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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,等腰三角形,1、,等腰三角形的定义：有两边相等的三角形是等腰三角形。,2、,等腰三角形的性质：,（1）,等腰三角形的两个底角相等。 （简写成“等边对等角”）,（2）,等腰三角形的顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高重合（简写成“三线合一”）,3、,等腰三角形的判定：,（1）,有两条边相等的三角形是等腰三角形。,（2）,有两个角相等的三角形是等腰三角形。 （简写成“等角对等边”）,4、,等腰三角形有关结论：,（1）,等腰三角形的两底角的平分线相等。,（两条腰上的中线相等，两条腰上的高相等）,（2）,等腰三角形的底边上的中点到两腰的距离相等。,（3）,等腰三角形底边上任意一点到两腰距离之和等于一腰上的高(需用等面积法证明),（4）,等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半。,等腰三角形和等边三角形的性质和判定的应用，证明线段、角相等，求线段的长度、角的度数。,下列命题中真命题的个数是,( ),；等边三角形也是等腰三角形，任何一边都可以作为底或腰；不等边三角形是遍都不相等的三角形；不等边三角形是三边不都相等的三角形；三角形按边可分为不等边三角形、等腰三角形、等边三角形。,A.1 B.2 C.3 D.4,B,已知一个三角形的边长为,4cm,，,5cm,，且第,三,边,长,x,为,整,数，问：,（,1,）由,4cm,5cm,xcm,为边可组成多少个不同的三角形？,（,2,）如果这个三角形是等腰三角形，试确定,x,的值。,解：（1）,由三边关系可知，,5-4,x,5+4,，,即,1,x,9,又,x,为整数，故,x,可取值为,2,，,3,，,4,，,5,，,6,，,7,，,8,共,7,个，因而可组成,7,个不同的三角形。,（2）,当,x=4cm,或,5cm,时，可组成等腰三角形。,如图，,P,，,Q,是,ABC,边上的两点，且,BP=PQ=QC=AP=AQ，,求,BAC,的度数。,A,P,B,C,Q,开动脑筋,在,ABC,中，,AB=AC,点,D,在,BC,上，且,AD=BD,AC=CD,求,B,的度数。,AB=AC,AD=BD,AC=CD,B=C=BAD,ADC=DAC,设,B=x,，则,ADC=B+BAD=2x,DAC=ADC=2x,在,ABC,中,B+C+BAC=180,x=36,故,B=36,如图，CA=CB,DF=DB,AE,=AD,求A的度数,设A为x,CA=CB, A=B=x,DF=DB,F=B=x, A=B= F =x,AD,E,=2x,AE=AD,AED=ADE=2x, A=1805=36,E,ABC,是等边三角形，过,AC,边上的点,D,作,DG/BC,交,AB,于点,G,，在,GD,的延长线上取一点,E,，使,DE=DC,，连接,AE,BD,。（,1,）求证,AGE,DAB,。,解：, ABC,是等边三角形，,DG/BC,AGD,是等边三角形,AG=GD=AD,AGD=60, DE=DC,GE=GD+DE=AD+DC=AC=AB,AGD=BAD,AG=AD, AGEDAB,（,2,）过点,E,作,EF/DB,，交,BC,于点,F,，连接,AF,，求,AFE,的度数。,解：, EF/DB,，,DG/BC,四边形,BFED,是平行四边形,EF=BD,EF=AE,DBC=DEF,ABD+DBC=AEG+DEF,即,AEF=ABC=60,AEF,是等边三角形, ,AFE= 60,已知，在,ABC,中，,AB=AC,BDAC,于点,D,，求证：,2DBC=BAC,证明：,过点,A,作,AEBC,于点,E,AB=AC,，,AEBC,2EAC=BAC,EAC+C=90,又,BDAC,DBC=EAC,所以,2DBC=BAC,如图，在ABC中，BAC90,，ABAC，ABC的平分线交AC于D，过C作BD垂线交BD的延长线于E，交BA的延长线于F，求证：BD2CE,如图，在ABC中，已知ABAC，,BAC90,，D是BC上一点，ECBC，,ECBD，DFFE,求证：（1）ABDACE；（2）AFDE,已知如图,1,，,B,、,C,、,E,三点在同一条直线上，,ABC,与,DCE,都是等边三角形，,AE,交,CD,于点,G,，,BD,交,AC,与点,F,，连接,FG,。,证明：（,1,）,AE=BD,； （,2,）,FGBE,；,图,1,（,3,）如图,2,，若,M,、,N,分别是,AE,、,BD,的中点，,MNC,是什么三角形？请说明理由。,图,2,角平分线定理与垂直平分线定理,例,1,：如图，已知：AB=AC，AB的垂直平分线交AC于D，垂足是点E，C=70，求BDC的度数。,解： ,AB=AC,， ,ABC=C=70,。 ,A=180-2C=40,，,又,DE,垂直平分,AB,， ,AD=BD,。 ,DBA=A=40,。 ,BDC=A+ABD,=40+40=80,。,例,2,如图1，OC平分，P是OC上一点，D是OA上一点，E是OB上一点，且PD=PE，求证：,证明：过点,P,作 ， ，垂足分别为,M,、,N,因,OC,是角平分线， ， ， 故,PM=PN,由,PD=PE,，,PM=PN,，得 ，,而,例,3,如图2，在 中， 的平分线与BC边的垂直平分线相交于点P。过点P作AB、AC（或延长线）的垂线，垂足分别是M、N。求证：BM=CN。,证明：因AP是 的角平分线，又因为 ， ，故,PM=PN,因PD是BC的垂直平分线，,故PB=PC,因PB=PC，PM=PN，,故,例,4,：已知：如图，PB、PC分别是ABC的外角平分线，相交于点P.求证：P在A的平分线上,证明：过点作，垂足分别为，。,，分别是,ABC,的外角平分线,PE=PQ, PF=PQ,PE=PF,，,点,P,在,A,的平分线上,例,5,：已知：如图，在ABC中，AD是高，BC的垂直平分线交AC于E，BE交AD于F。求证：E在AF的垂直平分线上。,证明： E在BC的垂直平分线上,EB=EC C=CBE（等边对等角）。 ADBC（已知）， BFD+C=90，,CAD+C=90， BFD=CAD,又AFE=BFD,CAD=AFE， EA=EF（等角对等边）， E在AF的垂直平分线上,
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