前,有 ，而,0,阶近似： ，不是常微分方程，失去边,界条件。类似的情况对 的边值问题也会发生。,2,奇异摄动法,从前面讨论的正则摄动法看到，有的情况是部分边,值不满足，有的是出现了“长期项”，而有的则是展,开式中出现了奇性。凡此种种表明，正则摄动法失,效的情况不止限于“长期项”一种，需要对直接展开,法予以改正。这里引出奇异摄动法，主要讨论,多重,尺度法,和 方法。,一、多重尺度法,在实际的物理现象中，某些变量变化比较“缓慢”，如非,线性振动中的“振幅”，另外一些变量，变化可能比较剧烈，,如流体在,管壁附近,其沿法向流速变化较快，启发人们用不同,的时间尺度或空间尺度来作渐近展开，即采用,多种尺度,。下,面举例来说明，若采用多重尺度法，如果尺度取得恰当，零,阶渐近就给出,精确解,。,例,1,：,问题的精确解为,将它在 展开,可以看到， 一次项就出现了长期项，当 时,式在 内,一致有效,。当 时，不能一致有效。,现采用两种尺度,：,1,和 ，设 ，前者相当,于时间尺度,1,，是快变量，后者相当于,大的时间尺,度,，是慢变量，在 范围内用。,设：,利用,代入方程和初值，得,：,通解为：,(2),其中 为 的任意函数，但,(3),：,将,(2),代入方程，有,(4),为消除 中的长期项，令,(4),式中 的系数为,0,：,利用,(3),，有,代回到,(2),中得,0,阶近似解为,即,零解近似即给出了精确解。,多重尺度法，关键是对研究的问题中出现的变,量采用不同适当的尺度。具体的选择方法多种多,样，这里不具体介绍了。,2,、多变量展开法仍以线性阻尼振动问题,(1),(2),该问题的精确解为,可见解不仅与 有关,而且与 等等有关,.,于是,引进三种时间尺度,:,设,利用,记,则,于是,(1),式成为,(2),式成为,比较 各次幂的系数,得递推方程,:,(3),(4),(5),以上各式 中的,由,(3),得,(6),且,将,(6),代入,(4),得,(7),为使 中不出现长期项,令,且有,解得,将它们代入,(6),得,而,(7),成为,有解,将 代入,(5),得,为了 不出现长期项,令上式 、 的系数,为,0,为了使 中不出现长期项,应有,解得,代回 的方程,得,其中,须利用 的方程来定,最后得零阶,渐近解,这里,三、,方法,19,世纪末,天文学家 研究行星轨迹时,遇到,了含小参数的非线性微分方程,无法求出它的解,就尝,试将解用小参数 的幂级数来表示,为了防止长期项,的出现,对正则摄动法作了改进,其基本思想是：,不仅,对解作展开,且对方程中的有关参数也作展开,。,例,:,(1),(2),为弱的非线性项,.,解,:,设,(3),待定,代入,(1),（,2,）,得,:,(4),未扰动问题,(3),的解：,将 代入,(4),，,得,其中右边第一项产生“长期项”,(,齐次方程的特征根,是特征单根,),为使 不含长,期项,令,即,由初值,得,最后有一阶渐近解,讨论,:,方程,(1),是弱非线性恢复力的非线性振动方程,非线性振动的特点是频率与振幅的依赖关系,一阶渐,近解反映了这一依赖性,.,正则摄动,不能反映这一物理,特性,从而失败,.,说明,:,因将参数对 展开,故称为,变形参数,实质上相,于对自变量作变换,:,(5),变换,(5),可以说是对时间 作微小的形变,目的为了消,除常数项,由于式中的 是待定的,这样就有,选择的余地,.,和 在研究行星轨迹时都用了,这个方法,故称,方法,.,这是发展较早的一种奇异,摄动法,.,最后,需指出的是,奇异摄动中还有很多方法,如渐近展开匹配法,合法展开法,平均展开法,法,等,这里不再具体讨论。,