高中数学 向量数量积

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,向量的数量积,F,s,W=|,F|s|cos,O,A,B,b,a,功：,一、情 景 引 入,从力所做的功出发，我们引入向量,“数量积”,的概念,。,2.4.1 平面向量的数量积,F,s,两个非零向量,和,，,作 ，,与,反向,O,A,B,O,A,与,同向,O,A,B,B,则 叫做向量,和,的夹角,记作,与,垂直，,O,A,B,注意,:,在两向量的夹角定义中,两向量必须是,同起点,的,1.,向量之间的夹角,二、讲 新 课,O,A,a,B,b,a,b,O,A,a,B,b,a,b,练习：如图，等边三角形中，求,（,1,）,AB,与,AC,的夹角；,（,2,）,AB,与,BC,的夹角。,A,B,C,通过平移,变成共起点！,试一试吧！,已知两个非零向量,与,，它们的,夹角为,，,我们把数量,|,| |,|,cos,叫做,与,的,数量积,（或,内积,），记作,=|,| |,|,cos,a,r,a,r,a,r,a,r,a,r,a,r,b,r,b,r,b,r,b,r,b,r,b,r,注意：向量的数量积是一个数量。,规定,:,零向量与任一向量的数量积为,0,.,叫做向量,在,方向上,（或向量,在,方向上）的,投影,.,叫做向量,在,方向上,（或向量,在,方向上）的,投影,2.,定义,a,b,=,| a | b |,cos,cos,a,b,|,a,|,|,b,|,cos,a,b,|,a,|,|,b,|,=,这四个量都是数量，知道其中任意三个量可求出第四个量,夹角公式,数量积,O,A,B,注意,：,“,”,不能省略不写，也不能写为“,”,，数学中,“,a b”,表示两个向量的向量积,(,或外积,),a,b,表示数量而不表示向量，与实数,a,b,不 同, a+b,、,a-b,表示向量；,规定,: 0,a=0,数量积,:,a,b =| a | b |,cos,3.,几 何 意 义,:,数量积,a,b,等于,a,的长度,| a |,与,b,在,a,的方向上的投影,| b |,cos,的乘积,.,A,O,A,O,B,几何,意义,| b |,cos,= b,| b |,cos,0,| b |,cos,0,| b |,cos,b,| b |,cos,0,O,A,a,B,b,O,A,a,B,b,O,A,a,B,b,数量积,:,a,b =| a | b |,cos,B1,B1,B,向量的数量积是一个,数量,，那么它什么时候为正，什么时候为负？,思考：,=|,| |,|,cos,a,r,a,r,b,r,b,r,当,=90,时,为零。,a,r,b,r,当,9,0,180,时,为负。,a,r,b,r,当,0,90,时,为正；,a,r,b,r,(3),当,a,与,b,同向时,a,b= |,a|b,|;,当,a,与,b,反向时,a,b=-|a|b|,特别地,a,a,=a,2,= | a |,2,或,| a |=a,a .,4.,性 质,:,设,a,，,b,都是非零向量，,e,是与,b,方向相同的单位向量，,是,a,与,e,的夹角,则,(1) e a a e | a |,cos,.,| a | b |,cos,=0,a, b =0,向量,a,与,b,共线,| a b |=| a | b |,a,b =| a | b |,cos,(2)ab a,b =0,.,(5)| a,b | a | b |.,=,=,(4)cos=,|a| |b|,a,b,ab,= cos=0,2,5,、数量积的运算律,：,交换律：,对数乘的结合律：,分配律：,注意,向量的数量积不满足结合律,测一测呀,！,1,若,=,，则对任一向量,，有,=,0,5.,若,，,=,，则,=,6.,若,=,则,当且仅当,=,时成立,3,若,，,=,0,，则,=,4.,若,=,，则,中至少有一个为,2,若,，则对任一非零向量,有,0,8,.,对任意向量 有,已知,|a|=5,|b|=4, a,和,b,的夹角为,60,求,a,b.,例 1,解：,a,b=|,a|,|b|cos,变式练习,：,若,=120 ,呢？,=90,呢,？,=54cos60,=10,三、巩固应用,=,54,120,=54cos,120,=,-,10,=,54,a,b=|,a|,|b|cos,.,设,|a|=12,|b|=9, a,b=-542,求,a,和,b,的夹角,.,例 2,cos,=,a,b,|a|,|b|,=,- 54,2,129,-,2, =,135,=,2,cos,解：,变式练习,：,若,ab,=1082,呢？,比一比！看谁答的准又快,祝你成功，继续努力！,*,.,已知,ABC,中, AB=a, AC=b,当,a,b 0, a,b =0,时, ABC,各是什么三角形？,认真加油！,当,a,b,0,时，,cos,0,，,为钝角三角形,当,a,b=0,时，,为直角三角形,（,2,）,例,3,：求证：,（,1,）,证明,:,（,1,）,证明,（,2,）,我们知道，对任意,恒有,对于任意向量 ， 也有下面类似的结论,变式：,求,例,4,、已知,的夹角为,求,请阅读课本P105,例题,两个,向量的数量积是否,为零,是判断相应的两条,直线是否垂直的重要方,法之一,.,例,5,面对挑战,公式变形,对功,W=|,F|s|cos,结构分析,抽,象,特殊化,五条,重要性质,数形,结合,四、小 结,几何,意义,平面向量数量积的定义,a,b=| a | | b |,cos,解决,问题,灵活,运用,作业：,p106,练习,1,、,2 . P108,习题,A 1,、,2,、,3,、,6,