高中数学圆锥曲线问题解题技巧

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,(2019全国卷文科)已知双曲线 的一条准线为 ，则该双曲线的离心率为 ( ),A B C D,x,y,o,F,1,F,2,b,cos,=1+,k,2,.,(,k,为双曲线渐近线的斜率.),(2019全国东北理科卷)设双曲线的焦点在,x,轴上,两条渐近线为,y,=,x,，则该双曲线的离心率,e,=( ),A. 5 B. C. D.,=1+,k,2,.,其中,k,为双曲线渐近线的斜率.,C,e,2,=5/4.,(2019全国卷文科)已知双曲线 的一条准线为 ，则该双曲线的离心率为 ( ),A B C D,x,y,o,F,1,F,2,b,a,将,k,2,=,e,2,-,1代入上式, 整理得,9,e,4,-,9,e,2,-,4=0,e,2,=4/3.,D,已知,F,1,、,F,2,为双曲线,(,a,0,b, 0),的焦点，过,F,2,作垂直于,x,轴的直线交,双曲线于,P,且,P,F,1,F,2,30(,如图,),求双,曲线的渐近线方程,.,x,y,o,P,F,1,F,2,4,即,ec,3,a,e,2,3,已知,F,1,、,F,2,为双曲线,(,a,0,b, 0),的焦点，过,F,2,作垂直于,x,轴的直线交双曲线于,P,且,P,F,1,F,2,30(,如图,),求双曲线的渐近线方程,.,x,y,o,P,F,1,F,2,|,PF,1,|2|,PF,2,|，,ex,P,+,a,=2(,ex,P,-,a,)，,ex,P,3,a,k,2,=,e,2,-,1=2.,y,=,x,.,(2019福建理科) 已知,F,1,、,F,2,是双曲线,- =,1(,a,0,b,0)的两焦点, 以线段,F,1,F,2,为边作正三角形,MF,1,F,2, 若边,MF,1,的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是 ( ),A. 4+2 B.,-,1 C. D. +1,x,y,o,F,1,F,2,M,A,30,x,1,由已知, |,AF,1,|=,c, |,AF,2,|=,c,即,ex,1,-,a,=,c,ex,1,+,a,=,c,两式相减：2,a,=(,-,1),c,两边同除以,a,得,e,=,(2019福建理科)已知,F,1,、,F,2,是双曲线 (,a,0,b, 0)的两个焦点，以线段,F,1,F,2,为边作,正三角形,MF,1,F,2, 若边,MF,1,的,中点,在双曲线上, 则双曲线的离心率是 ( ) A. 4+2 B.,-,1 C. D. +1,因为|,NF,1,|=,ex,N,-,a,=,c,即,ex,N,+,a,=,c,y,x,o,M,F,2,N,F,1,又|,NF,2,|= |,NF,1,|,D,2,ex,N,=( +1),c,将,x,N,=,c,/2代入即得.,要点提炼：,设双曲线的离心率为,e, 一条有较小倾斜角,的渐近线的斜率为,k,则双曲线的如下性质在解题时十分有用：,过焦点作一条渐近线的垂线,垂足在双曲线的准线上, 垂线段的长等于半虚轴长；,arccos(1/,e,),；,e,2,k,2,1,. 此外, 双曲线的焦半径公式：,r,1,|,ex,0,a,|，,r,2,|,ex,0,a,|,在处理涉及双曲线的焦半径问题时是十分有用的,必须要学生熟记它.,设,设而不求,(1994全国),设,F,1,F,2,为双曲线 的两个焦点，点,P,在双曲线上，且,F,1,PF,2,=90,则,F,1,PF,2,的面积是,( ),A. 1 B.,C. 2,D.,=1.,A,x,y,o,F,1,F,2,P,以,F,1,F,2,为直径的圆的方程是：,x,2,+,y,2,=5,(2019全国,卷,)已知双曲线 的焦点为,F,1,、,F,2, 点,M,在双曲线上且,MF,1,MF,2,=0,则点,M,到,x,轴的距离为( ),A B C D,x,y,o,F,1,F,2,M,x,2,+,y,2,=3,MF,1,MF,2,=0,MF,1,MF,2,x,2,+,y,2,=3,2,x,2,-,y,2,=2,y,=,平几知识的应用,C,已知,F,1,、,F,2,为双曲线,(,a,0,b, 0),的焦点，,M,为双曲线上的点, 若,F,1,M,F,2,90,则,F,1,M,F,2,的面积等于,_,.,x,y,o,F,1,F,2,M,一般化,x,2,+,y,2,=,c,2,b,2,x,2,-,a,2,y,2,=,a,2,b,2,c,2,y,2,=,b,2,(,c,2,-,a,2,)=,b,4,y,=,b,2,/,c,S,F,1,M,F,2,=,b,2,.,(2019全国,卷,)已知双曲线 的焦点为,F,1,、,F,2, 点,M,在双曲线上且,MF,1,MF,2,=0,则点,M,到,x,轴的距离为( ),A B C D,x,y,o,F,1,F,2,M,C,S,F,1,MF,2,=,b,2,=2,设点,M,到,x,轴的距离为,d,则,cd,=,S,d,=,将直角坐标系中的曲线平移(或平移坐标轴)，曲线上任意两点之间的距离（弦长）、两条定弦之间的夹角、以及曲线上任一点处的切线的斜率，都是平移变换下的,不变量,.,(2019,全国,),直线,l,过抛物线,y,2,a,(,x,+1),(,a,0),的焦点,并且与,x,轴垂直,若,l,被抛物线截得的线段长为,4,则,a,.,直线,l,过抛物线,y,2,4(,x,+1),的焦点,并且与,x,轴垂直,若,l,被抛物线截得的线段长为,.,4,4,y,2,a,(,x,-,3),（2019 新课程卷）设,a,0，,f,(,x,)=,ax,2,+,bx,+,c, 曲线,y,=,f,(,x,)在点,P,(,x,0,f,(,x,0,)处的切线的倾斜角的取值范围为 ，则点,P,到曲线,y,=,f,(,x,)对称轴距离的取值范围为 ( ),A. B. C. D.,曲线,y,=,f,(,x,)在点,P,(,x,0,f,(,x,0,)处的切线的斜率,k,=2,ax,0,.,依题意,0,k,1,即,0,2,ax,0,1.,B,f,(,x,)=2,ax,x,y,o,F,P,y,=,ax,2,y,=,-,y,=2,ax,y,| =1.,证明：点,P,处的切线斜率为1,x,y,o,F,P,证明：点,P,处的切线斜率为1,法一,：,由,y,2,=2,px, 2,yy,=2,p,法二,：,由,F,回 顾,y,2,=2,px,PF,=,p,x,y,o,A,x,=-,命题,1,设抛物线,y,2,=2,px,(,p,0),的通径为,PQ,，,则抛物线在点,P,、,Q,处的切线的斜率分别为,1,和,-,1,且切线通过抛物线的准线与,x,轴的交点.,x,y,O,P,Q,F,x=,-,M,x,y,o,F,P,(2019 全国东部卷) 设抛物线,y,2,=8,x,的准线与,x,轴交于点,Q,，若过点,Q,的直线,l,与抛物线有公共点，则直线,l,的斜率的取值范围是 ( ),A. B. ,-,2,2,C. ,-,1,1 D. ,-,4,4,y,2,=18,x,y,2,=8(,x,-,6),C,已知,F,为抛物线,C,：,y,2,4,x,的焦点，,P,为,C,上的任一点，过点,F,且斜率为1的直线与,C,交于,A,、,B,两点，若,PAB,的面积为4 ，则这样的点,P,有 ( ),(A) 1个 (B) 2个 (C) 3个 (D) 4个,AB,：,x,-,y,-,1=0,求得|,AB,|=8,；,取点,M,(1,2), ,MAB,的面积为4,C, 点,M,到直线,AB,的距离为,x,y,o,A,B,F,M,引申,1,椭圆通径一个端点处切线的斜率,x,y,o,F,1,P,由,得,引申,2,双曲线通径端点处切线的斜率为,e,.,引申,3,过椭圆 上一点,P,(,x,0,y,0,) 的切线方程为：,引申,4,过双曲线 上一点,P,(,x,0,y,0,) 的切线方程为：,引申,5,过抛物线,y,2,=2,px,上一点,P,(,x,0,y,0,)的切线方程为：,y,0,y,=,p,(,x+x,0,),y,0,y,=,p,(,x+x,0,),k,切,=,命题,2,若,PQ,为焦点在,x,轴上的圆锥曲线的通径，则曲线在点,P、Q,处的切线的斜率为,e,和,-,e,，且切线通过相应准线与,x,轴的交点,.,或表述为：过焦点在,x,轴上的圆锥曲线的准线与,x,轴的交点，且斜率为,e,(或,-,e,)的直线，与圆锥曲线相切，且切点为圆锥曲线一条通径的端点.,x,y,o,作离心率为1/2的椭圆,x,y,o,F,A,B,|,OF,|,c, |,FA,|,b, |,OA,|,a.,c,|,AB,|2,ab,|,AB,|,作离心率为2的双曲线,(2019湖南理科卷)如图，过抛物线,x,2,=4,y,的对称轴上任一点,P,(0,m,) (,m,0)作直线与抛物线交于,A,，,B,两点，点,Q,是点,P,关于原点的对称点.,(,I,) 设点,P,分有向线段,AB,所成的比为,，证明,QP,(,QA,-,QB,)；,(,II,),设直线,AB,的方程是,x,-,2,y,+12=0,，,过,A,、,B,两点,的圆,C,与抛物线在点,A,处有,共同的切线，求圆,C,的方程,.,x,y,o,A,P,B,Q,x,y,o,A,P,B,Q,(0,-,m,),(,x,1,y,1,),(,x,2,y,2,),AP,=(,-,x,1,m,-,y,1,),PB,=(,x,2,y,2,-,m,), 由已知,x,1,=,-,x,2,y,1,-,m,=,-,(,y,2,-,m,).,即,因为,A,、,P,、,B,共线, 且,AP,=,PB,.,QP,=,QA,+,QB,=,(,QA,+,QB,).,欲证,QP,(,QA,-,QB,), 只须证,QP,(,QA,-,QB,)=0,即证|,QA,|,2,-,2,|,QB,|,2,=0.,而 |,QA,|,2,-,2,|,QB,|,2,= +(,y,1,+,m,),2,-,2,+(,y,2,+,m,),2,光 的 反 射,基本原理:,(,)光的传播遵循“,光行最速原理,”;,(,)光的反射应满足：“,入射角=反射角”,;,由此推得,入射线与反射线关于,法线,对称;,投影线为水平线时,k,入射线,+,k,反射线,=0.,光 的 反 射,基本技巧:,始,点,终,点,入射线,;,始,点,终,点的对称点,反射线.,始,点的对称点,终,点,(1989全国) 自点,A,( -3, 3 )发出的光线,l,射到,x,轴上被,x,轴反射，其反射光线所在直线与圆,x,2,+,y,2,-,4,x,-,4,y,+7=0相切, 求光线,l,所在直线的方程.,(,x,-2),2,+(,y,-2),2,=1,x,1,y,o,1,-,1,.,.,A,.,.,A,始点的对称点,终,点 -,反射线,；,终,点的对称点,始,点 -,入射线,.,(2019江苏) 点,P,(,-,3,1)在椭圆 的左准线上, 过点,P,且方向为,a,=(2,-,5)的光线, 经直线,y,=,-,2反射后通过椭圆的左焦点, 则这个椭圆的离心率为 ( ),A. B. C. D.,x,y,o,P,(,-,3,1),F,(,-,c,0),M,N,l,解法一：,依题意, 入射线方程为,y,-,1=,-,(,x,+3),令,y,=,-,2, 得,M,(,-,-,2);,令,y,=0, 得,N,(,-,0).,F,(,-,1,0),a,2,=3,x,y,o,P,(,-,3,1),F,(,-,c,0),M,N,l,解法二：,点,F,关于直线,y,=,-,2的对称点为,Q,(,-,c,-,4 ).,c=,1,a,2,=3,依题意,k,PQ,=,-,Q,要点提炼：,光反射的理论依据，是物理学中的,光行最速原理,；数学中处理这类问题的基本方法是运用平面几何中的,对称性,，这就是“,通法,”. 只有把握住“通法”，不论题目如何变化，你才能在解题时得心应手，游刃有余.,(2019江苏卷)已知椭圆的中心在原点，离心率为 ，一个焦点是,F,(,-,m,0) (,m,是大于零的常数).,(,)求椭圆方程；,(,)设,Q,是椭圆上的一点，且过点,F,，,Q,的直线,l,与,y,轴交于点,M,，若|,MQ,|=2|,QF,|，求直线,l,的斜率.,(,),(,),x,y,o,M,Q,F,|,MQ,|=2|,QF,|,(,),分析：,由题设，|,x,M,-,x,Q,|=2|,x,Q,-,x,F,|，,即|,x,Q,|=2|,x,Q,+,m,|，,即,x,Q,=,-,2,m,或,x,Q,=,-,m,.,3,x,2,+4,y,2,=12,m,2,y,=,k,(,x,+,m,),(3+4,k,2,),x,2,+8,k,2,mx,+4,k,2,m,2,-,12,m,2,=0,令,x,=,-,2,m,，得,k,=0；,令,x,=,-,m,，得,k,=,2 .,(2019东北理科卷) 给定抛物线,C,：,y,2,=4,x,，,F,是,C,的焦点，过点,F,的直线,l,与,C,相交于,A,、,B,两点.,(,) 设,l,的斜率为1，求,OA,与,OB,的夹角；,(,) 设,BF,=,FA, 若,4, 9，求,l,在,y,轴上截距的变化范围.,x,y,o,A,B,F,(,) 由对称性，我们只须研究如图的情况.,x,y,o,A,B,F,( 1 ) 当,y,B,=,-,4,y,A,时，,y,A,=1,m,= .,令,x,=0，得,y,1,=,( 2 ) 当,y,B,=,-,9,y,A,时，同理可得,y,2,=,m,C,D,A,B,E,(2000新课程卷) 如图, 已知梯形,ABCD,中,|AB|=2,|,CD,|, 点,E,分有向线段,AC,所成的比为,，双曲线过,C,、,D,、,E,三点，且以,A,、,B,为焦点. 当 时，求双曲线离心率,e,的取值范围.,由|,AE|=,|EC|,x,y,设,|AB|=,2,c, 则,A,(,-,c,0),C,( ,y,C,), 又设,E,(,x,0,y,0,),得,x,0,+,c,=,(,-,x,0,),x,0,=,|EC|,= (,ex,C,+,a,),-,(,-,ex,0,-,a,)=2,a,+,e,(,x,C,+,x,0,),因为,|EC|=|AC|,-,|AE|,因为,|EC|,= (,ex,C,+,a,),-,(,-,ex,0,-,a,)=2,a,+,e,(,x,C,+,x,0,),|,AE|=,|EC|,x,0,=,所以,-,ex,0,-,a,=,2,a,+,e,(,+,x,0,),t,=,-,2,e,t,-,2=,4+,e,(,e,+2,t,),2,e,(+1),t,=,-,(,e,2,+4,+2),将,代入,两边同乘以,e,2,(,-,2)=,-,(,e,2,+4,+2),e,2,=,因为,所以 7,e,2,10,得,(2019天津理科卷)椭圆的中心是原点,O,，它的短轴长为2 ，相应于焦点,F,(,c,0)的准线,l,与,x,轴相交于点,A,，|,OF,|=2|,FA,|.过点,A,的直线与椭圆相交于,P,、,Q,两点.,(,)求椭圆的方程及离心率；,(,)若,OP,OQ,=0，求直线,PQ,的方程；,(,)设,AP,=,AQ,(,1).过点,P,且平行于,l,的直线与椭圆相交于另一点,M,. 证明：,FM,=,-,FQ,.,M,A,P,Q,O,F,x,y,e,=,x,y,-,3=0,M,A,P,Q,O,F,x,y,(,)设,AP,=,AQ,(,1).过点,P,且平行于,l,的直线与椭圆相交于另一点,M,. 证明：,FM,=,-,FQ,.,？,分析,设,P,(,x,1,y,1,),Q,(,x,2,y,2,), 则,M,(,x,1,-,y,1,). 又,F,(2,0), 由已知,x,1,-,3=,(,x,2,-,3),y,1,=,y,2,.,=,-,(3,-,x,2,-,y,2,),FM,=(,x,1,-,2,-,y,1,)=(,(,x,2,-,3)+1,-,y,1,),FQ,=(,x,2,-,2,y,2,).,欲证,FM,=,-,FQ,，只须证,或,M,A,P,Q,O,F,x,y,AP,=,AQ,(,1).,目标：,条件：,(3,0),x,1,-,3,=,(,x,2,-,3),y,1,=,y,2,x,+3,y,=6,x,+3,y,=6. ,-,2,:,将,式代入上式，整理得：,x,2,0,M,A,P,Q,O,F,x,y,(,)设,AP,=,AQ,(,1).过点,P,且平行于,l,的直线与椭圆相交于另一点,M,. 证明：,FM,=,-,FQ,.,？,还须证：,M,、,F,、,Q,三点共线.,要点提炼：,解综合题的关键在于,恰当地变换,，即将原问题变换为另一个为我们熟知的较易解决的新问题而变换的关键在于巧妙地,联想,，联想是由一事物想到另一事物的心理活动，是连结生疏问题与熟知问题的桥梁，它熔发散式思维与聚合式思维于一炉，通过联想熟悉的模型、知识和方法，达到化未知为已知的目的，以求得问题的顺利解决,