大学物理第5章 刚体力学基础

大学物理第五章 刚体力学基础 1、 刚 体 :在 外 力 作 用 下 形 状 和 大 小 完 全 不 变 的 物 体 为 刚 体 。 刚 体 是 一 种 理 想 模 型 。 刚 体 上 任 两 点 间 的 距 离 始 终 保 持 不 变 。5.1.1、 刚 体 平 动 与 转 动 2、 刚 体 的 平 动 : 刚 体 上 任 意 两 点 的 连 线 在 运 动 中 保 持 平 行 ,这 种运 动 称 为 刚 体 的 平 动 。 平 动 的 刚 体 可 当 作 质 点 , 质 点 力 学 的 规 律适 用 。注 意 ： 刚 体 平 动 时 ， 运 动 轨 迹 不 一 定 是 直 线 。特 征 ： 各 个 质 点 的 位 移 、 速 度 、 加 速 度 相 等 。3、 刚 体 的 转 动 : 刚 体 上 的 各 点 绕 同 一 直 线 做 圆 周 运 动 。4、 刚 体 的 一 般 运 动 ： 刚 体 的 一 般 运 动 可 看 成 是 平 动 和 转 动 的 叠 加 。 定 轴 转 动 :转 轴 在 空 间 的 位 置 固 定 不 动 。1） 各 点 的 角 位 移 、 角 速 度 、 角 加 速 度 相 同 。2） 各 点 的 线 位 移 、 线 速 度 、 线 加 速 度 不 同 。特 征 ： 5 .1 刚 体 运 动 学 5.1.2、 刚 体 定 轴 转 动 的 角 量 描 述 22dddd tt t dd t 平 均 角 速 度 ：角 速 度 ：（ 矢 量 ）角 加 速 度 ：（ 矢 量 ） 角 位 移 : 12 规 定 ox 轴 逆 时 针 转 动 为 正 方 向 ， 反 之 为 负 方 向 。)(t 角 位 置 ： 刚 体 定 轴 转 动 的 运 动 学 方 程 。定 轴 转 动 只 有 两 个 转 动 方 向 。 SPPrO xyA A 刚 体 作 匀 变 速 转 动 时 ， 相 应 公 式 如 下 ：)(2 21 0202 0 200 t tt 角 量 与 线 量 的 关 系 ： 42 2, , ra rara rvrs nt线 速 度 与 角 速 度 之 间 的 矢 量 关 系 为 :rv 由 于 在 定 轴 转 动 中 轴 的 位 置 不 变 ， 故 只 有 沿 轴 的正 负 两 个 方 向 ， 可 以 用 代 数 值 代 替 。 , vro SPPrO xyA A 例 题 5-1一 半 径 为 R = 0.1m 的 砂 轮 作 定 轴 转 动 ， 其 角 位 置 随 时间 t 的 变 化 关 系 为 = ( 2 + 4 t 3 ) rad ， 式 中 t 以 秒 计 。 试 求 ：1） 在 t = 2s 时 ,砂 轮 边 缘 上 一 质 点 的 法 向 加 速 度 和 切 向 加 速 度 的 大小 。 2） 当 角 为 多 大 时 ， 该 质 点 的 加 速 度 与 半 径 成 45 o。 解 ： 1) )(.Ra t 2m/s844810 212dd tt tt 24dd )(.Ran 222 m/s42304810 2) tt 4.24.14 4 42 4.14 tRa n tRat 4.2 145t nt a/aan s550.t ( 舍 去 t = 0 和 t = -0.55 )此 时 砂 轮 的 角 度 ： (rad)67.255.042)42( 33 t o 例 题 5-2 一 飞 轮 从 静 止 开 始 加 速 ， 在 6s内 其 角 速 度 均 匀 地 增加 到 200rad/min,然 后 以 这 个 速 度 匀 速 旋 转 一 段 时 间 ， 再 予 以 制动 ， 其 角 速 度 均 匀 减 小 。 又 过 了 5s后 ， 飞 轮 停 止 了 转 动 。 若 飞轮 总 共 转 了 100转 ， 求 共 运 转 了 多 少 时 间 ？解 ： 整 个 过 程 分 为 三 个 阶 段 加 速 阶 段 111 t 1112 20 22 111211 t 匀 速 阶 段 212 t 制 动 阶 段 331 t 3312 2 22 313213 t 2100321 而 20022 312111 ttt sttttt 918222002200 311 1 3112 ./)(/)( stttt 9193321 . cos23dd Lgt dcos23d Lg 解 ： 1) 棒 做 变 加 速 运 动 ： 例 题 5-3 一 细 棒 绕 O 点 自 由 转 动 ， 并 知 , L 为 棒 长 。求 : 1) 棒 自 水 平 静 止 开 始 运 动 ， = / 3 时 , 角 速 度 ? 2) 此 时 端 点 A 和 中 点 B 的 线 速 度 为 多 大 ? cos23Lg 0 30 dcos23d LggLLg 2 333sin32 Lg233得 ：由 rv )2 233 gLLv A 8332 gLLvB dddddd t A BO 222 212121 ci ii iik mvvmvmE 平 22)(21 i iirm i iii iii iik rmrmvmE 2222 21)(2121 转平 动 动 能 ：转 动 动 能 ：5.2.1、 刚 体 的 动 能 5.2定 轴 转 动 刚 体 的 功 和 能定 义 ： 刚 体 对 转 轴 的 转 动 惯 量 ：SI单 位 ： kg . m 2 ni iirmJ 1 2 221 JE k 转即 ：注 意 ： 转 动 动 能 实 质 与 平 动 动 能 相 同 ， 表 达 式 不 同 。 2 、 转 动 惯 量 的 计 算 ： 2iirmJ 若 质 量 离 散 分 布 ： （ 质 点 ， 质 点 系 ） mrJ d2 若 质 量 连 续 分 布 ： lm dd dSd m Vm dd 其 中 ：1、 定 义 ： 刚 体 对 转 轴 的 转 动 惯 量 ：5.2.2、 转 动 惯 量 的 计 算 ： 描 述 刚 体 转 动 惯 性 大 小 的 物 理 量 。SI单 位 ： kg . m mrJ d2 ni iirmJ 1 2 例 题 5-4求 质 量 为 m， 半 径 为 R 的 均 匀 圆 环 对 中 心 轴 的 转 动 惯 量 。解 : 设 质 量 线 密 度 为 R lRmRJ 20 22 dd 例 题 5-5 求 质 量 为 m、 半 径 为 R 的 均 匀 薄 圆 盘 对 中 心 轴 的 转 动 惯 量 。 取 半 径 为 r 宽 为 d r 的 薄 圆 环 ,rrsm d2dd lm dd R rrrmrJ 0 22 2 dd R o22 2 mRRR o R md解 : 设 质 量 面 密 度 为 24 2121 mRR r rd质 点 作 圆 周 运 动 、 圆 筒圆 柱 、 滑 轮 等 例 题 5-6 求 长 为 L、 质 量 为 m 的 均 匀 细 棒 对 图 中 不 同 轴 的 转 动 惯 量 。解 : 1） 取 A 点 为 坐 标 原 点 。 在 距 A 点 为 x 处 取 dm= dx 。12dd 222 22 mLxxmxJ LLC 3d 20 2 mLxxJ LA A L B xA C 2L md2L xx B2） 取 C 点 为 坐 标 原 点 。 在 距 C 点 为 x 处 取 dm 。2) 同 一 刚 体 对 不 同 转 轴 的 转 动 惯 量 不 同 ， 凡 提 到 转 动 惯 量 必 须 指 明 它 是 对 哪 个 轴 的 。 刚 体 的 转 动 惯 量 是 由 刚 体 的 总 质 量 、 质 量 分 布 、 转 轴 的 位 置 三 个 因 素 共 同 决 定 ; x mdxxmxJ ddd 22 说 明 3、 平 行 轴 定 理 ： 若 有 任 一 轴 与 过 质 心 的 轴 平 行 ， 且 两 轴 相 距 为 d， 刚 体对 该 轴 的 转 动 惯 量 为 J， 则 有 ：两 轴 平 行 ；JC 为 刚 体 绕 质 心 轴 的 转 动 惯 量d 为 两 平 行 轴 间 距 离 。 2221 mdmRJo 2mdJJ C 例 均 匀 圆 盘 对 O 轴 的 转 动 惯 量 。 221 mRJC o Cd 5.2.3、 对 转 轴 的 力 矩1、 F在 转 动 平 面 内 FrMz Fo r Pzd 大 小 ： Mz Frsin Fd, d=rsin 称 为 力 F对转 轴 的 力 臂 。Mz的 方 向 平 行 于 转 轴 ， 由 右 手 螺 旋 定 则 确 定 。 Fo rPz zF tFrF2、 F不 在 转 轴 平 面 内 把 F分 解 为 三 个 分 量Fz, Fr, Ft, Fr的 力 矩 为 零 , Fz的 力 矩 不 为 零 ，但 不 影 响 刚 体 的 定 轴 转 动 ， Ft的 力 矩 沿 轴 向 ，它 对 角 动 量 有 贡 献 。3、 多 个 力 作 用 于 刚 体 各 外 力 作 用 点 各 不 相 同 ， 外 力 对 转轴 的 合 力 矩 nzzzz MMMM 21可 证 ： 刚 体 中 内 力 对 给 定 轴 的 力 矩 的 矢 量 和 为 零 ， 只 需 考 虑 外 力 矩 的 作 用 。 合 外 力 矩 等 于 各 力 对 转 轴 力 矩 的 代 数 和 。 5.2.4、 定 轴 转 动 定 律 O P iF i, iifir ， Oz设 刚 体 以 角 速 度 和 角 加 速 度 绕轴 转 动 ， 点 表 示 刚 体 上 的 一 质 元 , ,im P ir 质 量 为点 的 矢 径 为PiF ， 此 质 元 所 受 的 外 力 为， 内 力 为 if ,且 均 在 转 动 平 面 内 由 牛 顿 第 二 定 律 得 : iiii amfF 其 切 向 分 量 和 法 向 分 量 方 程 分 别 为 : iiF sin iif sin ti i i ima mr iiF cos( )cos iif ni ima 2iirm +=由 于 法 向 力 的 作 用 线 穿 过 转 轴 ， 其 力 矩 为 零 ， 故 只 讨 论 切 向 方 程 。 对 切 向 方 程 两 边 同 乘 以 ir ， 可 得 iiirF sin iiirf sin iirm 2令 i iiiz rFM sin i iirmJ 2i iiirF sin i iiirf sin i iirm )( 2则 有 ：上 式 便 可 写 成 JMz 刚 体 的 定 轴 转 动 定 律它 表 明 ： 刚 体 绕 定 轴 转 动 时 ， 刚 体 对 该 轴 的 转 动 惯 量 与 角 加 速 度 的 乘 积 ， 等 于 作 用 于 刚 体 上 所 有 外 力 对 该 轴 力 矩 的 代 数 和 。 1、 转 动 定 律 适 用 条 件 ： 刚 体 定 轴 转 动 。2、 M 一 定 ： 作 用 不 同 刚 体 上 ， J 大 时 ， 小 ， 转 速 不 宜 改 变 ， 转 动 惯 性 大 。 反 之 ， J 小 ， 转 动 惯 性 小 。 转 动 惯 量 是 物 体 转 动 惯 性 大 小 的 量 度 。3、 刚 体 转 动 定 律 是 解 决 刚 体 转 动 问 题 的 重 要 定 律 。 应 用 时 应 注 意 以 下 问 题 ： 当 系 统 中 既 有 转 动 物 体 ， 又 有 平 动 物 体 时 ， 用 隔 离 法 解 题 。 对 转 动 物 体 应 用 转 动 定 律 建 立 方 程 ， 对 平 动 物 体 则 用 牛 顿 第 二 定 律 建 立 方 程 。 力 矩 和 转 动 惯 量 必 须 对 同 一 转 轴 而 言 。 选 定 转 轴 的 正 方 向 ， 以 确 定 力 矩 或 角 加 速 度 、 角 速 度 的 正 负 。M J F m a类 比 1m 1Tgm 1 1a 2mgm 22T 2a2mm1m 的 薄 圆 盘 ）的 定 滑 轮 （ 视 为 半 径 为 例 题 5-7 m r一 轻 绳 跨 过 一 质 量 为两 物 体 ， 且和1m 2m 12 mm 绳 两 端 挂 质 量 为 ， 绳 与 滑 轮 无 相 对 滑 动 ，fM滑 轮 轴 间 摩 擦 阻 力 矩 为求 物 体 的 加 速 度 和 绳 中 的 张 力 。 OfM 2T1T解 ： 由 牛 顿 第 二 定 律 和 转 动 定 律 得 amTgm 222 2m 对 （ 2） amgmT 111 1m对 （ 1）对 滑 轮 212 21mrMrTrT f （ 3） 2211 , TTTT （ 4） ra （ 5） 联 立 （ 1） ,（ 2） ， （ 3） ， （ 4） ， (5)式 可 解 得2/ /)( 21 12 mmm rMgmma f 1 21 1 1 21(2 ) 2( ) /2 fMm m m g rT m g a m m m 2 12 2 1 21(2 ) 2( ) /2 fMm m m g rT m g a m m m 当 不 计 滑 轮 质 量 m和 摩 擦 阻 力 矩 Mf时 ， 有gmm mmagmTT 21 21121 2)( gmm mma 21 12 例 题 5-8 质 量 为 m 1、 半 径 为 R 的 定 滑 轮 可 绕 轴 自 由 转 动 ， 一 质量 为 m 2 的 物 体 悬 挂 于 绕 过 滑 轮 的 细 绳 上 。 求 ： 物 体 m 2 的 下 落 加速 度 a 和 滑 轮 转 动 的 角 加 速 度 . )2( 2 21 2 mmR gm21 222 mm gma 联 合 解 得 ： Ra )1JRT )222 amTgm 关 联 方 程 ： 解 对 m 1 分 析 力 矩 ； 取 滑 轮 转 动 方 向 为 正 方 向 。 2121 RmJ JM gm 2T对 m 2分 析 受 力 。 取 向 下 为 正 方 向 。 R 1 mTTT 2mR1m由 转 动 定 律 ：由 牛 顿 运 动 定 律 ： 例 题 5-9 一 刚 体 由 长 为 l ， 质 量 为 m 的 均 匀 细 棒 和 质 量 为 m的小 球 组 成 ， 且 可 绕 O 轴 在 竖 直 平 面 内 转 动 ， 且 轴 处 无 摩 擦 。求 : 1） 刚 体 绕 轴 O 的 转 动 惯 量 。 2） 若 棒 自 水 平 静 止 开 始 运 动 到棒 与 竖 直 方 向 成 角 时 , 小 球 的 角 速 度 和 法 向 加 速 度 。 222 3431 mlmlmlJ 2） 取 逆 时 针 转 动 为 正 方 向 ， 棒 与 竖 直 方 向 成 角 时 ， 合 外 力 矩 : sinmglMMM 23 棒球 解 1） 231mlJ 棒 2mlJ 球 sinmglM 球sin2lmgM 棒 O mlm, gmgm dddddddd tt又 dd8sin9 lg分 离 变 量 积 分 得 : 02 dd8sin9 lg l gcos23小 球 的 法 向 加 速 度 ： cos49 2 glan lgJM 8sin9 得 ：由 转 动 定 律 : JM O mlm, 2m 1mr MN Tf gm 2 解 选 取 斜 面 为 参 考 系 ， 规 定 滑 轮 的 转 动方 向 为 转 动 正 向 ， 沿 斜 面 向 上 为 重 物 运 动 的正 方 向 隔 离 物 体 分 析 受 力 。对 重 物 应 用 牛 顿 第 二 定 律 ， 得amgmfT 22 sin 对 滑 轮 应 用 转 动 定 律 ， 得 JrTM 关 联 方 程 为 ： TT ra T o 2121 rmJ cos2gmNf 例 题 5-10 一 恒 力 矩 M作 用 于 斜 面 顶 点 的 滑 轮 上 ， 滑 轮 的 半 径 为r,质 量 为 m1， 质 量 为 m2的 重 物 通 过 一 不 可 伸 长 的 轻 绳 固 定 在 轮 的边 缘 ， 重 物 沿 倾 角 为 的 斜 面 上 升 重 物 与 斜 面 间 的 摩 擦 系 数 为 。 求 ： 轮 子 由 静 止 开 始 转 过 角 后 获 得 多 大 的 角 速 度 ？ 2221 2221 cossin rmrm gmgrmM 联 立 得 ： 22 2 2221 22 2 )cossin(4 rmrm gmgrmM 由 于 为 常 量 ， 故 滑 轮 作 匀 变 速 转 动 则 基 本 步 骤 ： 隔 离 法 分 析 研 究 对 象 。 确 定 各 物 体 运 动 的 正 方 向 。 分 别 列 出 质 点 和 刚 体 的 运 动 方 程 。 22 2121 JmvEEE kkk 转平一 般 刚 体 动 能 ：5.2.5、 力 矩 的 功 和 功 率 ： MFr sin ？外 力 矩刚 体 角 位 移 d力 矩 功 的 表 达 式 ：由 功 的 定 义 式 : dcosFr dd MA rFAr ddd 位 移外 力质 点 sFrFA dcosdd dsinFr Frz do psd rd 21 d MA 如 果 有 几 个 外 力 矩 对 刚 体 做 功 ， 则 各 外 力 矩 做 功 之 和 为 21 212121 1 2 11 d ddd ni i nni iM MMMAA MdMA id M为 刚 体 所 受 合 外 力 矩 。 根 据 质 点 力 学 中 功 率 的 定 义 ， 力 矩 的 功 率 可 表 示 为 MtMtAP dddd5.2.6、 刚 体 定 轴 转 动 的 动 能 定 理 ： 转k2 d)21d(ddddddd EJJtJJMA 转k21222 2121)21d(d 2121 EJJJMA 由 力 矩 的 元 功 表 达 式 得 转kEMA d 定 轴 转 动 的 动 能 定 理 积 分 形 式合 外 力 矩 的 功 等 于 刚 体 转 动 动 能 的 增 量 。转kEMA ddd 定 轴 转 动 的 动 能 定 理 微 分 形 式例 题 补 充 冲 床 的 飞 轮 m=600kg,飞 轮 半 径 r=0.4m.正 常 速 度 为 n1= 240r/min,冲 一 次 孔 转 速 减 低 20 % 。 求 冲 一 次 孔 冲 头 做 的 功 。 解 : 冲 孔 前 后 的 角 速 度 分 别 表 示 为 1 和 2 602 11 n 112 0.8= )2.01( 221mrJ 孔 铁 板 阻 力 对 冲 头 做 功 ： (J)1045.52121 3212212 JJEEA kk故 冲 头 做 功 ： (J)310455 .AA )gd(d mhmghEp刚 体 质 量 全 部 集 中 于 质 心 时 ， 相 对 于 零 势 点 所 具 有 的 势 能 。5.2.7、 刚 体 的 重 力 势 能 : cp mghE 刚 体 的 重 力 势 能 : hc是 刚 体 质 心 相 对 重 力势 能 参 考 点 的 高 度 .长 为 质 量 为 ml 的 均 匀 细 棒 作 如 图 所 示 的 定 轴 转 动 时 ， 重 力 矩所 做 的 功 为 2121 2 12 1d1 sin d21 (cos cos )2 ( ) ( )C CA Mmglmglmg h z mg h z 重 2 1( )C Cmgz mgz 重 力 矩 所 做 的 功 等 于 重 力 势 能 增 量 的 负 值 。 mgmg2O C C 1z2zh 1 5.2.8、 刚 体 定 轴 转 动 的 功 能 原 理 和 机 械 能 守 恒 定 律 :M 重 M外如 果 刚 体 定 轴 转 动 中 受 重 力 矩 及 其 它 外 力 矩 的 作 用 ，则 有 转重 k2122 2121d(21 EJJMM ）外 EJmgzJmgzM CC )21()21(d 211222 21 外即 刚 体 定 轴 转 动 功 能 原 理 的 积 分 形 式 )21( 2JmgzE C 统 称 为 刚 体 的 机 械 能 d dM E 外 刚 体 定 轴 转 动 功 能 原 理 的 微 分 形 式 如 果 在 刚 体 定 轴 转 动 的 过 程 中 ， 除 重 力 矩 以 外 的 其 它 外 力 矩 对刚 体 做 的 功 始 终 为 零 ,则 刚 体 的 重 力 势 能 为 。 注 ： 一 般 情 况 下 ，转平 kkk EEE Cmgh时 ，当 非 保 内外 0 AA dd CEEE pk O l gmgmCC下 摆 。 求 :例 题 5-11一 长 为 l质 量 为 m 的 匀 质 细 棒 ， 如 图 所 示 ， 可 绕 图 中水 平 轴 o在 竖 直 面 内 旋 转 ， 若 轴 间 光 滑 ， 今 使 棒 从 水 平 位 置 自 由（ 1） 在 水 平 位 置 和 竖 直 位 置 棒 的 角 加 速 度（ 2） 在 竖 直 位 置 时 棒 的 角 速 度 、 质 心 的速 度 和 加 速 度 各 为 多 少 ？解 ： （ 1） 由 定 轴 转 动 定 律 可 得在 水 平 位 置 lgmllmgJM 2331 2 2 水平在 竖 直 位 置 031 0 2 mlJM竖 直 O l gmgmCC（ 2） 先 取 任 一 中 间 状 态 进 行 受 力 分 析 ，细 棒 的 机 械 能 守 恒 。 若 设 细 棒 在 水 平位 置 时 为 重 力 势 能 零 点 ， 则 有 0221 22 lmgJ竖 直 位 置 棒 的 角 速 度 为 lgmlmglJmgl 331 22 gllgllvC 321322 2 2t n 2 30, 2 2 2C Cl la a g ， 物 体 的 质 量 为 m， 物 体 与 斜 面 间 光 滑 ， 物， 斜 面 的 倾 角 为 弹 簧 的 劲 度 系 数 为 k例 题 5-12如 图 所 示 已 知 滑 轮 的 质 量 为 M， 半 径 为 R体 从 静 止 释 放 ， 释 放 时 弹 簧 无 形 变 。 设 细 绳 不 伸 长 且 与 滑 轮 间 无相 对 滑 动 ， 忽 略 轴 间 摩 擦 阻 力 矩 。 求 物 体 沿 斜 面 下 滑 x米 时 的 速 度为 多 大 ？ （ 滑 轮 视 作 薄 圆 盘 ） OMR mk 解 ： 选 取 定 轴 转 动 的 滑 轮 、 弹 簧 、 物 体 和 地 球 为 系 统 ， 这 时 重 力 、弹 性 力 均 为 系 统 内 保 守 力 ， 而 其 它 外 力 和 非 保 守 内 力 均 不 做 功 ，故 系 统 的 机 械 能 守 恒 。2 2 2M1 1 1( sin ) ( ) 02 2 2kx mgx mv J Rv 2M 12J MR联 立 求 得 24 sin2mgx kxv m M 5.3.1、 刚 体 对 定 轴 的 角 动 量当 刚 体 作 定 轴 转 动 时 ， 刚 体 上 各 质 元 某 一 瞬 时 均 以 相 同 的 角 速度 w绕 该 轴 作 圆 周 运 动 。 设 刚 体 上 某 一 质 元 mi距 轴 的 距 离 为 ri,则 其 对 该 轴 的 角 动 量 2iii rmL 2i i i zi iL L mr J JL 5.3定 轴 转 动 刚 体 的 角 动 量 定 理 和 角 动 量 守 恒 定 律o o r dm其 矢 量 式 为 5.3.2、 刚 体 的 角 动 量 原 理刚 体 定 轴 转 动 时 ， 当 转 动 惯 量 J不 变 时 ， 转 动 定 律 可 表 示 为d d( ) dd d dJJ J t t t LM 或 d dt M L 2 21 1 2 2 1 1 d dtt t J J LLM L L 5.3.3、 刚 体 的 角 动 量 守 恒 定 律 ：当 作 用 于 刚 体 上 的 合 外 力 矩 等 于 零 时 ， 刚 体 的 角 动 量 保 持 不 变0M 常 矢 量 JL 1) 定 轴 转 动 的 刚 体 ， 若 J = C， 角 动 量 守 恒 即 刚 体 保 持 静 止 或 匀 角 速 转 动 。2） 若 J 不 为 恒 量 时 ， 角 动 量 守 恒 即 ： J = 恒 量 。 这 时 ， 刚 体 的 角 速 度 随 转 动 惯 量 的 变 化 而 变 化 ， 但 乘 积 保 持 不 变 当 刚 体 所 受 的 外 力 对 某 固 定 转 轴 的 合 外 力 矩 为零 时 ， 刚 体 对 此 转 轴 的 总 角 动 量 保 持 不 变 。3） 角 动 量 守 恒 定 律 中 的 都 是 相 对 于 同 一 转 轴 的 、J说 明4） 守 恒 条 件 ： 00 ii MF 不 等 价0 iF 0 iM例 : 1F 2F 0 iF 0 iM1F 2F 例 题 5-13如 图 所 示 ， 一 质 量 为 m的 子 弹 以 水 平 速 度 v0射 穿 静 止 悬 于 顶端 的 均 质 长 棒 的 下 端 。 子 弹 穿 出 后 其 速 度 损 失 了 3/4， 求 子 弹 穿 出后 棒 的 角 速 度 。 已 知 棒 的 长 度 为 l， 质 量 为 M。 0v vm m解 ： 取 细 棒 和 子 弹 为 系 统 ， 在 碰 撞 过 程 中 ， 系 统 受 到 的 外 力 ：重 力 和 轴 的 作 用 力 ， 它 们 对 转 轴 的 力 矩 为 零 。 所 以 系 统 的 角 动量 守 恒 ， 即 20 31Mlmlvmlv 00 41431 vvv Mlmv49 0 m0v mgffgMNOM l2例 题 5-14如 图 所 示 ， 一 长 为 2l ， 质 量 为 M的 均 匀 细 棒 ， 可 绕 中 点 的水 平 轴 o在 竖 直 面 内 转 动 ， 开 始 时 棒 静 止 在 水 平 位 置 ， 一 质 量 为 m的 小 球 以 速 度 v0垂 直 下 落 在 棒 的 端 点 ， 设 小 球 与 棒 作 弹 性 碰 撞 ， 求碰 撞 后 小 球 的 回 跳 速 度 v及 棒 转 动 的 角 速 度 各 为 多 少 ？解 : 以 小 球 和 棒 组 成 的 系 统 为 研 究 对 象 。取 小 球 和 棒 碰 撞 中 间 的 任 意 状 态 分 析 受 力 ， 则 系 统 对 轴 o的 角 动 量 守 恒 取 垂 直 纸 面 向 里 为 角 动 量 L正 向 mvlJlmv 0 22 31)2(121 MllMJ 根 据 弹 性 碰 撞 ， 机 械 能 守 恒 。 有 2220 212121 Jmvmv 联 立 可 解 得 033 vmM mMv lmM mv )3( 6 0 例 题 5-15一 质 量 为 M半 径 为 R的 水 平 转 台 （ 可 看 作 匀 质 圆 盘 ） 可 绕 通过 中 心 的 竖 直 光 滑 轴 自 由 转 动 ， 一 个 质 量 为 m的 人 站 在 转 台 边 缘 。人 和 转 台 最 初 相 对 地 面 静 止 。 求 当 人 在 转 台 上 边 缘 走 一 周 时 ， 人和 转 台 相 对 地 面 各 转 过 的 角 度 是 多 少 ？ OM mR x解 :如 图 ， 对 盘 和 人 组 成 的 系 统 ， 当 人 走 动 时 系 统 所 受 到 的 对转 轴 的 合 外 力 矩 为 零 ， 因 此 系 统 的 角 动 量 守 恒 。 设 人 沿 转 台 边缘 相 对 地 面 以 角 速 度 w逆 时 针 方 向 绕 轴 走 动 ， 人 的 转 动 惯 量 为 J1。转 台 以 角 速 度 w 相 对 地 面 顺 时 针 方 向 绕 轴 转 动 ， 转 台 的 转 动 惯 量为 J2。 起 始 状 态 系 统 的 角 动 量 为 零 。 则 有021 JJ 22 21MRmR即令 tdd tdd ， tMRtmR dd21dd 22 00 d21d Mm Mm 21当 人 在 盘 上 走 完 一 周 时 ， 应 有 2 22mMM 2222222 mM mmMM 定 点 转 动 ： 刚 体 在 运 动 过 程 中 ， 只 有 一 点 是 固 定 不 动 的 ， 转轴 可 以 在 空 间 转 动 。d dL M t JmgRLMtdd角 动 量 进 动 的 角 速 度 ： L LLd LL L与 垂 直 时M L改 变 方 向 、 而 不 改 变 大 小L d d dL L M t 5.4 旋 进 Cr gm L 小 结刚 体 的 角 动 量 守 恒 定 律 ： 常 矢 量时 ，外 JLM 0 JtJM dd刚 体 的 定 轴 转 动 定 律 ： kEMA d定 轴 转 动 的 动 能 定 理 ：刚 体 的 重 力 势 能 : cp mghE