傅里叶变换及其性质课件

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第,2,章 连续时间傅里叶变换,第,2,章 连续时间傅里叶变换,2.1,引言,2.2,周期信号的连续时间傅里叶级数,2.3,周期信号的频谱,2.4,非周期信号的连续时间傅里叶变换,2.5,傅里叶变换的性质,2.6,周期信号的傅里叶变换,2.7,连续信号的抽样定理,2.8,连续系统的频域分析,2.1,引 言,LTI,系统的特性完全可以由其单位冲激响应来表征，通过对,LTI,系统单位冲激响应的研究就可分析,LTI,系统的特性。,2.2,周期信号的连续时间傅里叶级数,满足,Dirichlet,条件的周期函数可以展成复指数形式的傅里叶级数,:,2.2.1,指数形式的傅里叶级数,周期性方波信号,图,2.2-1,周期矩形脉冲信号,2.2.2,周期信号频谱的特点,图,2.2-2,周期矩形脉冲信号,为得到该信号的频谱，先求其傅里叶级数的复振幅。,2.2.3,周期信号的频谱,周期信号的复振幅 一般为,n,的复函数，因而描述其特点的频谱图一般要画两个，一个称为,振幅频谱,，另一个称为,相位频谱,。振幅频谱以,为横坐标，以振幅为纵坐标画出谱线图；相位频谱以,为横坐标，以相位为纵坐标得到谱线图。 若信号的复振幅为,n,的实函数，其复振幅,F,n,与变量,(,n,),的关系也可以用一个图绘出。,取样函数定义为,这是一个偶函数，且,x,0,时，,Sa(,x,)=1,；当,x=k,时，,Sa(,k,)=0,。,据此，可将周期矩形脉冲信号的复振幅写成取样函数的形式，即,图,2.2-3 S,a,(x),函数的波形,图,2.3-4,周期矩形脉冲信号的频谱,由图,2.3-4,可以看出，此周期信号频谱具有以下几个特点：,第一为,离散性,，此频谱由不连续的谱线组成，每一条谱线代表一个正弦分量，所以此频谱称为不连续谱或离散谱。 ,第二为,谐波性,，此频谱的每一条谱线只能出现在基波频率,的整数倍频率上，即含有,的各次谐波分量，而决不含有非,的谐波分量。 ,第三为,收敛性,，此频谱的各次谐波分量的振幅虽然随,n,的变化有起伏变化，但总的趋势是随着,n,的增大而逐渐减小。 当,n,时，,|,F,n,|0,。,图,2.3-5,不同,值时周期矩形信号的频谱,(,a,),=,T,/5; (,b,),=,T,/10,图,2.2-6,不同,T,值时周期矩形信号的频谱,(,a,),T,=5,; (,b,),T,=10,周期矩形脉冲信号含有无穷多条谱线，也就是说，周期矩形脉冲信号可表示为无穷多个正弦分量之和。在信号的传输过程中，要求一个传输系统能将这无穷多个正弦分量不失真地传输显然是不可能的。实际工作中，应要求传输系统能将信号中的主要频率分量传输过去，以满足失真度方面的基本要求。周期矩形脉冲信号的主要能量集中在第一个零点之内， 因而，常常将,=0,这段频率范围称为矩形脉冲信号的频带宽度。记为,或,2.3.3,周期信号的功率,周期信号的能量是无限的，而其平均功率是有界的，因而周期信号是功率信号。为了方便，往往将周期信号在,1,电阻上消耗的平均功率定义为周期信号的功率。显然，对于周期信号,f,(,t,),， 无论它是电压信号还是电流信号，其平均功率均为,因此，据函数正交分解中的帕塞瓦尔定理,(,式,(2.1-16),，有,2.4,非周期信号的连续时间傅里叶变换,2.4.1,傅里叶变换,对于非周期信号，重复周期,T,趋于无限大，谱线间隔趋于无穷小量,d,，而离散频率,n,变成连续频率,。在这种极限情况下，,F,n,趋于无穷小量，但,可望趋于有限值，且为一个连续函数，通常记为,F,(j,),，即,非周期信号的傅里叶变换可简记为,一般来说，傅里叶变换存在的充分条件为,f,(,t,),应满足绝对可积， 即要求,2.4.2,非周期信号的频谱函数,由非周期信号的傅里叶变换可知,:,频谱函数,F,(,j,),一般是复函数，可记为,习惯上将,F,(,),的关系曲线称为非周期信号的幅度频谱,(,F,(,),并不是幅度,!),，而将,(,),曲线称为相位频谱，它们都是,的连续函数。,f,(,t,),为实函数时，根据频谱函数的定义式不难导出,:,式中：,与周期信号的傅里叶级数相类似，,F,(,),、,(,),与,R,(,),、,X,(,),相互之间存在下列关系：,在,f,(,t,),是实函数时：,(1),若,f,(,t,),为,t,的偶函数，即,f,(,t,)=,f,(-,t,),，则,f,(,t,),的频谱函数,F,(j,),为,的实函数， 且为,的偶函数。,(2),若,f,(,t,),为,t,的奇函数，即,f,(-,t,)=-,f,(,t,),，则,f,(,t,),的频谱函数,F,(j),为,的虚函数，且为,的奇函数。,与周期信号类似，也可将非周期信号的傅里叶变换表示式改写成三角函数的形式，即,2.4.3,典型信号的傅里叶变换,例,2.4-1,图,2.4-1(,a,),所示矩形脉冲一般称为门函数。其宽度为,， 高度为,1,，通常用符号,g,(,t,),来表示。试求其频谱函数。,解,门函数,g,(,t,),可表示为,图,2.4-1,门函数及其频谱,(,a,),门函数；,(b),门函数的频谱；,(c),幅度谱；,(d),相位谱,例,2.4-2,求指数函数,f,(,t,),的频谱函数。,图,2.4-2,单边指数函数,e,-t,及其频谱,(,a,),单边指数函数,e,-t,; (,b,) e,-t,的幅度谱,其振幅频谱及相位频谱分别为,解,例,2.4-3,求图,2.4-3(,a,),所示双边指数函数的频谱函数。,图,2.4-3,双边指数函数及其频谱,(,a,),双边指数函数；,(,b,),频谱,例,2.4-4,求图,2.4-4(,a,),所示信号,f,(,t,),的频谱函数。,图,2.4-4,例,2.4-4,图,(,a,),信号,f,(,t,); (,b,),频谱,(a,0),解,图示信号,f,(,t,),可表示为,例,2.4-5,求单位冲激函数,(,t,),的频谱函数。,图,2.4-5,信号,(,t,),及其频谱,(,a,),单位冲激信号,(,t,); (,b,),(,t,),的频谱,解,可见，冲激函数,(,t,),的频谱是常数,1,。也就是说，,(,t,),中包含了所有的频率分量， 而各频率分量的频谱密度都相等。 显然， 信号,(,t,),实际上是无法实现的。,根据分配函数关于,(,t,),的定义， 有,例,2.4-6,求直流信号,1,的频谱函数。,图,2.4-6,直流信号,f,(,t,),及其频谱,(,a,),直流信号,f,(,t,); (,b,),频谱,解,直流信号,1,可表示为,例,2.4-7,求符号函数,Sgn(,t,),的频谱函数。,考察例,2.4-4,所示信号,f,(,t,),当,0,时，其极限为符号函数,Sgn(,t,),。因而可以用求,f,(,t,),的频谱函数,F,(j),当,0,的极限的方法来求得,Sgn(,t,),的频谱函数。,例,2.4-4,所示信号的频谱函数为，从而有,图,2.4-7,符号函数,Sgn(,t,),及其频谱,(,a,)Sgn(,t,),的波形；,(,b,),频谱,例,2.4-8,求阶跃函数,(,t,),的频谱函数。,由阶跃函数,(,t,),的波形容易得到,解,从而就可更为方便地求出,(,t,),的频谱函数， 即,图,2.4-8,阶跃函数及其频谱,(,a,),(,t,),的波形；,(,b,),频谱,表,2.1,常用傅里叶变换对,续表,2.5,傅里叶变换的性质,根据傅里叶变换的概念，一个非周期信号可以表述为指数函数的积分， 即,1.,线性,若,且设,a,1,a,2,为常数，则有,2.,时移性,若,f,(,t,) ,F,(,j,),， 且,t,0,为实常数,(,可正可负,),，则有,此性质可证明如下。,例,2.5-1,求图,2.5-1(,a,),所示信号的频谱函数。,图,2.5-1,例,2.5-1,的图,(,a,),f,(,t,),的波形；,(,b,),相位谱,解,2.,频移性,频谱搬移的原理是将信号,f,(,t,),乘以载频信号,cos,0,t,或,sin,0,t,从而得到,f,(,t,) cos,0,t,或,f,(,t,) sin,0,t,的信号。因为,例,2.5-2,求高频脉冲信号,f,(,t,)(,图,2.5-2(,a,),的频谱。,图,2.5-2,高频脉冲信号及其频谱,(,a,),f,(,t,),的波形；,(,b,),频谱,解,图,2.5-2(,a,),所示高频脉冲信号,f,(,t,),可以表述为门函数,g,(,t,),与,cos,0,t,相乘，即,4.,尺度变换,当,a,0,时：,尺度变换性质表明，信号的持续时间与其频带宽度成反比。在通信系统中，为了快速传输信号，对信号进行时域压缩，将以扩展频带为代价，故在实际应用中要权衡考虑。,在尺度变换性质中， 当,a,=-1,时，有,也称为时间,倒置定理,。,5.,对称性,58,可编辑,我们知道,图,2.5-4,取样函数 及其频谱,6.,时域卷积,在信号与系统分析中卷积性质占有重要地位，它将系统分析中的时域方法与频域方法紧密联系在一起。在时域分析中， 求某线性系统的零状态响应时，若已知外加信号,f(t),及系统的单位冲激响应,h,(,t,),则有,在频域分析中，若知道,F,(,j,)=,F,f,(,t,),，,H,(,j,)=,F,h,(,t,),， 则据卷积性质可知,7.,频域卷积,应用频移性质，可知,8.,时域微分,例如，我们知道,利用时域微分性质显然有,此性质表明，在时域中对信号,f(t),求导数， 对应于频域中用,j,乘,f,(,t),的频谱函数。如果应用此性质对微分方程两端求傅里叶变换， 即可将微分方程变换成代数方程。从理论上讲，这就为微分方程的求解找到了一种新的方法。,此性质还可推广到,f,(,t,),的,n,阶导数， 即,9.,时域积分,时域积分性质多用于,F,(0)=0,的情况，而,F,(0)=0,表明,f,(,t,),的频谱函数中直流分量的频谱密度为零。,=0,例,2.5-4,求图,2.5-5(,a,),所示梯形信号,f,(,t,),的频谱函数。,解,若直接按定义求图示信号的频谱，会遇到形如,t,e,-jt,的繁复积分求解问题。而利用时域积分性质，则很容易求解。,将,f,(,t,),求导，得到图,2.5-5(,b,),所示的波形,f,1,(,t,),，将,f,1,(,t,),再求导， 得到图,2.5-5(,c,),所示的,f,2,(,t,),， 显然有,图,2.5-5,梯形信号及其求导的波形,据时移性质有,图,2.5-6,另一种梯形信号,12.,帕塞瓦尔定理,设,则,在周期信号码傅里叶级数计论中，我们曾得到周期信号的帕塞,瓦尔定理，即,一般来说，非周期信号不是功率信号，其平均功率为零，但其能量为有限量，因而是一个能量信号。非周期信号的总能量,W,为,非周期信号的帕塞瓦尔定理表明，对非周期信号，在时域中求得的信号能量与频域中求得的信号能量相等。由于,是 的偶函数，因而（,3 5-19,）还可写为,非周期信号是由无限多个振幅为无穷小的频率分量组成的，各频率分量的能量也为无穷小量。为了表明信号能量在频率分量上的分布情况，与频谱密度函数相似，引入 个能量密度频谱函数，简称为能量谱。能量谱,G,（ ）为各频率点上单位频带中的信号能量，所以信号在整个频率范围的全部能量为,与式（,3,。,5-20,）,表,2.2,傅里叶变换的性质,2.6,周期信号的傅里叶变换,设,f,(,t,),为周期信号，其周期为,T,，依据周期信号的傅里叶级数分析， 可将其表示为指数形式的傅里叶级数。即,例,2.6-1,求图,2.6-1(,a,),所示周期矩形脉冲,f,(,t,),的频谱函数,F,(,j,),。,图,2.6-1,周期矩形脉冲信号及其频谱,(,a,) f(t),的波形；,(,b,),复振幅,F,n,; (,c,),频谱函数,F,(j),解,周期矩形脉冲,f,(,t,),的复振幅,F,n,为,例,2.6-2,图,2.6-2(,a,),为周期冲激函数序列,T,(,t,),，其周期为,T,，,T,(,t,),可表示为,m,为整数,图,2.6-2,周期冲激序列及其频谱,解,先求,T,(,t,),的复振幅,F,n,：,设一周期信号,f,T,(,t,),，其周期为,T,，,f,T,(,t,),中位于第一个周期的信号若为,f,a,(,t,),，则不难得到,已经知道,2.7,连续信号的抽样定理,2.7.1,信号的时域抽样定理,图,2.7-1,信号的抽样,图,2.7-1,所示的抽样原理从理论上分析可表述为,f,(,t,),与抽样脉冲序列,P,T,s,(,t,),的乘积，即,式中的抽样脉冲序列,P,Ts,如图,2.7-2,所示。它实际上就是例,2.6 - 1,所讨论过的周期矩形脉冲函数，可表示为,图,2.7-2,抽样脉冲序列,P,Ts,(,t,),图,2.7-3,理想抽样的过程及其有关波形,1.,抽样定理,连续时间信号,f,(,t,),的时域抽样定理可表述为：在频率,f,m,Hz,以上没有频谱分量的带限信号，由它在均匀间隔上的抽样值惟一地决定， 只要其抽样间隔,T,s,小于或等于 。,由抽样定理可知，要求被抽样的信号,f,(,t,),为带限信号，即频带有限的信号。其最高频率为,f,m,， 最高角频率,m,=2,f,m,，即当,|,|,m,时，,F,(,j,)=0,。带限信号的概念示于图,2.7-4,。,图,2.7-4,带限信号及其频谱,设信号,f,(,t,),为带限信号，其最高频率分量为,f,m,，最高角频率为,m,=2,f,m,，即当,|,|,m,时，,F,(,j,)=0,。带限信号,f,(,t),的波形及频谱示于图,2.7-5(,a,),中。,图,2.7-5,信号的抽样及其频谱,2.,f,(,t,),的恢复,由图,2.7-5(,c,),所示样值函数,f,s,(,t,),及其频谱,F,s,(j),图形可知，样值函数,f,s,(,t,),经过一个截止频率为,m,的理想低通滤波器，就可从,F,s,(j),中取出,F,(j),，从时域来说，这样就恢复了连续时间信号,f,(,t,),。 即,式中，,H,(j),为理想低通滤波器的频率特性。,H,(,j,),的特性为,(2.7-7),由式,(2.7-7),可知,:,据傅里叶变换的时域卷积性质， 得,式中，,f,s,(,t,),为,F,s,(,j,),的傅里叶反变换。,图,2.7-6,f,(,t,),的恢复原理,由式,(2.7-8),所表示的理想低通滤波器的频率特性可表示为,的门函数的形式，如式,(2.7-10),所示：,应用傅里叶变换的对称性，得到,当抽样间隔 时，上式可写为,图,2.7-7,f,(,t,),的恢复,2.8,连续系统的频域分析,2.8.1,基本信号,e,jt,激励下的零状态响应,设线性时不变系统的单位冲激响应为,h(t,),，根据时域分析公式,(2.8-1),，系统对基本信号,e,jt,的零状态响应为,2.8.2,一般信号,f,(,t,),激励下的零状态响应,其推导过程如下：,由此可得用频域分析法求解系统零状态响应的步骤为：,2.8.3,无失真传输条件,1.,失真的概念,图,2.8-1,系统的无失真传输,通常把失真分为两大类：一类为线性失真，另一类为非线性失真。,信号通过线性系统所产生的失真称线性失真。其特点是在响应,y,(,t,),中不会产生新频率。也就是说，组成响应,y,(,t,),的各频率分量在激励信号,f,(,t,),中都含有，只不过各频率分量的幅度、相位不同而已。 反之，,f,(,t,),中的某些频率分量在,y,(,t,),中可能不再存在。 如图,2.8-6,所示的失真就是线性失真，对,y,(,t,),与,f,(,t,),求傅里叶变换可知，,y,(,t,),中决不会有,f,(,t,),中不含有的频率分量。,2.,无失真传输条件,图,2.8-2,系统不失真传输的幅频、相频条件,(,a,),幅频条件；,(,b,),相频条件,2.8.4,理想低通滤波器的特性,一个系统，如果它的,H(),对不同频率成分的正弦信号， 有的让其通过，有的予以抑制，则该系统称为,滤波器,。所谓,理想滤波器,，是指不允许通过的频率成分，一点也不让它通过， 百分之百地被抑制掉；而允许通过的频率成分，让其顺利通过， 百分之百地让其通过。,图,2.8-3,理想低通滤波器的系统函数,由图,2.8-3,可知， 理想低通滤波器的系统函数为,图,2.8-4,理想低通滤波器的冲激响应,在时域，要求系统的冲激响应,h,(,t,),满足因果条件， 即,在频域，有一个,“,佩利,-,维纳准则,”,，即,H,(j),物理可实现的必要条件是,115,可编辑,