2017-2018学年度高中数学 第二章 点、直线、平面之间的位置关系 2.1.3 空间中直线与平面 2.1.4 平面与平面之间的位置关系学案【含解析】新人教A版必修2

21.3 & 2.1.4空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系空间中直线与平面的位置关系提出问题应县木塔，在山西应县城佛宫寺内，辽清宁二年(1056年)建塔呈平面八角形，外观五层，夹有暗层四级，实为九层，总高67.31米，底层直径30.27米，是国内外现存最古老最高大的木结构塔式建筑塔建在4米高的两层石砌台基上，内外两槽立柱，构成双层套筒式结构，柱头间有栏额和普柏枋，柱脚间有地伏等水平构件，内外槽之间有梁枋相连接，使双层套筒紧密结合暗层中用大量斜撑，结构上起圈梁作用，加强木塔结构的整体性问题1：立柱和地面是什么位置关系？提示：相交问题2：柱脚间有地伏等水平构件看成直线，它和地面有什么关系？提示：在同一平面内问题3：直线和平面还有其他关系吗？提示：平行导入新知直线与平面的位置关系位置关系直线a在平面内直线a在平面外直线a与平面相交直线a与平面平行公共点无数个公共点一个公共点没有公共点符号表示aaAa图形表示化解疑难1利用公共点的个数也可以理解直线与平面的位置关系(1)当直线与平面无公共点时，直线与平面平行(2)当直线与平面有一个公共点时，直线与平面相交(3)当直线与平面有两个公共点时，它们就有无数个公共点，这时直线在平面内2直线在平面外包括两种情形：a与aA.空间中平面与平面的位置关系提出问题观察拿在手中的两本书，我们可以想象两本书为两个平面问题1：两本书所在的平面可以平行吗？公共点的个数是多少？提示：可以无公共点问题2：两本书所在的平面可以相交吗？公共点的个数是多少？提示：可以有无数个导入新知两个平面的位置关系位置关系图示表示法公共点个数两平面平行没有公共点两平面相交l有无数个公共点(在一条直线上)化解疑难1判断面面位置关系时，要利用好长方体(或正方体)这一模型2画两个互相平行的平面时，要注意使表示平面的两个平行四边形的对应边平行直线与平面的位置关系例1下列说法：若直线a在平面外，则a；若直线ab，直线b，则a；若直线ab，b，那么直线a就平行于平面内的无数条直线其中说法正确的个数为()A0B1C2D3答案B类题通法空间中直线与平面只有三种位置关系：直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行在判断直线与平面的位置关系时，这三种情形都要考虑到，避免疏忽或遗漏另外，我们可以借助空间几何图形，把要判断关系的直线、平面放在某些具体的空间图形中，以便于正确作出判断，避免凭空臆断活学活用下列说法中，正确的个数是()如果两条平行直线中的一条和一个平面相交，那么另一条直线也和这个平面相交；一条直线和另一条直线平行，它就和经过另一条直线的任何平面都平行；经过两条异面直线中的一条直线，有一个平面与另一条直线平行；两条相交直线，其中一条与一个平面平行，则另一条一定与这个平面平行A0 B1 C2 D3答案：C平面与平面的位置关系例2(1)平面内有无数条直线与平面平行，问：是否正确？为什么？(2)平面内的所有直线与平面都平行，问：是否正确？为什么？解(1)不正确如图所示，设l，则在平面内与l平行的直线可以有无数条：a1，a2，an，它们是一组平行线，这时a1，a2，an，与平面都平行(因为a1，a2，an，与平面无交点)，但此时与不平行，l.(2)正确平面内所有直线与平面平行，则平面与平面无交点，符合平面与平面平行的定义类题通法两个平面的位置关系同平面内两条直线的位置关系类似，可以从有无公共点区分：如果两个平面有一个公共点，那么由公理3可知，这两个平面相交于过这个点的一条直线；如果两个平面没有公共点，那么就说这两个平面互相平行这样我们可以得出两个平面的位置关系：平行没有公共点；相交有且只有一条公共直线若平面与平行，记作；若平面与相交，且交线为l，记作l.活学活用1在底面为正六边形的六棱柱中，互相平行的面视为一组，则共有_组互相平行的面，与其中一个侧面相交的面共有_个答案：462.如图所示，平面ABC与三棱柱ABCA1B1C1的其他面之间有什么位置关系？解：平面ABC与平面A1B1C1无公共点，平面ABC与平面A1B1C1平行平面ABC与平面ABB1A1有公共直线AB，平面ABC与平面ABB1A1相交同理可得平面ABC与平面ACC1A1及平面BCC1B1均相交典例(12分)在正方体ABCDA1B1C1D1中，点Q是棱DD1上的动点，判断过A，Q，B1三点的截面图形的形状解题流程规范解答由点Q在线段DD1上移动，当点Q与点D1重合时，截面图形为等边三角形AB1D1，如图甲(4分)当点Q与点D重合时，截面图形为矩形AB1C1D，如图乙(8分)当点Q不与点D，D1重合时，截面图形为等腰梯形AQRB1，如图丙(12分)活学活用如图所示，G是正方体ABCDA1B1C1D1的棱DD1延长线上的一点，E，F是棱AB，BC的中点试分别画出过下列各点、直线的平面与正方体表面的交线(1)过点G及AC；(2)过三点E，F，D1.解：(1)画法：连接GA交A1D1于点M，连接GC交C1D1于点N；连接MN，AC，则MA，CN，MN，AC为所求平面与正方体表面的交线如图所示(2)画法：连接EF交DC的延长线于点P，交DA的延长线于点Q；连接D1P交CC1于点M，连接D1Q交AA1于点N；连接MF，NE，则D1M，MF，FE，EN，ND1为所求平面与正方体表面的交线如图所示随堂即时演练1Ml，Nl，N，M，则有()AlBlCl与相交 D以上都有可能答案：C2如图所示，用符号语言可表示为()Al B，lCl，l D，l答案：D3平面平面，直线a，则a与的位置关系是_答案：平行4经过平面外两点可作该平面的平行平面的个数是_答案：0或15三个平面，如果，a，b，且直线c，cb.(1)判断c与的位置关系，并说明理由；(2)判断c与a的位置关系，并说明理由解：(1)c.因为，所以与没有公共点，又c，所以c与无公共点，则c.(2)ca.因为，所以与没有公共点，又a，b，则a，b，且a，b，所以a，b没有公共点由于a，b都在平面内，因此ab，又cb，所以ca.课时达标检测一、选择题1如果在两个平面内分别有一条直线，这两条直线互相平行，那么两个平面的位置关系一定是()A平行B相交C平行或相交D不能确定答案：C2如果一条直线与两个平行平面中的一个平行，那么这条直线与另一个平面的位置关系为()A平行B相交C直线在平面内D平行或直线在平面内答案：D3(浙江高考)若直线l不平行于平面，且l，则()A内的所有直线与l异面B内不存在与l平行的直线C内存在唯一的直线与l平行D内的直线与l都相交答案：B4已知直线m，n和平面，mn，m，过m的平面与相交于直线a，则n与a的位置关系是()A平行 B相交C异面 D以上均有可能答案：A5给出下列几个说法：过一点有且只有一条直线与已知直线平行；过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；过平面外一点有且只有一条直线与该平面平行；过平面外一点有且只有一个平面与该平面平行其中正确说法的个数为()A0 B1C2 D3答案：B二、填空题6下列命题：两个平面有无数个公共点，则这两个平面重合；若l，m是异面直线，l，m，则.其中错误命题的序号为_答案：7与空间四边形ABCD四个顶点距离相等的平面共有_个答案：78下列命题正确的有_(填序号)若直线与平面有两个公共点，则直线在平面内；若直线l上有无数个点不在平面内，则l；若直线l与平面相交，则l与平面内的任意直线都是异面直线；如果两条异面直线中的一条与一个平面平行，则另一条直线一定与该平面相交；若直线l与平面平行，则l与平面内的直线平行或异面；若平面平面，直线a，直线b，则直线ab.答案：三、解答题9如图所示，在正方体ABCD A1B1C1D1中M，N分别是A1B1和BB1的中点，则下列直线与平面的位置关系是什么？(1)AM所在的直线与平面ABCD的位置关系；(2)CN所在的直线与平面ABCD的位置关系；(3)AM所在的直线与平面CDD1C1的位置关系；(4)CN所在的直线与平面CDD1C1的位置关系解：(1)AM所在的直线与平面ABCD相交；(2)CN所在的直线与平面ABCD相交；(3)AM所在的直线与平面CDD1C1平行；(4)CN所在的直线与平面CDD1C1相交10.如图，已知平面l，点A，点B，点C，且Al，Bl，直线AB与l不平行，那么平面ABC与平面的交线与l有什么关系？证明你的结论解：平面ABC与的交线与l相交证明：AB与l不平行，且AB，l，AB与l一定相交，设ABlP，则PAB，Pl.又AB平面ABC，l，P平面ABC，P.点P是平面ABC与的一个公共点，而点C也是平面ABC与的一个公共点，且P，C是不同的两点，直线PC就是平面ABC与的交线即平面ABCPC，而PClP，平面ABC与的交线与l相交- 9 -