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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,三、全概率公式与贝叶斯定理,考虑乘法法则例,1,（书中,p16,）,全概率公式与贝叶斯公式,全概率公式,设,A,1,A,2,A,n,是两两互不相容的事件，构成一个完备事件组，且,P,(,A,i,)0,i =,1, 2,n,;,另有一事件,B,它总是与,A,1,A,2,A,n,之一同时发生，则全概率公式为：,若,A,1,A,2,A,n,是,样本空间,的一个,划分,那么,对于每次,试验,事件,A,1,A,2,A,n,中必有一个且仅有一个,发生,.,贝叶斯公式,设,A,1,A,2,A,n,构成一个完备事件组，并且它们都具有正概率，则对于任何一个概率不为零的事件,B,有：,证明：根据条件概率定义及全概率公式求得,全概率公式和贝叶斯公式主要用于计算比较复杂事件的概率,它们实质上是加法定理和乘法定理的综合运用。,贝叶斯公式例题,1,仍考虑从,1,2,3,个箱子中抽取红球的案例，现某人从任意一箱,中任意摸出一球，发现是红球，求该球是,取自,1,号箱,的概率,解：,记,A,i,=,球取自,i,号箱,i,=1,2,3;,B,=,取得红球,贝叶斯公式例题,3,某一地区患有癌症的人占,0.005 P(,A),，患者对一种试验反,应是阳性的概率为,0.95 P(B|A),，正常人对这种试验反应是,阳性的概率为,0.04 ,，现抽查了一个人，试验反应,是阳性，问此人是癌症患者的概率有多大,?,P,(,A,|,B,)= ?,解：,设,A,= ,抽查的人患有癌症,“,抽查的人不患癌症,”,B,= ,试验结果是阳性,。已知,带入贝叶斯公式,得,P,(,A,|,B,)= 0.1066,结果的意义：,(1).,该试验对于诊断一个人是否患有癌有无意义？,如果不做试验，抽查一人,他是癌症患者的概率,P,(,A,)=0.005,，患者阳性反应的概率是,0.95,，若试验后呈阳,性反应，则根据试验得到的信息：此人是癌症患者的概率,为,P,(,A|B,)= 0.1066,，,概率从,0.005,增加到,0.1066,约,增加了,21,倍。试验对于诊断一个人是否患癌症有意义。,(2).,检出阳性是否一定患有癌症,?,试验结果为阳性，此人确患癌症的概率为,P,(,A|B,)=0.1066,，,即使你检出阳性，也不必过早下结论你有癌症，这种可能,性只有,10.66% (,平均来说，,1000,个人中大约只有,107,人确患,癌症,),，此时医生常要通过其他试验来确认,。,条件概率小节,1.4,独立试验概型,考察同一试验的两个事件，有时一件事情的发生与否会,影响到另一事件发生的概率，但也有可能一件事情的发生,于另一事件发生的概率毫无关系。例如，在投掷一枚硬币,和一枚骰子组成的试验中，硬币是否出现正面不会影响骰,子出现点数为,1,（或其他点）的概率。这样的两个事情称,为独立事件。,A,=,第二次掷出,6,点,，,B,=,第一次掷出,6,点,，,显然有：,P,(,A,|,B,)=,P,(,A,),一、独立事件定义,直观说法：对于两事件,A,B,，若事件,A,发生的可能性不受事,件,B,发生与否的影响，则称为事件,A,与事件,B,独立,.,P,(,A|B,) =,P,(,A,),P,(,AB,)/,P,(,B,) =,P,(,A,),P,(,AB,),=,P,(,A,),P,(,B,),扩展：若 中任何一个事件发生的可能,性都不受其它一个或者,n,个事件发生与否的影响，则称为,相互独立。,二、独立事件的性质,（,1,）若事件,A,与,B,独立的充要条件：,P,(,AB,)=,P,(,A,),P,(,B,),A,与,B,相互独立,P,(,AB,)=,P,(,A,),P,(,B,),（,2,）,（,3,）若事件,A,1,A,2,A,n,相互独立，则有,多个事件,两两独立,与,相互独立,定义,:,设,A,B,C,是三事件,如果具有等式,P(AB)=P(A)P(B),P(BC)=P(B)P(C),P(CA)=P(C)P(A),称,A,B,C,两两独立,定义,:,设,A,B,C,是三事件,如果具有等式,P(AB)=P(A)P(B),P(BC)=P(B)P(C),P(CA)=P(C)P(A),P(ABC)=P(A)P(B)P(C),称,A,B,C,为,相互独立,的事件,(4),零概率事件与任何事件都是互相独立的,.,证明,:,设,P(A)=0,B,为任一事件,因为,AB ,A,所以,0=P(AB)P(A),故,P(AB)=0=0P(B)=P(A)P(B),（,5,）概率为,1,的事件与任何事件都是互相独立的,.,证明,:,考虑,P(A+B)=1,注意,:,互斥与独立的区别,1.,互斥的概念是事件本身的属性；,独立的概念是事件的概率属性。,2.,两事件互斥,即,A,与,B,不能同时发生；,P(AB)=0,P,(,AB,) ,P,(,A,),P,(,B,),即,A,与,B,不独立,独立是指,A,与,B,的概率互不影响,.,P(AB)=P(A)P(B),3.,若,0P(A)1, 0P(B)1,互斥一定不独立；独立一定不互斥,。,4.,在用途上有区别：互斥通常用于概率的加法运算,独立通常用于概率的乘法运算。,例,1:,甲、乙两个战士打靶,甲的命中率为,0.9,乙的命中率为,0.85,两人同时射击同一目标,各打一枪,.,求目标被击中的概率,.,解,:,设,A=,甲击中目标,B=,乙击中目标,C=,目标被击中,则“甲乙同时射击，结果互不影响”,P(C)=P(A+B)=P(A)+P(B)-,P(AB),=P(A+B)=P(A)+P(B)-,P(A)P(B),=0.9+0.85-0.90.85=0.985,例,2(P21),甲、乙、丙三部机床独立工作，由一个工人照管，某段时间内他们不需要工人照管的概率分别为,0.9,，,0.8,及,0.85,。求在这段时间内有机床需要工人照管的概率；机床因无人照管而停工的概率。,解,:,设,A=“,机床甲不需要工人照管”,;,B=“,机床乙不需要工人照管”,;,C=“,机床丙不需要工人照管”,;,根据题意,A,、,B,、,C,相互独立，并且,P(A)=0.9 P(B)=0.8 P(C)=0.85,理解：“,机床因无人照管而停工,”,等价于同时有两台机器需要,照管（至少两台机器需要同时照管？）。,例,3,： 若例,1,中的,3,部机床性能相同，设,P(A),P(B),P(C),0.8,，求这段时间内恰有一部机床需要照管的概率；恰有两部机床需要照管的概率；,解：设,Di,“恰有,i,部机床需要照管”,P(D1)=,？,P(D2)=,？,二、独立试验序列概型,在概率论中，把在相同条件下重复进行试验的数学模型称为,独立试验序列概型。,进行,n,次试验，若任何一次试验中各结果发生的可能性都不受其他各次试验结果发生情况的影响,，称这,n,次试验是相互独立的。,进行,n,次试验，如果这,n,次试验满足：,),每次试验的条件相同,),每次试验的结果互不影响,称这,n,次试验为,：,n,次重复独立试验概型,。,特别的：当每次试验只有两种可能结果，即只有事,件,A,与,，且在每次试验中,P(A)=p, P()=1-p,时，,称为,n,重贝努里试验概型,例,1,：一批产品的废品率为,0.1,，每次抽取一个，观察后放回去，,下次再取一个，共重复,3,次，,3,次中恰有两次取到废品的概率,解：设,B2,“,3,次中恰有两次取到废品”,Ai,“第,i,次取到废品”,( i=1,2,3),贝努里定理,设一次试验中事件,A,发生的概率为,p(0p1),则,n,重贝努里试验中，事件,A,恰好发生,k,次的概率为：,其中,q=1-p,例,2(P24):,一条自动生产线上产品的一级品率为,0.6,，现检查了,10,件，求至少有两件一级品的概率？,设,B,表示：“至少有两件为一级品”,“至多有一件为一级品”,第一章 回顾与总结,重点：,随机事件的概念,古典概型的概率计算方法,概率的加法公式,条件概率和乘法公式的应用,全概率公式和贝叶斯公式的应用,难点：,古典概型的概率计算全概率公式的应用,乘法,定理,随机,试验,随 机 事 件,基,本,事,件,必,然,事,件,对,立,事,件,概 率,事件的关系和运算,性,质,定,义,条件,概率,不可能事件,复,合,事,件,随机,现象,事件的,独立性,古典,概型,全概率公式与贝叶斯公式,
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