数学人教新资料知识点学练考-充分条件和必要条件

数学人教新资料知识点学练考- 充分条件和必要条件【教法探析】判断充要条件关系的四种方法：定义法：假设pq ， 那么 p 是 q 的充分条件， q 是 p 的必要条件；假设 pq ，那么 p 是 q 的充要条件。qp利用集合的包含关系：关于集合问题，记条件 p 、 q 对应的集合分别为 A 、 B假设 AB ，那么 p 是 q 的充分条件， q 是 p 的必要条件；假设 A B ，那么 p 是 q 的充分不必要条件， q 是 p 的必要不充分条件；假设 AB ，那么 A 是 B 的充要条件；假设 A B 且 B A ，那么 p 是 q 的既不充分也不必要条件利用“”传递性【学法导引】充分、必要条件的判断【例 1】以下各题中，哪些p 是 q 的充要条件？ 1p：b0，q：函数 f x ax2bxc 是偶函数； 2p：x0，y0，q：xy0； 3p：ab，q：acbc。解在 13中， p? q，因此 13中 p 是 q 的充要条件 .在 2中， qp，因此 2中的 p 不是 q 的充要条件。反思感悟判断p 是 q 的什么条件，常用的方法是验证由p 能否推出 q，由 q 能否推出 p，关于否定性命题，注意利用等价命题来判断。变式迁移1 实系数一元二次方程ax2bxc0a0，以下结论中正确的选项是 _。b24ac0 是那个方程有实根的充分条件；b24ac0 是那个方程有实根的必要条件；b24ac0 是那个方程有实根的充要条件；b24ac0 是那个方程有实根的充分条件。答案解析b24ac0 是实系数一元二次方程ax2bxc0a0有实根的充要条件，利用该结论可知正确，由于 b24ac0 时，方程有相等实根，故是正确的。充分条件、必要条件、充要条件的应用【例2】p：x28x200.q：x22x1m20m0.假设q 是 p 的充分而不必要条件，求实数m的取值范围。解由 x28x200，得 2x10，由 x22x1m20 得 1mx1mm0， p：Ax| 2x10 ，q：Bx|1 mx1mm0 。 q 是 p 的充分不必要条件， B A。m0 1m10，解得 00 恒成立的充要条件。解：当 a0 时， 2x10 不恒成立当 a0 时， ax22x10 恒成立a0? 44a1因此不等式 ax22x10 恒成立的充要条件是a1充要条件的证明【例 3】求证：方程 x22k1xk20 的两个根大于 1 的充要条件为 k0?x11x21 01k4x1x220即x1x2x1x2101k42k120k22k110解得 k2充分性当 k0设方程 x2 2k1xk20 的两个根为 x1，x2。那么 x11x21x1x2x1 x21k22k11 kk20.又 x11 x21 x1x2 2 2k1 2 2k10， x110，x210. x11，x21。综上可知，方程 x22k1xk20 有两个大于 1 的根的充要条件为 k2。反思感悟证明充要条件，即证明原命题和逆命题都成立. 要注意“p 是 q 的充要条件”与“ p 的充要条件是 q”两种说法的差异，分清哪是条件，哪是结论 .变式迁移 3 求证：关于 x 的方程 ax2bxc0 有一个根为 1的充要条件是 abc0。证明必要性方程 ax2bxc0 有一个根为 1， x 1 适合方程 ax2 bxc0，即 a 12b 1 c0，即 abc0。充分性 abc0， a 12b 1 c0，也确实是 x 1 适合方程 ax2bxc0因此方程 ax2bxc0 有一个根为 1。综上所述，命题得证。课堂小结1. 充分条件和必要条件是数学中的重要概念， 要紧用来区分命题中的条件 p 和结论 q 之间的关系，要紧以其他知识为载体对条件 p 是结论 q 的什么条件进行判断， 判断时要尝试从条件推结论， 从结论推条件，再确定条件是结论的什么条件 . 假如由条件推出了结论，那么条件是结论成立的充分条件； 假如由结论推出了条件， 那么条件是结论成立的必要条件。2. 证明充要条件时，既要证明充分性，又要证明必要性，即证明原命题和逆命题都成立， 但要分清必要性、 充分性是证明怎么样的一个式子成立 . “A 的充要条件为 B”的命题的证明： A? B 证明了必要性； B? A 证明了充分性 . “A 是 B 的充要条件”的命题的证明： A? B证明了充分性； B? A 证明了必要性。【模拟练习】1. 设an 是首项大于零的等比数列， 那么“a1a2”是“数列 an是递增数列”的 _条件。答案充要解析设 an 的首项为 a1，公比为 q，假设 a11，从而有 a1qn1a1qn，即 an0，那么必有 q1，故 a1a2.2. 关于三个集合 A，B，C，条件 A? B，B? C，C? A 是 ABC的 _条件。答案充要解析由 A? B，B? C，得 A? C；又因 C? A，因此 AC，同理得 A B.由 ABC，得 A? B，B? C，C? A.3. 设集合 Mx|0x 3 ，Nx|0x 2 ，那么“ aM”是“ a N”的 _条件。答案必要不充分解析因为 NM.因此 aM是 aN的必要而不充分条件。4.“k1”是“直线 xyk0 与圆 x2y2 1 相交”的_条件。答案充分不必要解析把 k1 代入 x yk0，推得“直线 xy10 与圆 x2 y21 相交”；但“直线 xyk0 与圆 x2y21 相交”不一定推得“k1”. 故“k1”是“直线 xyk0 与圆 x2y21 相交”的充分不必要条件。5.“a0”是“方程 ax22x10 至少有一个负数根” 的_条件。答案充分不必要1解析当 a0，由韦达定理知 x1x2a0，故此一元二次方程有一正根和一负根， 符合题意；当 ax22x10 至少有一个1负数根时， a 能够为 0，因为当 a0 时，该方程仅有一根为2，因此 a 不一定小于 0. 由上述推理可知， a0 是方程 ax22x10 至少有一个负数根的充分不必要条件。6. 不等式 ax1x0 成立的一个充分而不必要条件是2x2解析不等式变形为 x1xa0，因当 2x1 时不等式成立，因此不等式的解为 axa，即 a2。【真题再现】1. 【2018 高考真题安徽理 6】设平面 与平面 相交于直线 m ，直线 a 在平面内，直线 b 在平面内，且 bm ，那么“”是“ ab ”的( A) 充分不必要条件 ( B) 必要不充分条件(C ) 充要条件 (D ) 即不充分不必要条件【答案】 A【命题立意】此题借助线面位置关系考查条件的判断【解析】 , bmbba ，假如 a / / m ，那么 ab 与b m 条件相同2. 设 a, bR ， i 是虚数单位，那么“ ab 0 ”是“复数 ab 为纯虚i数”的 BA. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件 D.既不充分也不必要条件解析：当ab=0时，a=0或b=0，ab 不一定是纯虚数，i反之当ab是纯虚数时，a0, b0, ab0,因此 B正确 .i答案： B点评：此题要紧考察充分必要条件和复数的概念以及它们之间的逻辑关系，掌握概念是全然。