一元高次不等式和分式不等式的解法

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,一元高次不等式和分式不等式的解法,(,第二课时,),掌握一类简单的可化为一元二次不等式的分式不等式的解法,会解与一元二次不等式有关的恒成立问题和实际应用题,【,课标要求,】,【,核心扫描,】,一元二次不等式的应用,(,重点,),一元二次不等式中的恒成立问题,(,难点,),与二次函数、二次方程、实际应用题联系密切，而且应用广泛,注意实际问题中变量有意义的范围,1,2,1,2,3,4,一、一元高次不等式的解法：,只含有一个未知数，并且未知数的次数高于,2,次的不等式称为,高次不等式,。,一元高次不等式用,穿针引线法,求解，其步骤是：,(1),将不等式化为标准形式；将高次项的系数化为,正数,，不等式,一端为,0,，另,一端为一次因式,(,因式中,x,的系数为正,),或,二次不可约因式,的,乘积,(2),求,出各因式,为,0,时,的,实数根,，并在,数轴上标出,(3),自最右端上方起，用曲线从右至左依次由各根穿过数轴，遇奇次重根一次穿过，遇偶次重根穿而不过,(,说明：,奇过偶不过,),(4),记数轴,上方为正,，,下方为负,，根据不等式的符号写出解集,用数轴标根法解简单高次不等式的,步骤,：,（,1,）,整理。,先将不等式化成标准形式，即一端为,0,，另一端为一次（或二次）因式的积的形式。注意各因式中,x,的系数一定为正数,（,2,）,标根,。求出各因式的根，并在数轴上依次标出。,（,3,）,穿线,。用一条曲线由右上方开始从右到左，从上到下依次穿过各根相应的点，注意偶次重根穿而不过，奇次重根照样穿过，即“奇穿偶不穿”。,（,4,）,写解集,。在数轴上方的曲线所对应的区间是不等式 大于,0,的解集；在数轴下方的曲线所对应的区间是不等式 小于,0,的解集,二、分式不等式的解法,（转化为标准形）,（,1,）转化为整式不等式求解：,（,2,）转化为整式不等式组求解：,三、例题讲解,解：,例,1,解不等式：,+,+,-7,3,三、例题讲解,例,2,解不等式：,解：,原不等式化为：,即,由于,原不等式进一步转化为同解不等式,原不等式的解集为：,x|-3x1.,+,+,-3,1,解：,3,1,-2,原不等式的解集为：,三、例题讲解,三、例题讲解,解：原不等式化为：,即,例,4,解不等式：,x,3,4,+,+,原不等式的解集为：,思路探索,将分式不等式等价转化为一元二次不等式或一元一次不等式组,【,例,2,】,题型,二,分式不等式的解法,由二次函数图像与一元二次不等式的关系分析，可以得到常用的两个结论：,(1),不等式,ax,2,bx,c,0,的解集是全体实数,(,或恒成立,),的条件是当,a,0,时，,b,0,，,c,0,；,不等式恒成立问题,1,分离参数法,解不等式恒成立问题,对于有的恒成立问题，分离参数是一种行之有效的方法这是因为将参数予以分离后，问题往往会转化为函数问题，从而得以迅速解决当然这必须以参数容易分离作为前提分离参数时，经常要用到下述简单结论：,(1),a,f,(,x,),恒成立,a,f,(,x,),max,；,(2),a,f,(,x,),恒成立,a,f,(,x,),min,.,3,题型一,恒成立问题,当,a,为何值时，不等式,(,a,2,1),x,2,(,a,1),x,1,0,的解集为,R?,思路探索,不等式的解集为,R,，也就是函数,f,(,x,),(,a,2,1),x,2,(,a,1),x,1,的图像恒在,x,轴下方，注意二次项系数,a,2,1,可能为,0,，也可能小于,0,，应分两种情况讨论加以解决,【,例,1,】,(2),审清题意，弄清楚哪个是参数，哪个是自变量例如，,“,已知函数,y,x,2,2(,a,2),x,4,，对,a,3,1,，,y,0,恒成立,”,中，变量是,a,，参数是,x,，该函数是关于,a,的函数,不等式,(,a,1),x,2,ax,a,m,(,x,2,x,1),对任意,x,恒成立，试比较,a,与,m,的大小,解,原不等式整理得,(,a,m,1),x,2,(,a,m,),x,a,m,0,对任意,x,恒成立,当,a,m,1,0,时，原不等式化为,x,1,0,，,即,x,1,，不恒成立,当,a,m,10,时，由题意知,【,训练,1,】,a,m,1,0,，,3(,a,m,1),1,1,0,，,a,m,0,，,a,m,.,综上，,a,与,m,的大小关系是,a,m,.,