经济数学基础--微积分第一章

,经济应用数学基础,微积分,第,82,页,时间,是我们唯一对每个人都公平的,资源,做好,时间管理，不再因虚度光阴而,悔恨,做好时间管理，也是一个人能力的,体现,做好时间管理，是实现人生规划的保证,1.1.1,函数的概念,1.1,初等函数回顾,1.1.2,函数的几种特性,1.1.3,初等函数,1.1.4,反函数和复合函数,定义,1.1.1,:,设,和,是两个变量，,是给定的数集，如果对于每个,，变量,按照某个对应法则,总有一个唯一确定的数值和它对应，则称,是,的函数，记作,.,数集,称为函数,的定义域,称为,自变量,称为,因变量,.,当,取数值,时,对应的,的数值称为函数在,处的函数值,记作,当,取遍,内的各个数值时,对应的函数值全体组成的数集,称为函数,的,值域,.,函数的概念,1,函数的定义域是使得算式有意义的一切实数组成的数集,这种定义域称为函数的,自然定义域,.,常见的函数的定义域有如下原则,:,(1),对于分式函数,分母不能为零,如,;,(2),偶次根号下的变量不能小于零,如,;,(3),对于对数函数,规定,:,底数, ,真数,;,(4),对于正切函数,规定,: , ;,(5),对于余切函数,规定,: , ;,(6),对于反正弦函数,和反余弦函数,规定,: .,函数的几种特性,2,函数的特性,有界性,奇偶性,周期性,单调性,初等函数,3,1,、初等基本函数,我们把幂函数,、指数函数,、对数函数,、三角函数,和反三角函数,统称为,基本初等函数,.,2,、初等函数,3,、分段函数,若函数,在它的定义域内的不同区间,(,或不同点,),上有不相同的表达式,则称它为,分段函数,.,例如符号函数,就是一个分段函数,如图所示,.,注意,分段函数不是初等函数,.,反函数和复合函数,4,1,、反函数,定义,1.1.2,:,设,为定义在,上的函数,其值域为,若对于数集,上的每个数,数集,中都有惟一确定的一个数,使,即,变量为,的函数,这个函数称为函数,的反函数,记为,其定义域为,值域为,.,解,由,可解得,.,交换,和,的次序,得,即,为 的反函数,.,2,、复合函数,定义,1.1.3,:,设,是,的函数,而,又是,的函数,且,的值域与,的定义域的交集非空,那么,通过中间变量,的联系成为,的函数,我们把这个函数称为是由函数,与 复合而成的复合函数,记作,.,例,1.1.4,已知,试把,表示为,的函数,.,解 因为,而,是中间变量,所以,例,1.1.5,设, , ,试把,表示为,的函数,.,解,分别是中间变量,故,.,时间,是我们唯一对每个人都公平的,资源,做好,时间管理，不再因虚度光阴而,悔恨,做好时间管理，也是一个人能力的,体现,做好时间管理，是实现人生规划的保证,1.2.1,数列的极限,1.2,极限的概念,1.2.2,函数的极限,数列的极限,1,先给出数列的定义,:,在某一对应规则下,当,依次取,时,对应的实数排成一列数,这列数就称为数列,记为,.,从定义看到,数列可以理解为定义域为正整数集,的函数,当自变量依次取,1,2,3,等一切正整数时,对应的函数值就排列成数列,.,数列,(1-1),中的第,个数,称为数列的第,项或通项,.,定义,1.2.1,:,如果数列,的项数,无限增大时,它的通项,无限接近于某一个确定的常数,则称,是数列,的极限,此时也称数列,收敛于,记作,定义,1.2.2,:,如果数列,的项数,无限增大时,它的通项,不接近于任何确定的常数,则称数列,没有极限,或称数列,发散,.,注意,:,当,无限增大时,如果,无限增大,则数列没有极限,.,这时,习惯上也称数列,的极限是无穷大,记作,函数的极限,2,定义,1.2.3,:,如果当,无限增大,(,即,),时,函数,无限趋近于一个确定的常数,那么就称 当,时存在极限,称数,为当,时函数,的极限,记作,1,、当,时函数,的极限,函数的自变量,是指,的绝对值无限增大,它包含以下两种情况,:,(1),取正值,无限增大,记作,;,(2),取负值,它的绝对值无限增大,(,即,无限减小,),记作,.,例,1.2.1,讨论函数,当,和,时的变化趋势,.,解,作出函数,的图像,(,如上图所示,).,由图可以看出,当,和,时, ,因此当,时, .,例,1.2.2,作出函数,和,的图形,并判断下列极限,:,解,分别作出函数,和,的图形,(,如图下所示,).,由图形可以看出,:,例,1.2.3,讨论下列函数当,时的极限,:,(1) ; (2) .,解,(1),函数的图形如图所示,.,从图形可知,当,时, ;,当,时, .,因此,当,无限增大时,函数,无限地接近于常数,1,即,.,(2),函数的图形如图所示,.,从图形可知,当,时, ;,当,时, .,因此,当,无限增大时,函数,不可能无限地趋近某一个常数,即,不存在,.,理论上可以证明,:,与,的情形类似,包含从,大于,的方向和,从小于,的方向趋近于,两种情况,分别用,:,(1),表示,从大于,的方向趋近于,;,(2),表示,从小于,的方向趋近于,.,2,、当,时,函数,的极限,定义,1.2.4,:,设函数,在点,的某个去心领域内有定义,如果当,时,函数 无限趋近于一个确定的常数,那么就称当,时,存在极限,;,数,就称为当,时函数,的极限,记作,说明,:,在数轴上,以点,为中心的任何开区间称为,的领域,.,设,为一正数,则开区间 就是,的一个领域,称为点,的,领域,如左图所示,记,即,其中,称为该领域的中心,称为该领域的半径,.,在上述领域中除去领域的中心点,称为点,的去心,领域,记为,即 ，,如右图所示,.,注意,:,在定义中,“,设函数,在点,的某个去心领域内有定义”反映我们关心的是函数 在点,附近的变化趋势,而不是,在,这一孤立点的情况,.,在定义极限 时,有没有极限,与,在点,是否有定义并无关系,.,例,1.2.4,求下列极限,解,(1),因为当,时,的值无限趋近于,所以有,(2),因为当,时,的值恒等于,所以有,根据,时函数,的极限定义和左、右极限的定义,容易证明,:,例,1.2.5,已知函数,讨论当 时的极限,.,解,这是一个分段函数在分界点处的极限问题,.,作出它的图形,如图所示,由图可见 虽然当,时的左、右极限都存在但是不等,所以当,时,的极限不存在,.,例,1.2.6,已知函数 求,解,因为 即,所以,.,例,1.2.7,已知,是否存在,?,解,当,时,当,时,所以函数可以分段表示为,于是,即,所以,不存在,.,时间,是我们唯一对每个人都公平的,资源,做好,时间管理，不再因虚度光阴而,悔恨,做好时间管理，也是一个人能力的,体现,做好时间管理，是实现人生规划的保证,1.3.1,极限的四则运算法则,1.3,极限的运算法则,1.3.2,复合函数的极限法则,1.3.3,函数极限的性质,1.3.4,两个重要准则,极限的四则运算法则,1,定理,1,若,，,，则,（,1,）,（,2,）,特别地,（,3,）,说明,:,(1),使用这些运算法则的前提是自变量的同一变化过程中,和,的极限都存在,;,(2),上述运算法则对于,等其他变化过程也同样成立,;,(3),法则,1,2,可推广到有限个函数的情况,于是有,例,1.3.1,求,.,解,例,1.3.2,求,.,解,由于当,时, ,分母的极限不为,由商的极限运算法则,得,例,1.3.3,求,.,解,当,时, ,分母的极限是,不能直接应用商的极限运算法则,.,通常的方法是设法消去分母为零的因式,然后再利用有理运算法则,.,例,1.3.4,求,解,当,时, ,不能直接使用商的极限运算法则,但可采用分母有理化消去分母中的零因子,.,复合函数的极限法则,2,函数的性质,3,两个重要准则,4,时间,是我们唯一对每个人都公平的,资源,做好,时间管理，不再因虚度光阴而,悔恨,做好时间管理，也是一个人能力的,体现,做好时间管理，是实现人生规划的保证,1.4.1,第一个重要极限,1.4,两个重要极限,1.4.2,第二个重要极限,第一个重要极限,1,第二个重要极限,2,时间,是我们唯一对每个人都公平的,资源,做好,时间管理，不再因虚度光阴而,悔恨,做好时间管理，也是一个人能力的,体现,做好时间管理，是实现人生规划的保证,1.5.1,无穷小,1.5,无穷小与无穷大,1.5.2,无穷大,1.5.3,无穷大与无穷小的关系,1.5.4,无穷小的比较,无穷小,1,1,、无穷小的定义,2,、无穷小的性质,3,、函数极限与无穷小的关系,无穷大,2,无穷大与无穷小的关系,3,无穷小的比较,4,无穷小的比较,4,时间,是我们唯一对每个人都公平的,资源,做好,时间管理，不再因虚度光阴而,悔恨,做好时间管理，也是一个人能力的,体现,做好时间管理，是实现人生规划的保证,1.6.1,函数的连续性,1.6,函数的连续性,1.6.2,函数的间断点及其分类,函数的连续性,1,1,、函数在一点处连续,2,、区间上的连续函数,函数的间断点及其分类,2,1,、间断点的概念,1,、间断点的分类,时间,是我们唯一对每个人都公平的,资源,做好,时间管理，不再因虚度光阴而,悔恨,做好时间管理，也是一个人能力的,体现,做好时间管理，是实现人生规划的保证,1.7.1,连续函数的四则运算,1.7,连续函数的四则运算与初等函数的连续性,1.7.2,复合函数的连续性,1.7.3,闭区间上连续函数的性质,连续函数的四则运算,1,复合函数的连续性,2,初等,函数的连续性,3,闭区间上,连续函数的性质,4,定理,1.7.1,（,最大值和最小值定理,）,闭区间上连续函数必有最值,.,