3.1数系的扩充和复数的概念

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,问题提出,对此你有什么困惑？,1,由于实数的局限性，导致某些数学问题出现矛盾的结果，数学家们预测，在实数范围外还有一类新数存在，还有比实数集更大的数系.,问题提出,2,数系的扩充,和复数的概念,3,从社会生活来看为了满足生活和生产实践的需要，数的概念在不断地发展.,从数学内部来看，数集是在按某种 “规则”不断扩充的.,自然数,是“数”出来的，其历史最早可以追溯到五万年前.,探究点1 数系的扩充,4,负数,是“欠”出来的.它是由于借贷关系中量的不同意义而产生的.我国三国时期数学家刘徽（公元250年前后）首先给出了负数的定义、记法和加减运算法则.,刘徽（公元250年前后）,数集扩充到整数集,5,分数（有理数）,是“分”出来的.早在古希腊时期，人类已经对有理数有了非常清楚的认识，而且他们认为有理数就是所有的数.,数集扩充到有理数集,6,1,1,边长为1的正方形的对角线长度为多少？,？,7,毕达哥拉斯,(约公元前560480年）,无理数,是“推”出来的.公元前六世纪，古希腊毕达哥拉斯学派利用毕达哥拉斯定理，发现了“无理数”. “无理数”的承认（公元前4世纪）是数学发展史上的一个里程碑.,8,数集扩充到实数集,9,正数与负数，,有理数与无理数，,都是具有“实际意义的量”，,称之为“实数”，构成实数系统.,实数系统是一个没有缝隙的连续系统.,实数集能否继续扩充呢?,10,数系每次扩充的基本原则：,第一、,增加新元素；,第二、,原有的运算性质仍然成立；,第三、,新数系能解决旧数系中的矛盾.,11,由 得 ，,这与 矛盾的原因是什么？,方程x,2,x10无实根,方程x,2,x10无实根,的根本原因是什么？,1不能开平方,问题探究,12,为了解决负数开平方问题，,数学家大胆引入,一个新数,i,，把,i,叫做虚数单位，并且规定：,(1),i,2,1,；,(2),实数可以与,i,进行四则运算,在进行四则运算时,原有的加法与乘法的运算律(包括交换律、结合律和分配律)仍然成立.,问题解决:,13,给出“虚数”这一名称的是法国数学家笛卡尔(15961650)，他在几何学(1637年发表)中使“虚的数”与“实的数”相对应，从此，虚数才流传开来.,笛卡尔,(R.Descartes,15961650),14,我们了引入一个新数,i,，这个数是1的一个平方根，,思考：,方程x,2,x10的根是什么？,1的还有其它平方根吗?,-i,思考：,15,若x,4,1，则x等于什么？,1，1，i，i.,思考：,16,满足i,2,1的新数,i,显然不是实数，称为,虚数单位，,根据数系的扩充原则，应规定虚数单位i和实数之间的运算满足哪些运算律？,乘法和加法都满足交换律、结合律，乘法对加法满足分配律.,思考：,17,1、,虚数单位i与实数进行四则运算，可以形成哪种一般形式的数？,a,b,i（,a,，,b,R）,2、,把形如,a,b,i（,a,，,b,R）的数叫做,复数，,全体复数所成的集合叫做,复数集，,记作,C，,那么复数集如何用描述法表示？,C,a,b,i|,a,，,b,R,问题探究,18,3、,复数通常用字母z表示，即 z,a,b,i（,a,，,b,R），这一表示形式叫做复数的,代数形式，,其中,a,与,b,分别叫做复数z的,实部,与,虚部，,那么复数 z 3i的实部和虚部分别是什么？,实部为 ,虚部为,3.,问题探究,19,4、,两个实数可以相等，两个复数也可以相等，并且规定：,a,b,i,c,d,i,（,a,，,b,，,c,，,d,R）,的充要条件是,a,c,且,b,d,，,那么,a,b,i0的充要条件是什么？,a,b,0,问题探究,20,5、,对于复数z,a,b,i（,a,，,b,R）当,b,0时，z为什么数？由此说明实数集与复数集的关系如何？,当,b,0时z为实数.,实数集R是复数集C的真子集.,问题探究,21,6、,对于复数z,a,b,i（,a,，,b,R）当,b,0时，z叫做,虚数，,当,a,0且,b,0时，z叫做,纯虚数，,那么虚数集与纯虚数集之间如何？,纯虚数集是虚数集的真子集.,问题探究,22,实部,复数的代数形式：,通常用字母,z,表示，即,虚部,其中 称为,虚数单位,。,复数集C和实数集R之间有什么关系？,讨论？,复数a+bi,23,7、,复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系用韦恩图怎样表示？,复数,实数,虚数,纯虚数,问题探究,8、,两个实数可以比较大小，一个实数与一个虚数或两个虚数可以比较大小吗？,注意：,一般对两个不全是实数的复数只能说相等或不相等；,不能比较大小,。,24,例1.,说明下列数是否是虚数，并说明各数的实部与虚部,25,例2.,实数,m,取什么值时，复数,z,=(,m,2,-3,m,-4)+(,m,2,-5,m,-6),i,(1),是实数？,(2),纯虚数？,(3),零？,解：(1),当,m,2,-5,m,-6=0时，,即,m,=6或,m,=-1时，,z,为实数,(2),当 时，,m,2,-3,m,-4=0,m,2,-5,m,-6,0,即,m,=4时，,z,为纯虚数,(3),当 时，,m,2,-3,m,-4=0,m,2,-5,m,-6,=,0,即,m,=-1时，,z,为零,26,练一练：,1.,说明下列数中，那些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数，并指出复数的实部与虚部。,5 +8，,0,2、,判断下列命题是否正确：,（1）若a、b为实数，则Z=a+bi为虚数,（2）若b为实数，则Z=bi必为纯虚数,（3）若a为实数，则Z= a一定不是虚数,27,-1,2,28,1、（广东卷）下列n的取值中，使,i,n,=1 (,i,是虚数单位）的是（ ）,A、,n,=6 B、,n,=7 C、,n,=8 D、,n,=9,2、（湖南卷）复数Z=,i,+,i,2,+,i,3,+,i,4,的值是（ ）,A、- B、0 C、1 ,、i,3、,（福建卷）复数,i,6,(1+i)的实部是_。,高考真题：,C,B,-1,4、,（四川卷）复数,i,7,(1+i)的实部是_。,1,29,