第五章-线性定常系统的综合

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第五章 线性定常系统的综合,5.1,线性反馈控制系统的基本结构及其特性,一、状态反馈,受控系统的状态空间表达式为,得到新的状态空间表达式：,若 ，则,简记为 。系统的闭环传递函数矩阵,可见，状态反馈阵,K,的引入，并不增加系统的维数，但可通过,K,的选择自由地改变闭环系统的特征值，从而使系统获得所要求的性能,二、输出反馈,受控系统的状态空间表达式为,得到新的状态空间表达式：,若 ，则,简记为 。系统的闭环传递函数矩阵,可见，输出反馈中的,HC,与状态反馈中的,K,相当，但由于,H,可供选择的自由度小于,K,，因而输出反馈只能相当于一种部分状态反馈。显然，输出反馈不如状态反馈效果好，但输出反馈在技术上容易实现。,三、从输出到状态矢量导数的反馈,受控系统的状态空间表达式为,得到新的状态空间表达式：,若 ，则,简记为 。系统的闭环传递函数矩阵,可见，通过选择矩阵,G,也能改变闭环系统的特征值，从而影响系统的特性。,四、动态补偿器,上述三种反馈都不改变原系统的状态变量，并且增益阵都是常数矩阵，反馈为线性反馈。对于更复杂的系统，常常要引入一个动态子系统来改善系统的性能，这种动态子系统称为动态补偿器。如：状态观测器。,五、闭环系统的能控性与能观性,由于以上方法改变了系统矩阵，因此也改变了系统的能控性与能观性。,闭环系统的能控性与能观性,状态反馈系统：经过状态反馈阵,K,构成的闭环系统的能控性等价于原系统的能控性，但可以改变系统的能观性。,输出反馈系统：采用输出反馈阵,H,构成的闭环系统保持了原系统的能控性和能观性。,两个子系统的串联、并联或反馈构成的闭环系统，其能控性和能观性都可能发生变化。,一个单位反馈系统的能控性和能观性与其开环系统的能控能观性是一致的。,已知系统 为,状态反馈阵,判别系统能控性和能观性。,原系统,RankM,0,=2,，系统完全能控。,RankN,0,=2,，系统完全能观。,经状态反馈后的系统,RankM,b,=2,，系统完全能控。,RankN,b,=1,，系统不完全能观。,5.2,极点配置问题,所谓极点配置就是：通过选择反馈增益矩阵，将闭环系统的极点恰好配置在根平面上所期望的位置，以获得所期望的动态性能。,一、采用状态反馈,定理：采用状态反馈对系统任意配置极点的充要条件是原系统完全能控。,（,1,）矩阵,A,、,B,为能控标准型,采用状态反馈后,闭环系统特征方程为,希望的极点为,（,2,）矩阵,A,、,B,为能控系统状态方程，但非标准型,方法,1,：通过变换矩阵,T,将系统化为能控标准型，求状态反馈矩阵,K,；,方法,2,：,采用状态反馈后,闭环系统特征方程为,希望的极点为,例：设系统的传递函数为,试设计状态反馈控制器，使闭环系统的极点为,-2,，,-1j1.,解,：（,1,）由于系统的传递函数没有零极点对消现象，所以原系统能控且能观。可以写出它的能控标准,型，画出模拟结构图。,加入状态反馈后的状态方程如下，而状态空间表达式如右图。,（,2,）由于加入了状态反馈阵 ，闭环特征多项式变为：,（,3,）根要求定的极点值，得期望的特征多项式为：,比较两者的系数可得：,如果该题采用将传递函数分解成四个串联的环节，则原系统的状态空间表达式为：,引入状态反馈矩阵 后，形成的闭环系统如图，,闭环系统的特征多项式,与期望的特征多项式比较得,解：,因为,例 给定系统的状态空间表达式为,求状态反馈增益阵,，使反馈后闭环特征值为,系统是状态完全能控，通过状态反馈控制律,能,配置闭环特征值。,任意,1),由,得,2),由,得,3),6),算法,2,：直接配置,1),将 带入系统状态方程，求得闭环系,统的特征多项式,其中,是反馈矩阵 的函数,2),计算理想特征多项式,3),列方程组,并求解 。,其解,即为所求。,例：同上例。,解：设所需的状态反馈增益矩阵,k,为,因为经过状态反馈 后，闭环系统,特征多项式为,的,根据要求的闭环期望极点，可求得闭环期望特征多项式为,比较两多项式同次幂的系数，有 ：,8,8,1,2,4,2,3,2,1,2,1,1,=,+,+,=,+,+,=,+,k,k,k,k,k,k,得：,即得状态反馈增益矩阵为,:,与上例的结果相同,讨论,状态反馈不改变系统的维数，但是闭环传递函数的阶次可能会降低，这是由分子分母的公因子被对消所致。,(1),对于单输入单输出系统，状态反馈不会移动系统传递函数的零点。,(2),若系统是不完全能控的，可将其状态方程变换成如下形式：,(3),其中， 的特征值不能任意配置。,(4),系统综合往往需要将不稳定的极点，移到,s,平面的左半部，这一过程称为系统镇定。,只有 的全部特征值都具有负实部时，系,统才能稳定。,二、采用输出反馈,定理,1,：对于完全能控的单输入,单输出系统，不能采用输出线性反馈来实现闭环系统极点的任意配置。,定理,2,：对于完全能控的单输入,单输出系统，通过带动态补偿器的输出反馈实现极点任意配置的充要条件是：,1,）原系统完全能观；,2,）动态补偿器的阶数为,n-1.,例：设系统的状态空间表达式如下，考虑用输出反馈实现使闭环系统的极点为,-2,，,-1j1,解：系统模拟结构图如图所示。增加输出反馈,h,后，系统的状态方程和特征多项式为：,显然无法满足期望特征式的要求。,三、采用从输出到 反馈,定理：对系统 采用从输出到 的线性反馈实现闭环极点任意配置的充要条件是 完全能观。,例：系统状态空间表达式如下,解：画出新的模拟结构图后得系统的状态空间表达式为,5.3,系统镇定问题,所谓系统镇定是指：对不稳定的受控系统通过反馈使其极点具有负实部，保证系统为渐近稳定。也就是说通过状态反馈使其渐近稳定，则称系统是状态反馈能镇定的。类似地也可以定义输出反馈能镇定的概念。可见，系统镇定问题是极点配置的一种特殊情况。他只要求把极点配置在根平面的左半平面，而不要求配置在期望的极点上。,5.4,系统解耦问题,解耦问题是多输入,多输出系统综合理论中的重要部分。其设计目的是寻求适当的控制律，使其输入输出相互关联的多变量系统实现每一个输出仅受相应的一个输出所控制。,要完全解决解耦问题，必须回答两个问题：一是确定系统能够解耦的充要条件，即能解耦的判别问题。二是确定解耦控制律和解耦系统的结构，即解耦系统的具体综合问题。,1,）前馈补偿器解耦：这种方法只需在待解偶系统前面串联一个前馈补偿器，使串联组合的传递函数阵成对角形的有理函数矩阵。显然，这种方法将使系统的维数增加。,2,）状态反馈解耦：这种方法虽然不增加系统的维数，但其实现解耦的条件要比上述苛刻得多。,状态反馈解耦,1,）定义 ，使满足不等式,且介于,0,到,m-1,之间的一个最小整数 。,2,）根据 定义下列矩阵,3,）状态反馈阵为,4,）输入变换阵为：,5,）对解耦后的独立子系统采用附加的状态反馈，将其极点配置在期望的位置上。,例：已知系统的状态空间表达式如下，采用状态反馈使系统解耦。,解：,（,1,）求解 （求法：使得 的 为最小的整数）,由 和,得两个最小的 都是,1,，即,（,2,）根据 求 和,（,3,）根据 求解状态反馈矩阵,（,4,）根据 求解输入变换矩阵,画出解耦系统的模拟结构图如下，,得系统的传递函数为,5.5,状态观测器,问题的实质就是构造一个新的系统,(,或者说装置,),，利用原系统中可直接测量的输入量 和输出量 作为它的输入信号，并使其输出信号满足,有时候回想起来，我母亲对我们的期待，并不像父亲那样明显而长远。小时候我的身体差、毛病多，母亲对我的期望大概只有一个，就是祈求我的建康，为了让我平安长大，母亲常背着我走很远的路去看医生，所以我童年时代对母亲留下的第一印象，就是趴在她的背上，去看医生。我不只是身体差，还常常发生意外，三岁的时候，我偷喝汽水，没想到汽水瓶里装的是“番仔油”（夜里点灯用的臭油），喝了一口顿时两眼翻白，口吐白沫，昏死过去了。母亲立即抱着我以跑一百公尺的速度到街上去找医生，那天是大年初二，医生全休假去了，母亲急得满眼泪，却毫无办法。“好不容易在最后一家医生馆找到医生，他打了两个生鸡蛋给你吞下去，又有了呼吸，眼睛也张开了，直到你张开眼睛，我也在医院昏了过去了。”母亲一直到现在，每次提到我喝番仔油，还心有余悸，好像捡回一个儿子。听说那一天她为了抱我看医生，跑了将近十公里。四岁那一年，我从桌子上跳下时跌倒，撞到母亲的缝纫机铁脚，后脑壳整个撞裂了，母亲正在厨房里煮饭。我自己挣扎站起来叫母亲，母亲从厨房跑出来。“那时，你从头到脚，全身是血，我看到第一眼,将输出方程逐次求导，并整理如下：,上式说明可以构造一个新系统,Z,，它以原系统的输入、输出为输入，输出为,z,，经,N,的逆变换为状态矢量,x,。也就是说，只要系统能观，那么状态矢量便可由系统的输入、输出及其各阶导数估计出来。,由于系统,z,中包含了,0,到,n-1,阶微分器，这些微分器大大加剧了测量噪声对于状态估计值的影响，因此，这样构造出来的观测器是没有工程价值的。 为了避免微分器，一个直观的想法是仿照原系统的结构，设计一个相同的系统来观测状态变量。,二、状态观测器的实现,开环观测器,状态观测器设计成和原系统一模一样实际上是不可能的，此外，干扰和系统参数变化也会加大他们之间的差别，所以，还要引入输出反馈来校正系统的误差，从而构成渐近状态观测器。,状态观测器的状态矢量是原系统状态矢量的估计值；,G,状态观测器的输出误差反馈矩阵。,状态估计值误差满足观测器的齐次方程，若,A-GC,的特征值具有负的实部，就有,定理：,（,1,）系统完全能观是状态观测器存在的充分条件，且观测器极点可以任意配置。,（,2,）系统不完全能观，状态观测器存在的充要条件是系统的不能观子系统为渐近稳定。,例 ：给定系统的状态空间表达式如下，设计一个全维状态观测器，并使观测器的极点为 。,。,解：,1,）判断系统的能观性,因为,满秩，,2,）画出原系统的模拟结构图,3,）根据状态观测器的状态空间表达式可得其特征多项式,系统可观，可构造观测器。,再由期望极点，可得：,三、降维观测器（,Luenberger,观测器） 上边介绍的观测器是对原系统模拟的基础上，其维数和受控系统的维数相同，称为全维观测器。因为系统总可以通过输出直接测量得到部分状态变量，因此，只需对其余的状态变量通过降维观测器进行重构即可。 降维观测器的设计步骤,：（,1,）通过线性变换把状态按能检测性分解成两部分，其中,(n-m),维需要重构，而,m,维可由,y,直接获得；（,2,）对不能检测得到的,x1,构造,(n-m),维观测器。,变换矩阵为,其中，,为输出矩阵。,保证,T,非奇异可任意。,n,维空间有,n,个状态变量，,p,维状态向量,x,2,可直接测量得到，,n-p,维状态向量,x,1,不可检测，需借助观测器重构。系统的状态空间表达式为：,令：,仿照前边观测器的构造方法可得：,令：,即,例：设受控系统的传递函数为 ，用状态反馈将闭环系统的极点配置为 ，并实现上述反馈的全维及降维观测器的极点为,-10,，,-10,。,解,：（,1,）由传递函数知，系统能控能观，因此存在状态反馈和状态观测器。两者可分别进行设计。,（,2,）设计全维观测器。将系统化成能观标准,型如下,比较两者的系数得,即,全维观测器的状态方程为,（,3,）设计状态反馈矩阵,K,全维观测器模拟结构图,得,画出带有在状态反馈的全闭环系统结构图,（,4,）设计降维观测器由于状态变量 可以直接检测，因此，只需设计一维观测器即可。,该题中对应关系为：,根据降维观测器方程,从而得：,由降维观测器的特征式,期望的观测器特征式,得,结论,采用状态观测器后，闭环系统的极点为直接状态反馈闭环极点，加上观测器的极点。,采用观测器进行反馈和采用直接状态反馈的闭环传递函数阵完全一致。,