约束和广义坐标解析课件

,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,1-1,约束和广义坐标,第一章 拉格朗日,(,Lagrange,),方程,一、牛顿力学的局限性和分析力学的建立：回顾几个概念,(1),物体受力,主动力,:,约束力,:,促使物体运动或有运动趋势的力,如,:,重力、风力等,限制,物体运动或有运动趋势的力,如,:,1,1-1 约束和广义坐标第一章 拉格朗日(Lagrange),示 例,(1),W,F,R,B,F,R,A,2,示 例 (1)WFRBFRA2,示 例,(2),3,示 例 (2)3,(2),牛顿运动方程,约束力不能事先就给出确切的表达式，而是取决于约束本身的性质、主动力和物体的运动状态。,难点,4,(2)牛顿运动方程 约束力不能事先就给出确切,牛顿力学 局限一：,必须知道作用在物体上的所有的力,合力,对于非自由质点，即,约束运动,，运动方程为：,其显式的得到一般很困难！,实际工程技术中迫切需要解决的问题,约束越多,列出的方程越多,!,方程越不好解！,用约束方程表示约束情况,!,约束方程,联立求解,5,牛顿力学 局限一：必须知道作用在物体上的所有的力合力对于,牛顿力学 局限二：,力学现象,非力学现象（如电磁学等）,内在联系,牛顿方程,麦克斯韦方程组,表述方法不同,不易找到内在联系,综上，很自然地促使人们探究力学的其他表述形式,分析力学,6,牛顿力学 局限二：力学现象非力学现象（如电磁学等）内在联系牛,分析力学 优势一：,约束越多,自由度越少,独立坐标越少,广义坐标越少,满足的,动力学方程,越少,拉格朗日方程,方程越好解,问题越好解决,（引入,广义坐标,）,7,分析力学 优势一：约束越多自由度越少独立坐标越少广义坐标越少,分析力学 优势二：,加速度、力等矢量,分析力学,电动力学,量子力学,统计物理,相对论,动能、势能等能量,牛顿主义,力学特色,8,分析力学 优势二：加速度、力等矢量分析力学电动力学量子力学统,牛顿力学以牛顿定律为基础，借助矢量和几何图形研究力学问题,优点：直观性强。缺点：处理质点组问题，特别是受约束问题特别复杂,特点,:,注重力 和加速度 运动微分方程 求解质点（质点组）的运动规律,分析力学用严格的数学分析方法研究力学问题,特点：注重具有广泛意义的,“,能量,”,，扩大坐标概念，引入,“,广义坐标,”,便于研究受约束质点组的力学问题,优点：（,1,）巧妙的消去,“,理想约束,”,，减少了方程组中未知量的个数；,（,2,）观点高，理论完整，涉及范围广，内容丰富 形成许多专门分支,（,3,）,“,能量,”,，,“,广义坐标,”,用于场的研究 量子力学，相对论，统计物理,9,牛顿力学以牛顿定律为基础，借助矢量和几何图形研究力学问题 优,牛顿力学,分析力学,代表人物,牛顿,拉格朗日、哈密顿,运动方程,牛顿方程,拉格朗日方程,哈密顿方程,计算方法,矢量计算,数学分析,描述系统运动状态的量,坐标、动量,广义坐标、广义动量,研究约束运动时,给出约束力及约束方程,无需给出约束力及约束方程,基本物理量,加速度、力,能量或功,与非力学系统的联系,不易看出,易于推广,10,牛顿力学分析力学代表人物牛顿拉格朗日、哈密顿运动方程牛顿方程,分析力学到底是什么样子地,?,从一个个新的概念入手,慢慢接近了解它,!,那么,11,分析力学到底是什么样子地? 从一个个新的概念入手,慢慢接近了,二、约束及分类,对于质点组,或称为力学体系,:,独立坐标数目,=3n,独立坐标数目,3n,n,个自由质点,若受到约束,约束：对力学体系中质点的位置和速度所施加的限制条件,约束方程：对限制条件的数学表达式,根据限制条件的性质将约束进行分类,:,12,二、约束及分类对于质点组,或称为力学体系:独立坐标数目=3n,1,、完整约束和非完整约束,（1）,完整（几何）,约束仅限制体系在空间的,几何位置,的约束,约束方程：,Example,:,单摆,几何约束,位置,约束,完整约束,完整系,常见的完整约束：质点被约束在某一曲线或曲面上运动，则约束方程就是该曲线或曲面的方程。,x,y,与速度无关,13,1、完整约束和非完整约束（1）完整（几何）约束仅限制体系在,（2）,非完整（,运动,）,约束对体系的,位置和速度,都进行限制的约束,约束方程：,Example,:,圆盘在竖直平面内沿水平直线的纯滚动,运动约束,速度,约束,微分约束,经积分可以消去坐标导数,几何约束（完整约束）,不能经积分消去坐标导数,非完整约束,运动约束,14,（2）非完整（运动）约束对体系的位置和速度都进行限制的约束,2,、定常约束和不定常约束,（1）,定常（,稳定,）,约束：约束方程中不显含时间,（,2,）不,定常（不,稳定,）,约束：约束方程中显含时间,Example,:,单摆,为定常约束,若悬点以匀速,v,沿,x,轴运动,为不定常约束,15,2、定常约束和不定常约束（1）定常（稳定）约束：约束方程中不,3,、双侧约束和单侧约束,(,1,),双侧,(,不可解,),约束：体系始终不可脱离的约束,（等式）,(2),单侧,(,可解,),约束：体系可在某个方向脱离的约束,(,不等式,),Example,:,单摆中用柔绳代替刚性杆,:,Example,:,单摆,今后仅讨论,完整、不可解约束,力学体系的运动问题,.,16,3、双侧约束和单侧约束(1)双侧(不可解)约束：体系始终不可,体系,受到（完整）约束数目,一个自由质点,0,n,个自由质点,0,n,个非自由质点,k,自由度,3,3n,3n-k,=s,3,3n,3n-k,三、广义坐标,独立坐标数目,17,体系 受到（完整）约束数目一个自由质点0n个自由质点0n,因此，我们完全可以用,s,个独立坐标,确切的描述力学体系的位置,这些独立量不一定是质点的笛卡儿坐标，有时选择某一种其他坐标会更加方便,于是,人们提出了,广义坐标,的概念,.,广义坐标,:,足以描述,(,具有,s,个自由度的,),系统位置的任意量,称为该体系的广义坐标,.,常记作,.,广义速度,，,广义加速度,.,18,因此，我们完全可以用s个独立坐标确切的描述力学体系的位置,这,1.,广义坐标中的,”,坐标,”,的含义已超出几何学的范畴,它的真正含义就是,”,独立参量,”,；,2.,广义坐标可以是线坐标,也可以是角坐标或其他物理量,如面积、体积、电极化强度、磁化强度等；,3.,相应的，广义速度 既可以是线速度，也可以是角速度，或者其他物理量对时间的变化；,4.,为描述同一系统，广义坐标的选择并不是唯一的，一般地，有许多组广义坐标都可以完全确定一个给定系统的状态,.,如何选择最合适的一组广义坐标,多做练习积累经验。,说明,19,1. 广义坐标中的”坐标”的含义已超出几何学的范畴,它的真正,5. n,个质点形成的力学体系的,3n,个非独立坐标,(,一般是笛卡儿坐标,),可以用,s,个独立的广义坐标表示出来,:,或,:,20,5. n个质点形成的力学体系的3n个非独立坐标(一般是笛卡儿,故广义坐标个数为,:,广义坐标可取为,:,或,或,等,例题,1,、给出单摆的广义坐标。,解：广义坐标个数为,:,这里,:,质点个数,另外有约束方程,:,故有,:,约束个数,21,故广义坐标个数为:广义坐标可取为:或或等例题1、给出单摆的广,注意：在确定广义坐标时，首先要确定广义坐标的个数,s,，,s,的确定不一定非得使用：,还可以判断该质点需要几个独立坐标即可确定其位置，则广义坐标的个数,s,即等于几。如下一例题。,22,注意：在确定广义坐标时，首先要确定广义坐标的个数s，s的确定,解：两个质点,m1,m2,只分别需要,1,个独立,坐标即可确定其位置，即整个体系只需,2,个广义坐标。,对于一个给定的系统,广义坐标的数目,是一定的,而广义坐标的选择不是唯一的,.,2,、给出在均匀重力场中平面双摆的广义坐标。两个绳长不变。,23,解：两个质点m1,m2只分别需要1个独立对于一个给定的系统,