微分中值定理课件

2 2、罗尔、罗尔(Rolle)定理定理一、微分中值定理3、拉格朗日、拉格朗日(Lagrange)中值定理中值定理4、柯西柯西(Cauchy)中值定理中值定理1 1、问题的提出、问题的提出第二讲第二讲 微分中值定理微分中值定理1、问题的提出、问题的提出两个现象：两个现象：(1)曲线弧曲线弧 AB 上上至少有一点处的至少有一点处的切线切线是是水平水平的，即的，即(2)变速直线运动变速直线运动在折返点处的在折返点处的瞬时瞬时速度速度为为0,即即 不同背景的两个现象，从数学的观点看，有不同背景的两个现象，从数学的观点看，有一个一个共同点共同点:那么，在什么那么，在什么条件条件下下此结论一定成立此结论一定成立?结论：结论：2、罗尔中值定理、罗尔中值定理满足满足：(1)在闭区间在闭区间 a,b 上连续上连续；(2)在开区间在开区间(a,b)内可导内可导；(3)f(a)=f(b)，使得使得在在(a,b)内至少存在一点内至少存在一点定理定理1.1（罗尔中值定理）（罗尔中值定理）若若证明分析：观察此图，观察此图，曲线曲线AB（上有哪些点的上有哪些点的切线切线可能可能与与x轴平行？轴平行？（AB易看出，易看出，上有两点：上有两点：最高点最高点C从函数的观点看，就是从函数的观点看，就是和最底点和最底点D.这个结论是否具有一般性？这个结论是否具有一般性？费马费马（Fermat）引理引理则则证证且在且在（或（或)的某邻域的某邻域内有内有如果函数如果函数在点在点处可导，处可导，以以为例证之为例证之.有有则则导数为零的点称为导数为零的点称为驻点驻点极限的极限的保号性保号性证证由于由于 f(x)在闭区间在闭区间 a,b 连续，连续，故在故在 a,b 上取得最大值上取得最大值 M 和最小值和最小值 m.(1)若若 M=m，因此因此则在闭区间则在闭区间 a,b 上上 (2)若若 M m,则至少存在一点则至少存在一点不妨设不妨设 使得使得则由则由费马引理费马引理得得 时，同理可证时，同理可证.1 定理条件不全具备，定理条件不全具备，结论结论不一定不一定成立成立.注注2 定理条件只是充分的，并非必要条件定理条件只是充分的，并非必要条件.条件不满足，结论条件不满足，结论不成立不成立的的例子：例子：xyO1xyO1xyO1xyO-1134罗尔定理未指明罗尔定理未指明有且仅有三个实根，并指出它们有且仅有三个实根，并指出它们证证例例1在在 1,1 上连续上连续,可导可导，且且 f(1)=f(1)，显然显然在在(1,1)内内因此由罗尔定理知，因此由罗尔定理知，至少存在一点至少存在一点使得使得方程方程所在的区间所在的区间.同理，同理，至少存在一点至少存在一点使得使得证明证明由于由于是三次函数，是三次函数，方程方程是是的三次代数方程，的三次代数方程，所以它最多有三个实根所以它最多有三个实根.综上，综上，方程方程恰有三个实根，恰有三个实根，分别在分别在内内.区间区间同理，同理，至少存在一点至少存在一点使得使得至少存在一点至少存在一点使得使得的实数，证明方程：的实数，证明方程：分析分析?例例2 由题设条件由题设条件无法无法确定，确定，转换思路：转换思路：？若若f(x)在在0,1 上满足罗尔定理的条件上满足罗尔定理的条件,则则使得使得故对故对F(x)不能用零点定理不能用零点定理.由罗尔定理，可知由罗尔定理，可知且且使得使得证3、拉格朗日中值定理、拉格朗日中值定理定理定理1.2（拉格朗日中值定理）（拉格朗日中值定理）(1)在闭区间在闭区间 a,b 上连续；上连续；(2)在开区间在开区间(a,b)内可导；内可导；使得使得在在(a,b)内至少存在一点内至少存在一点满足：满足：若若注注A(a,f(a)，B(b,f(b)1与罗尔定理相比，去掉了条件与罗尔定理相比，去掉了条件(3):2结论结论(1.2)亦可写成：亦可写成：3结论结论(1.2)的的几何意义几何意义证明分析证明分析弦弦AB方程为方程为:曲线曲线 y=f(x)与弦与弦AB在两个在两个端点端点 A,B 处重合处重合.故在故在 A,B 两端点处，它们的纵坐两端点处，它们的纵坐标之差为零标之差为零(相等相等).作作辅助函数辅助函数:作辅助函数作辅助函数证证 =0注注 1特例特例23Oxab(1.2)的的其他形式：其他形式：RL推论推论注注证明等式证明等式由推论可知由推论可知令令 x=0,得得证证 设设故故例例3则则 f(x)在在-1,1 上连续，在上连续，在(-1,1)内可导，且内可导，且证明不等式证明不等式因为因为故故即即证证 设设中值定理条件中值定理条件,因此应有因此应有例例4例例5分析分析拉氏中值定理的条件拉氏中值定理的条件,因此应有因此应有证证即即定理定理1.3（柯西中值定理）（柯西中值定理）至少存在一点至少存在一点使得使得(1)在闭区间在闭区间 a,b 上连续；上连续；(2)在开区间在开区间(a,b)内可导；内可导；(3)在开区间在开区间(a,b)内内 4、柯西中值定理、柯西中值定理及及满足满足:若若几何解释几何解释:（在曲线弧在曲线弧 AB上至少有一上至少有一点点C(F(x x),f(x x),在该点在该点处的切线平行于弦处的切线平行于弦AB（证证分析分析作辅助函数作辅助函数:命题得证命题得证.注注特例特例特例特例RLC证证分析分析 结论可变形为结论可变形为:例例6内容小结内容小结1.微分中值定理的条件、结论及关系微分中值定理的条件、结论及关系罗尔定理罗尔定理拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理柯西中值定理柯西中值定理费马引理费马引理2.微分中值定理的应用微分中值定理的应用(1)证明恒等式证明恒等式(2)证明不等式证明不等式(4)证明有关中值问题的结论证明有关中值问题的结论(3)确定方程根的存在性确定方程根的存在性关键关键:利用逆向思维构造辅助函数利用逆向思维构造辅助函数例例1-1证明方程证明方程有且仅有一个小于有且仅有一个小于1的正实根的正实根.证证(1)存在性存在性设设且且则则在在 0,1 连续连续,由由零点定理零点定理知知,存在存在使得使得即方程有小于即方程有小于 1 的正根的正根 .假设：假设：另有另有(2)唯一性唯一性但当但当矛盾矛盾,故假设不真故假设不真!时，时，综上所述，方程综上所述，方程有且仅有一个小于有且仅有一个小于1的正实根的正实根.例例1-2证证证证例例2-1且且作辅助函数作辅助函数易知易知由连续函数介值定理知，由连续函数介值定理知，使得使得又又证证例例2-2作辅助函数作辅助函数即即亦即亦即例例4-1证证例例4-2证证分析分析例例5-1证证证证例例5-2使得使得上，上，分析分析例例6-1使得使得制造改变量的商制造改变量的商猜猜 右端右端=结论结论证证使得使得例例6-2证证费马费马(1601 1665)法国数学家法国数学家,他是一位律师他是一位律师,数学数学只是他的业余爱好只是他的业余爱好.他兴趣广泛他兴趣广泛,博博览群书并善于思考览群书并善于思考,在数学上有许多在数学上有许多重大贡献重大贡献.他特别爱好数论他特别爱好数论,他提出他提出的费马大定理的费马大定理:至今尚未得到普遍的证明至今尚未得到普遍的证明.他还是微积分学的先驱他还是微积分学的先驱,费马引理是后人从他研究最大值与最小值的方法中费马引理是后人从他研究最大值与最小值的方法中 提炼出来的提炼出来的.拉格朗日拉格朗日(1736 1813)法国数学家法国数学家.他在方程论他在方程论,解析函数论解析函数论,及数论方面都作出了重要的贡献及数论方面都作出了重要的贡献,近百近百余年来余年来,数学中的许多成就都直接或间数学中的许多成就都直接或间接地溯源于他的工作接地溯源于他的工作,他是对分析数学他是对分析数学 产生全面影响的数学家之一产生全面影响的数学家之一.柯西柯西(1789 1857)法国数学家法国数学家,他对数学的贡献主要集中他对数学的贡献主要集中在微积分学在微积分学,柯西柯西 全集全集共有共有 27 卷卷.其中最重要的是为巴黎综合学校其中最重要的是为巴黎综合学校编写的编写的分析教程分析教程,无穷小分析概论无穷小分析概论,微积分微积分在几何上的应用在几何上的应用 等等,有思想有创建有思想有创建,响广泛而深远响广泛而深远.对数学的影对数学的影他是经典分析的奠人之一他是经典分析的奠人之一,他为微他为微积分所奠定的基础推动了分析的发展积分所奠定的基础推动了分析的发展.复变函数和微分方程方面复变函数和微分方程方面.一生发表论文一生发表论文800余篇余篇,著书著书 7 本本,