地球物理地震正演模拟方法

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,1,地球物理学的问题,正演问题,反演问题,按事物一般原理（或模型）及相关的条件（初始条件、边界条件）来预测事物的结果（可由观测可得,据地球物理场的实际观测值（有时也用理论计算值）定量或定性解释推断地球内部结构（地质体形态和岩层物性）。,基础,目的,应用地球物理学的基本方程式,阻尼标量波动方程,式中，,u,表示地球物理场的一种，如声场电磁场的某一分量等；,f,(x,t),为源函数；,x,为空间的一个点；,t,为时间；系数,h,和,g,对不同场有不同的物理意义。,2,位场：,在场源外区域满足,拉普拉斯方程,的物理场称为，如重力场、磁场和稳定电流场,波场：,在场源外区域满足,波动方程,或,扩散方程,的物理场，如电磁场、弹性波场,3,选择计算方法，编制计算程序，进行数值计算。,数学模拟方法求解地球物理正演问题的一般步骤：,第一步，,地质建模：,据研究对象和问题建立地球模型或地质结构模型；,第二步，,数学建模：,据使用的物理手段和地球模型建立相应的数学模型；,第三步，,模拟计算：,求解正演问题,地球物理模拟,物理模拟,相似原理,投资大，选材难，结果真实，,数学 模拟法,解析方法,最简捷方便 ，仅适用少数简单模型,数值 模拟法,正演主要工具,效率高，机时少，周期短，费用低。,概念：,将描述各种地球物理场的方程或表达式及初、边值条件通过数值方法求出它们的数值解。,4,模型应能够反映主要地质构造和岩石、矿物特征，具有代表性或普遍性（共性）、针对性（目的性）、特殊性（特殊问题）,模型不宜太复杂，否则无法建立相应的数学模型；或者计算结果太复杂，难以分析、辨认地质特征与地球物理场特征之间的联系。,地球模型建立的要求：,常用数值计算方法,有限差分法,有限元法,积分方程法,快速离散傅里叶变换法,拟谱法（伪、虚）谱法,射线追踪法,计算速度快,边界刻化好,涉及较复杂的数学推导，仅需在异常区求出未知场，经济，易于处理三维模拟问题,F域计算,易刻化运动学特性,微分方程法，,适于模拟复杂的地质情况,用离散傅立叶变换求空间导数，可在大空间网格上得到精确波场值,5,基本原理：差分原理。,即，用各离散点上函数的差商来近似替代该点的偏导数（微商），把要解的,边值问题,转化为一组相应的差分方程。然后，解出差分方程组 (线性代数方程组)在各离散点上的函数值，便得到边值问题的数值解。,一、有限差分法,一般步骤：,（1）区域离散化网格剖分：确立合适网格步长，边界节点定位,步长选择很重要决定计算精度、速度,（2）,微分方程,离散化构建,差分方程,边界条件离散化构建边界条件差分方程,初始条件离散化构建初始条件差分方程,（4）线性方程组形成与求解,6,位场计算举例：,1、位场所满足的方程,有源,无源,模拟二维地电断面电场,式中，,u,表示电位，,f,表示源项。,2、区域网格剖分,内节点,边界节点,7,3、微分方程,离散化,，构组,差分方程,i,k,i+1,k,i-1,k,i,k-1,i,k+1,k,i,u,x,u,xx,和,u,z,，u,zz,，分别表示u对x和z的一阶、二阶导数等,8,含源分区均匀岩石中位函数二维差分方程,无源分区均匀岩石中位函数二维差分方程,9,4、线性方程组的形成与求解,式中A是方程组的系数矩阵。其与物性参数(如电阻率)分布有关；,u,是电位u的列向量，其分量为所有节点上的电位；,F,是常向量。,当给定电阻率分布（空间分布，模型结构）及边界条件后，解线性方程式便可求得电位的空间分布,计算精度：,主要决定于步长,h,。一般说来，网格划分越细，即h值越小，计算值与理论值越接近。,矛盾：,减小步长h将成倍增加计算节点数目，增加计算机内存需求和计算时间。降低了效率，增加了费用,解决计算速度与精度矛盾的较好方法：,采用变步长，即在近区将网格分得密些，远区影响较小，可分得稀些。,10,弹性波场计算举例,1、反射地震中波传播方程,在各向同性均匀介质、平面波入射假设条件下，标量波动方程,密度不均匀介质弹性波标量波动方程,激发问题,传播问题,在二维情况下，,（自由表面）边界条件,初始条件,zz,|,z=0,=,u,x,=0，,zx,|,z=0,=,u,z,=0,11,采用正方形网格元进行网格划分，步长h；m，n为当前网格节点的横向及垂向编号;,l,时间取样号,2、区域离散化,12,利用差分方程式，由上至下，由左至右并随时标,l,增加计算空间任一点(m，n)的波场,u,m，n，,l,+1,便得到波传播图像，,u,m，0，,l,是地面直达波和反射波场的合成记录。,差分方程式,13,(1)时间取样率,t,(,t,=,l,t,),满足,t,h/c,(2)震源信号的主周期T10h/c，否则有严重的频散。,(3)由于地下介质无限，而计算网格有限，计算网格的边界必须是吸收边界。,(4)震源必须作专门处理，即在源点加入f(t) 信号。,有限差分计算必须满足的条件如下：,有限差分计算的优点与不足：,优点：,简明快速,不足：,边界刻划能力弱。因只能使用矩形网格，对复杂的地质构造不能准确地模拟，如，反射地震中常见的倾斜界面、电法勘探中的局部不规则电性不均匀体等。,14,基本方程式的有限差分格式 （2D）,15,地质模型,有限差分波动方程模拟结果演示实例,16,炮集1 快 照,17,1,2,3,4,5,6,7,蝴蝶结,模型边界产生的假象,山顶,激发波动方程正演模拟记录,18,炮集2 快照,19,1,2,3,4,5,6,7,蝴蝶结,山谷,激发波动方程正演模拟记录,20,二、有限单元法,突出优点：,界面刻画能力强。对与复杂介质结构有关的偏微分方程边值问题的数值计算适应性强。,其一般只对基本方程中的,空间微分算子,作逼近，而与,时间微分,有关的计算仍然多采用有限差分法。,基本原理：,变分原理或最小势能原理,认为：对与势场能量有关的,泛函极小化等效于直接解,相应的场的,方程,对Laplace方程,势场能量表达式,*满足Laplace方程的势场，同时也是满足势场能量F(u)取极小的场。,有限差分法采用了直接解方程的办法，有限元法采用了F(u)极小化逼近势场,21,常用微分方程及其泛函,Poisson方程 ：,泛函：,非其次Helmhotz方程 ：,泛函：,标量波动方程 ：,泛函：,频域电磁波似稳电磁场方程 ：,泛函：,22,1、介质剖分采用单纯形单剖分元,所谓单纯形，在平面上为三角形，三维空间为四面体,由于三角元以公共边界及顶点连接成网，势的分布在穿过单元时保持连续。,有限元法解二维Laplace方程举例,23,2、将势场u展成某种简单函数和系数的线性组合,假定，单元内势可用线性(一阶)方程表示，有,V=a+bx+cy,沿三角元,边缘势,V可以由相应两,角点势,值线性内插而来，如果两个三角元共用一条边，则位势在,跨单元时保持连续,。,为求各系数，设三个顶点上势为V1，V2，V3,用Cramer准则解线性方程组，求得系数a,b,c的表达式。代回原方程可得三角元内任一点位势的一阶近似式,24,三角元内任一点位势的一阶近似式,系数为,A为三角元的面积 ，且有,25,3、单个元内位势能,写成矩阵形式有,至此，对单个元的近似已经完成,26,4、三角元连接组合求取总势能,整个区域的势能为单个三角元势能之总和。根据最小势能准则，使整个研究区域势能极小化，就是使所有三角元组合后的势能极小化,两个元组合方法：,设一对元在连接前的顶点位势可写成以下列向量,下角标dis表示组合前不连接的三角元。对应这两个元的,未组合能量,写为矩阵,未组合能量,27,两个三角元连接前、后满足以下关系,下角标con注记已联接，对应,连接后的总能量变,为,连续近似的势能分布,被表示为与,元顶点,位势向量有关的二次型,28,5、方程求解计算,记,k,为网格节点(连接后多个三角形的顶点)的编号，则 Laplace方程的有限元近似解要将连接网中的势能极小化。变成了求极值问题,则势能极小化为,求边值问题，研究区域,边界上位势(或其导数)是已知的（边界条件）,。在对网格节点编号时先编,区域内部的号,，后对,边界点编号,，分区处理可简化方程，以下角标,f,表示区域内节点，下角标,p,表示边界上节点,整理得,解线性矩阵方程式，求取研究区域内各节点的位势,V,f,，有唯一解。其精度取决于三角元的尺度,29,三、积分方程法,不足：积分方程方法涉及较复杂的数学推导,优点：仅需在异常区求出未知场,模拟一个或少数几个小异常体的响应时，该方法比较,经济,多用于3D数值模拟,1,2,(r),V,r表示矢径,假设大地电磁场的源是来自高空的垂直入射到地面的平面电磁波，则频域中无源麦克斯韦方程组,表示地下任一点处的实际电导率值，且有,=,1,，,异常体外,2,，,异常体内,总场,30,定义：,二次场为,实测场（总场）与一次场之差，并用上角标s表示,定义：,一次场,为均匀地球场，并以上角标p表示，则一次场也满足无源麦克斯韦方程组，有,一次场方程组可求解,其是电导率为,1,的,均匀介质,内的场,整理得,二次场方程,二次场方程组,可转换成积分方程，求解,是散射电流，仅在异常体中才存在,表明：二次场可以认为是由异常体中的散射电流,J,s,引起的。,31,建立二次场方程的积分方程,二次电场,可通过将散射电流源,J,s,乘以适当的并矢格林函数G(r，r,/,)，并对异常体所占的体积做积分而得，,如假设异常体内的电导率为常数,2,，则可得到,实测电场表达式,为,上式是一非齐次的第二类矢量,弗雷德霍姆,(Fredholm)积分方程式,并矢格林函数,g是对应全空间的,标量格林函数,P,/,(x,y,-z),P(x,y,z),Q(x,y,z,),r,r,32,数值积分，求解,将异常体剖分成N个线性尺寸为,的立方体单元并假设在每个单元内电场是常数，则积分可用求和式来逼近，再经一系列推导得到分块矩阵方程式,矩阵M的每个元素本身就是一个3X3阶矩阵：,mn,是,相对有限单元体积电流的并矢格林函数,解方程，求出,异常体,内,每个单元中心处的电场值之后，再加上一次场值可求得,异常体,外,任一点处的电场 。对总电场方程应用法拉第定律，可计算任意点的磁场H(r),33,物理模拟方法,基本原理：,相似原理,方法：,按比例复制地质模型,(通常比例尺为1:100和1:100万之间) ；,模型的物性参数一 般也应按一定的比例改变；,观测装置要微型化。,缩小模型响应能代表野外实际模型响应,模拟准则：,使实际模型场与模拟场具有相同的幅值和规律,一、电磁场物理模拟的基本原理,1频率域电磁场的模拟准则,野外条件下地电体参数方程,模型条件下地电体参数方程,34,室内模型模拟系统尺寸与野外比例关系为1/,l,几何结构比例尺,将比例关系代入野外方程得模型参数描述的,野外方程,按照模拟准则，要使模拟结果与实际一致，,野外和模型磁场满足的波动方程应完全相同,，对比可以写出,模拟准则,参数比例尺,上式两边为响应参数k,2,r,2,，亦称,综合参数,右端=1，,表明：具有相同综合参数的每个系统必定产生相同的电磁响应 ，与,、,及,l,的具体数值无关。因此，模拟准则简化为,35,2时间域电磁场的模拟准则,3模拟模型的种类-4种,导电性溶液 或固体作为均匀介质,导电性更好的覆盖,目标体,目标体,目标体,目标体,36,4、物理模报实验装置,37,5模型材料,38,超声波模拟,几何相似性,L为几何尺度，,为波长,物理相似性,速度比和密度比相似,纵、横波速度比的相似性,39,谢谢大家！,40,模型应能够反映主要地质构造和岩石、矿物特征，具有代表性或普遍性（共性）、针对性（目的性）、特殊性（特殊问题）,模型不宜太复杂，否则无法建立相应的数学模型；或者计算结果太复杂，难以分析、辨认地质特征与地球物理场特征之间的联系。,地球模型建立的要求：,常用数值计算方法,有限差分法,有限元法,积分方程法,快速离散傅里叶变换法,拟谱法（伪、虚）谱法,射线追踪法,计算速度快,边界刻化好,易于处理有源问题,F域计算,易刻化运动学特性,计算方法选择很重要：,不同方法适应性不同，计算效率、机时、周期、费用等各不相同，要综合考虑各种因素,合理选用,计算方法。有针对性地,灵活运用,计算方法,微分方程法,41,