CH1第5节条件概率

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,一、条件概率,二、乘法定理,三、全概率公式与贝叶斯公式,四、小结,第五节条件概率,条件概率,计算,P(A),时没有考虑其它相关事件的信息。,在实际问题中，如果已知事件,B,发生了，我们自,然希望能通过这个信息调整对时间,A,发生可能性,的认识。,在实际问题中，往往会遇到求,在事件,B,已经出现的情况下事件,A,发生的,概率，,记作,P,(,A,|,B,).,由于附加了条件，,P,(,A,),与,P,(,A,|,B,),意义不同，,一般情况下,P,(,A,|,B,) ,P,(,A,),例,掷一颗均匀骰子,A,=,掷出2点,B,=,掷出偶数点,P,(,A,|,B),=,？,解：,掷一颗均匀的骰子有,6,种可能性，且他们的,出现都是等可能的,.,若已知事件,B,发生，此时实验所有可,能结果只有,3,种，而事件,A,包含的基,本事件数只占其中一种，故,4,上例中，,P(A|B) P(A),他们不相等的原因在于，,“,事件,B,已发生,”,这个新条件改变了样本空间。,S,A,用边长为,1,的正方形的面积表示样本空间,S,封闭曲线中一切点的集合表示事件,A,用图形的面积,表示相应的事,件的概率,6,当已知,B,发生的情况下，样本空间由原来,的,S,缩减为,B,：,S,A,AB B,如果,B,发生，那么使得,A,发生当且仅当样本点属于,AB,条件概率的定义,设,A,、,B,是两个事件，且,P,(,B,)0,则称,为,在事件,B,发生的条件下,事件,A,的条件概率,.,例,一批产品有,5,件，其中有,3,件正品，,2,件次品，,从中取两次，做不放回抽样，,A,=,“,第一次取到的是正品,”,B,=,“,第二次取到的是正品,”,求,P,(,B|A,)?,9,P,(,B|A,)=,解法一 ：在原来的样本空间,S,中，用条件概率的定义计算,两次都取得正品的概率,解法,2,：在缩减后的样本空间,A,上计算,由于事件,A,已经发生，即第一次取到的是正品，所以第二次取产品时，只剩下,4,件，并且正品只有,2,件，所以,P,(,B|A,)=,11,3.,性质,前面对概率所证明的一些重要性质都适用于条件概率,.,例,1,在标有,1,2,3,4,5,这,5,个数字的卡片里,无放回地抽取两次,一次一张,求,(1),第一次取到奇数卡片的概率,;,(2),已知第一次取到偶数,求第二次取到奇数卡片的概率,;,(3),第二次才取到奇数卡片的概率,.,解,设,A, B,分别表示第一次和第二次取到奇数卡片这两个事件,则,P(A)=,例,2,某种动物由出生算起活,20,岁以上的概率为,0.8,活到,25,岁以上的概率为,0.4,如果现在有一个,20,岁的这种动物,问它能活到,25,岁以上的概率是,多少,?,设,A,表示“ 能活,20,岁以上 ” 的事件，,B,表示 “ 能活,25,岁以上”的事件,则有,解,由条件概率的定义：,若已知,P,(,B,),P,(,A,|,B,),时,可反求,P,(,AB,).,乘法公式,乘法公式,设,A,B,为两个事件,若,P,(,B,)0,则,P,(,AB,)=,P,(,B,),P,(,A,|,B,) (1),若,P,(,A,)0,则,P,(,AB,)=,P,(,A,),P,(,B,|,A,) (2),例,m,个产品中有,n,个一等品，,m-n,个二等品，按不放回抽样，依次抽取两个产品，计算两次都取到二等品的概率。,解法,1,：,设,A,i,=,第,i,次取到一等品,则,解法,2,：,设,A=,两次都取到一等品,乘法公式推广,链式法则,设 为,n,个事件,若,P,(,A,1,A,2,A,n-,1,)0,，,则,有,计算多个事件同时发生的概率,18,例,一场精彩的足球赛将要举行，,5,个球迷好不容易才搞到一张入场券,.,大家都想去,只好用,抽签,的方法来解决,.,“,大家不必争先恐后，,一个一个按次序来，,谁抽到入场券的,机会都一样大,.”,“,先抽的人当然要比后抽的人抽到的机会大,.,”,解：,A,i,=,第,i,个人抽到入场券,则,=,第,i,个人未抽到入场券,i,1,5.,P,(,A,1,)=1/5,，,P,( ),4/5,（,4/5,）,依次类推,每个人抽到,“,入场券,”,的概率都是,1/5,.,第一个人没有摸到票时，第二个人摸到票的概率为,1/4,前两个人没有摸到票时，第三个人摸到票的概率为,1/2,（,3/4,）,（,1/3,）,=1/5,20,例,5,一个罐子中包含,b,个白球和,r,个红球,.,随机地抽取一个球，观看颜色后放回罐中，并且再加进,c,个与所抽出的球具有相同颜色的球,.,这种手续进行四次 ，试求第一、二次取到白球且第三、四次取到红球的概率,.,波里亚罐子模型,b,个白球,r,个红球,于是,W,1,W,2,R,3,R,4,表示事件“,连续取四个球，第一、第二个是白球，第三、四个是红球,.,”,b,个白球,r,个红球,随机取一个球，观看颜色后放回罐中，并且再加进,c,个与所抽出的球具有相同颜色的球,.,解 设,W,i,=,第,i,次取出是白球,i,=1,2,3,4,R,j,=,第,j,次取出是红球,，,j,=1,2,3,4,用乘法公式容易求出,当,c 0,时，由于每次取出球后会增加下一次也取到同色球的概率,.,这是一个,传染病模型,.,每次发现一个传染病患者，都会增加再传染的概率,.,=,P,(,W,1,)P(,W,2,|,W,1,)P(,R,3,|,W,1,W,2,)P(,R,4,|,W,1,W,2,R,3,),P,(,W,1,W,2,R,3,R,4,),例,6,设某光学仪器厂制造的透镜,第一次落下时打破的概率为,1/2,若第一次落下未打破,第二次落下打破的概率为,7/10 ,若前两次落下未打破,第三次落下打破的概率为,9/10.,试求透镜落下三次而未打破的概率,.,解,以,B,表示事件,“,透镜落下三次而未打破,”,.,所以,1.,样本空间的划分,三、全概率公式与贝叶斯公式,2.,全概率公式,全概率公式,图示,证明,化整为零,各个击破,说明,全概率公式的主要用处在于它可以将一个复杂事件的概率计算问题,分解为若干个简单事件的概率计算问题,最后应用概率的可加性求出最终结果,.,例,7,有一批同一型号的产品，已知其中由一厂生产的占,30%,，二厂生产的占,50%,，三厂生产的占,20,%,，又知这三个厂的产品次品率分别为,2%,，,1%,，,1%,，问从这批产品中任取一件是次品的概率是多少,?,设事件,A,为“任取一件为次品”,解,由全概率公式得,30%,20%,50%,2%,1%,1%,称此为,贝叶斯公式,.,3.,贝叶斯公式,证明,例,8,解,(1),由,全概率公式得,(2),由,贝叶斯公式得,解,例,9,由,贝叶斯公式得所求概率为,上题中概率,0.95,是由以往的数据分析得到的,叫,做,先验概率,.,而在得到信息之后再重新加以修正的概率,0.97,叫做,后验概率,.,先验概率与后验概率,解,例,10,由,贝叶斯公式得所求概率为,即平均,1000,个具有阳性反应的人中大约只有,87,人,患有癌症,.,1.,条件概率,全概率公式,贝叶斯公式,四、小结,乘法定理,贝叶斯资料,Thomas Bayes,Born:,1702 in London, England,Died:,17 Apr. 1761 in Tunbridge Wells, Kent, England,