一元二次函数课件

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,2020/6/3,#,一元二次函数,2018,一元二次函数2018,1,1.,在某一问题中，保持,的量叫常量，可以取,的量，叫做变量,.,不变,不同数值,2.,函数：在同一变化过程中，有两个变量,x,和,y,，如果对于x的每个值，y都有_与之对应，我们就把,y,叫做,x,的函数，其中,x,叫做自变量,.,如果自变量,x,取,a,时，,y,的值是,b,，就把,b,叫做,x=a,时的函数值,.,唯一确定的值,3.,平面直角坐标系：在平面内画两条互相垂直而且有公共原点的数轴，水平的一条叫做,x,轴或横轴，习惯上取向,的方向为正方向，,的一条叫做,或,，取向上的方向为正方向，这就组成了平面直角坐标系,.,y,轴,纵轴,右,铅直,1.在某一问题中，保持 的量叫常量，可以取,2,一次函数：,若两个变量,x,、,y,之间的关系可以表示成,y=kx+b(k,b,为常数，,k,0,）,的形式，则称,y,是,x,的,一次函数,。（,x,为自变量，,y,为因变量）,当,b=0,时，称,y,kx,是,x,的,正比例函数,知识点回顾：,一次函数：知识点回顾：,3,知识回顾,1,、一次函数的图像有何特征？,一次函数的图像是一条,。,当,时，,y,随,x,的增大而增大；,当,时，,y,随,x,的增大而减小。,直线,k,0,k,0,2,、画函数图像的基本步骤是：,、,、,。,列表,描点,连线,知识回顾1、一次函数的图像有何特征？ 一次函数的图像是一条,4,作出一次函数y=2x和Y=2X+1的图象,一次函数做图步骤,1,列表,2,描点,3,连线,作出一次函数y=2x和Y=2X+1的图象一次函数做图步骤,5,Y,X,O,Y=2X,Y=2X+1,-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1,-1,-2,-3,-4,-5,-6,1,2,3,4,5,6,1,2,3,4,5,6,7,8,-7,-8,YXOY=2XY=2X+1 -10 -9,6,认识一元二次函数,认识一元二次函数,7,知识回顾,二次函数的一般形式是怎样的？,y=a,x,+b,x,+c,(a,b,c,是常数,a 0),知识回顾二次函数的一般形式是怎样的？y=ax+bx+c(a,8,定义,中应该注意的几个问题,:,1.,定义：一般地,形如,y=ax+bx+c,(a,b,c,是常数,a0),的函数叫做,x,的,二次函数,.,y=ax+bx+c,(,a,b,c,是常数,a0),2.,几种不同表示形式,:,(1),y=ax,-,(a0,b=0,c=0,).,(2),y=ax+c,-,(a0,b=0,c0).,(3),y=ax+bx,-,(a0,b0,c=0).,定义中应该注意的几个问题:1.定义：一般地,形如y=ax+,9,下列函数中，哪些是二次函数？,(,),(,),( ),否,是,否,否,(,),是,(,),(6),y=ax +bx+c,下列函数中，哪些是二次函数？ ( )(,10,在二次函数,y=ax,+bx+c(a0),中，,a,、,b,、,c,分别叫做二次项系数、一次项系数、常数项。填表：,y=ax,+bx+c(a0),a,b,c,y=6x,y=x,+3x-2,y=(2x+3)(x-1),y=2+(x-1),二次函数 中，,x=-2,时，,y=,；,当,y =2,时，,x =,；,6,0,0,3,-2,1,0,-2,6,2,1,-3,1,-2,3,-3,-1,或,3,y=-2x,+6,在二次函数y=ax+bx+c(a0)中， a、b、,11,解：依题意得,m,2,+m-4=2,m-20,解得,m=-3,当,m=-3,时，原函数为二次函数。,已知函数,（,1,）当,k,时，,y,是,x,的二次函数？,（,2,）当,k,时，,y,是,x,的一次函数？,是关于,x,的二次函数，求,m,的值。,0,且,k 1,=1,火眼金睛,解：依题意得m2 +m-4=2解得 m=-3 当m=-3,12,二次函数的图像和性质,二次函数的图像和性质,13,探究新知,你会用描点法画二次函数,y=,x,2,的图象吗?,观察,y=,x,2,的表达式,选择适当,x,值,并计算相应的,y,值,完成下表：,x,-3,-2,-1,0,1,2,3,y=,x,2,9,4,1,1,0,4,9,画函数图象的基本步骤,:,列表，描点，连线。,探究新知你会用描点法画二次函数y=x2的图象吗?观察y=x2,14,x,y,0,-4,-3,-2,-1,1,2,3,4,10,8,6,4,2,-2,描点,连线,y,=,x,2,?,xy0-4-3-2-11234108642-2描点,连线y=,15,二次函数,y=,x,2,的图象形如物体抛射时所经过的路线,我们把它叫做,抛物线,二次函数y=x2的图象形如物体抛射时所经过的路线,我们把它叫,16,二次函数,y,=,x,2,的图象是一条曲线，它的形状类似于投篮球时球在空中所经过的路线，只是这条曲线开口向上，这条曲线叫做,抛物线,y,=,x,2,，,x,y,O,3,3,3,6,9,二次函数的图象都是,抛物线,。,一般地，二次函数,y,=,ax,2,+,bx,+,c,（,a,0,）的图象叫做抛物线,y,=,ax,2,+,bx,+,c,思考：这个二次函数图象有什么特征？,（,1,）形状是,开口向上,的抛物线,（,2,）图象,关于,y,轴对称,（,3,）,有最低点,，没有最高点,二次函数 y = x2的图象是一条曲线，它的,17,y,轴是抛物线,y,=,x,2,的对称轴，抛物线,y,=,x,2,与它的对称轴的交点（,0,0,）叫做,抛物线,y,=,x,2,的顶点,，它是抛物线,y,=,x,2,的,最低点,x,y,O,3,3,3,6,9,实际上，每条抛物线都有,对称轴,，抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的,顶点,顶点是抛物线的最低点或最高点,思考：这个二次函数图象有什么特征？,（,1,）形状是,开口向上,的抛物线,（,2,）图象,关于,y,轴对称,（,3,）,有最低点,，没有最高点,y轴是抛物线y = x 2 的对称轴，抛物,18,当,x0 (,在对称轴的,右侧)时,y,随着,x,的增大而,增大.,当,x=-2,时，,y4,当,x=-1,时，,y=1,当,x=1,时，,y=1,当,x=2,时，,y=4,抛物线,y=x,2,在,x,轴的,上方(除顶点外),顶点,是它的最低点,开口,向上,并且向上无限,伸展;当,x=0,时,函数,y,的值最小,最小值是0.,当x0 (在对称轴的当x=-2时，y,19,x,y,0,-4,-3,-2,-1,1,2,3,4,10,8,6,4,2,-2,1,y,=,x,2,这条抛物线关于,y,轴对称,y,轴就,是它的对称轴,.,对称轴与抛物,线的交点叫做,抛物线的顶点,.,当,x0 (,在对称轴的,右侧,),时, y,随着,x,的增大而,增大,.,当,x0 (,在对称轴的,左侧,),时,y,随着,x,的增大而,减小,.,抛物线,y=x,2,在,x,轴的,上方,(,除顶点外,),顶点,是它的最低点,开口,向上,并且向上无限,伸展,;,当,x=0,时,函数,y,的值最小,最小值是,0.,二次函数,y=x,2,的,图象形如物体抛射,时所经过的路线,我,们把它叫做抛物线,.,抛物线,y=x,2,与,x,轴有一个交点，是原点（,0,，,0,）,xy0-4-3-2-11234108642-21y=x2这条,20,(1)二次函数,y=-,x,2,的图象是什么形状？,你能根据表格中的数据作出猜想吗,？,x,y=-,x,2,x,-3,-2,-1,0,1,2,3,y=-,x,2,x,-9,-4,-1,0,-1,-4,-9,在,学,中,做,在,做,中,学,(1)二次函数y=-x2的图象是什么形状？你能根据表格中的数,21,(1),二次函数,y=-x,2,的图象是什么形状？,(2),先想一想，然后作出它的图象,(3),它与二次函数,y,=,x,2,的图象有什么关系？,x,y=-,x,2,x,-3,-2,-1,0,1,2,3,y=-,x,2,x,-9,-4,-1,0,-1,-4,-9,(1)二次函数y=-x2的图象是什么形状？(2)先想一想，然,22,做一做,x,y,0,-4,-3,-2,-1,1,2,3,4,-10,-8,-6,-4,-2,2,-1,描点,连线,y,=-,x,2,?,做一做xy0-4-3-2-11234-10-8-6-4-22,23,当,x0 (,在对称轴,的右侧)时,y,随着,x,的增大而减小.,y,当,x= -2,时,y= -4,当,x= -1,时,y= -,1,当,x=1,时,y= -1,当,x= 2,时,y= -4,抛物线,y= -x,2,在,x,轴的,下方(除顶点外),顶点,是它的最高点,开口,向下,并且向下无限,伸展;当,x=0,时,函数,y,的值最大,最大值是0.,当x0 (在对称轴y 当x=,24,二次函数y=,x,2,的性质,2.,顶点坐标与对称轴,1.,位置与开口方向,.,增减性与最值,抛物线,顶点坐标,对称轴,位置,开口方向,增减性,最值,y=x,2,y= -x,2,（,0,，,0,）,（,0,，,0,）,y,轴,y,轴,在,x,轴的上方,(,除顶点外,),在,x,轴的下方,(,除顶点外,),向上,向下,当,x=0,时,最小值为,0.,当,x=0,时,最大值为,0.,在对称轴的左侧,y,随着,x,的增大而减小,.,在对称轴的右侧, y,随着,x,的增大而增大,.,在对称轴的左侧,y,随着,x,的增大而增大,.,在对称轴的右侧, y,随着,x,的增大而减小,.,根据图形填表：,二次函数y=x2的性质2.顶点坐标与对称轴1.位置与开口方,25,1.抛物线,y=ax,2,的,顶点是原点,对称轴是,y,轴,.,2.当,a0,时，抛物线,y=ax,2,在,x,轴的上方(除顶点外),它的,开口向上,并且向上无限伸展；,当,a0,时,在对称轴的,左侧,y,随着,x,的增大而减小；在对称轴右侧,y,随着,x,的增大而增大.当,x=0,时函数,y,的值最小.,当,a0,时，,在对称轴的左侧,y,随着,x,的增大而增大；,在对称轴的右侧,y,随着,x,增大而减小,当,x=0,时,函数,y,的值最大.,二次函数,y=ax,2,的性质,归纳,1.抛物线y=ax2的顶点是原点,对称轴是y轴.,26,做一做,(1)抛物线,y=2x,2,的顶点坐标是,对称轴是,在对称轴,侧,y,随着,x,的增大而增大；在对称轴,侧,y,随着,x,的增大而减小,当,x=,时,函数,y,的值最小,最小,值是,抛物线,y=2x,2,在,x,轴的,方(除顶点外).,(2)抛物线 在,x,轴的,方(除顶点外),在对称轴的左侧,y,随着,x,的,；在对称轴的右侧,y,随着,x,的,当,x=0,时,函数,y,的值最大,最大值是,当,x,0,时,y0,a0,图,象,开口方向,顶点坐标,对称轴,增,减,性,极值,x,y,O,y,x,O,向上,向下,(0 ,0),(0 ,0),y,轴,y,轴,当,x0,时，,y,随着,x,的增大而减小。,当,x0,时，,y,随着,x,的增大而,增大,。,当,x0,时，,y,随着,x,的增大而减小。,抛物线的开口就越小.,|,a|,越小,抛物线的开口就越大.,y=ax2 (a0)a0a0,a0,k0,k0,(0,k),yax2+ka0a0,，向右平移,;h0,a0,h0,h0,(,0),ya(x-)2a0a0,时,开口向上,;,当,a0,时,开口向上,当,a0,向上平移,;k0,向右平移,;h0,时,开口向上,当,a0时, 开口向,61,如何平移：,如何平移：,62,在同一坐标系中，作出二次函数,y=-3(x-1),2,+2, y=-3(x-1),2,-2, y=-3x,和,y=-3(x-1),2,的图象。,根据图像,回答问题,对称轴仍是平行于,y,轴的直线,(x=1);,增减性与,y=-3x,2,类似,.,顶点分别是,(1,2),和,(1,-2),.,二次函数,y=-3(x-1),2,+2,与,y=-3(x-1),2,+2,的,图象可以看作是抛物线,y=-3x,2,先沿,着,x,轴向右平移,1,个单位,再沿直线,x=1,向上,(,或向下,),平移,2,个单位后,得到的,.,二次函数,y=-3(x-1),2,+2,与,y=-3(x-1),2,-2,的图象,和抛物线,y=-3x,y=-3(x-1),2,有什么关系,?,它的开口方向,对称轴和顶点坐标分别是什么,?,开口向下,当,x=1,时,y,有最大值,;,且,最大值,=2(,或,最大值,=-2).,想一想,二次函数,y=-3(x+1),2,+2,与,y=-3(x+1),2,-2,的图象,和抛物线,y=-3x,y=-3(x+1),2,y,X=1,在同一坐标系中，作出二次函数y=-3(x-1)2+2, y=,63,对称轴仍是平行于,y,轴的直线,(x=-1);,增减性与,y= -3x,2,类似,.,顶点分别是,(-1,2),和,(-1,-2),.,二次函数,y=-3(x+1),2,+2,与,y=-3(x+1),2,-2,的图象可,以看作是抛物线,y=-3x,2,先沿着,x,轴向左平移,1,个,单位,再沿直线,x=-1,向上,(,或向下,),平移,2,个单位后,得到的,.,二次函数,y=-3(x+1),2,+2,与,y=-3(x+1),2,-2,的图象,和抛物线,y=-3x,y=-3(x+1),2,有什么关系,?,它的开口方向,对称轴和顶点坐标分别是什么,?,开口向下,当,x=-1,时,y,有,最大值,:,且,最大值,= 2,(,或最大值,= - 2).,先想一想,再总结二次函数,y=a(x-h),2,+k,的图象和性质,.,x=1,对称轴仍是平行于y轴的直线顶点分别是二次函数y=-3(x+1,64,二次函数,y=a(x-h),2,+k,的图象和性质,.,顶点坐标与对称轴,.,位置与开口方向,.,增减性与最值,抛物线,顶点坐标,对称轴,位置,开口方向,增减性,最值,y=a(x-h),2,+k,(a0),y=a(x-h),2,+k,(a0,时,向右平移,;,当,h0,时向上平移,;,当,k0,时,开口向上,在对称轴左侧,y,都随,x,的增大而减小,在对称轴右侧,y,都随,x,的增大而增大,. a0 B. 0,1,x,y,o,-1,5.,若把抛物线,y = x,2,- 2x+1,向右平移,2,个单位,再向下平移,3,个单位,得抛物线,y=x,2,+bx+c,则（ ）,A.b=2,c= 6,B.b=-6 , c=6,C.b=-8,c= 6,D.b=-8 , c=18,B,B,-,2a,b,4a,4ac-b,2,4.若二次函数 y=ax2 + b x + c 的图象如下,83,6.,若一次函数,y=ax+b,的图象经过第二、三、四象限，则二次函数,y=ax,2,+bx-3,的大致图象是,( ),7.,在同一直角坐标系中,二次函数,y=ax,2,+bx+c,与一次函数,y=ax+c,的大致图象可能是 （ ）,x,y,o,x,y,o,x,y,o,x,y,o,A,B,C,D,-3,-3,-3,-3,x,y,o,x,y,o,x,y,o,x,y,o,A,B,C,D,C,C,6.若一次函数 y=ax+b 的图象经过第二、三、四象限，则,84,二次,函数,y=ax,2,+bx+c,(a0),的图象和性质,.,顶点坐标与对称轴,.,位置与开口方向,.,增减性与最值,抛物线,顶点坐标,对称轴,位置,开口方向,增减性,最值,y=ax,2,+bx+c,(a0),y=ax,2,+bx+c,(a0,时,开口向上,在对称轴左侧,y,都随,x,的增大而减小,在对称轴右侧,y,都随,x,的增大而增大,.,a,0,时,向右平移,;,当,0,时向上平移,;,当,0,时,向下平移,),得到的,.,驶向胜利的彼岸,小结 拓展,回味无穷,二次,函数,y=