弹性力学-04课件

第四章第四章 平面平面问题问题的极坐的极坐标标解答解答要点：要点：（1）极坐）极坐标标中平面中平面问题问题的基本方程：的基本方程：平衡微分方程、几何方程、物理方程、平衡微分方程、几何方程、物理方程、相容方程、相容方程、边边界条件。界条件。（2）极坐）极坐标标中平面中平面问题问题的求解方法及的求解方法及应应用用应应用：用：圆盘圆盘、圆环圆环、厚壁、厚壁圆圆筒、楔形体、半无限筒、楔形体、半无限平面体等的平面体等的应应力与力与变变形分析。形分析。第四章 平面问题的极坐标解答要点：（1）极坐标中平面问题的4-1 4-1 极坐极坐标标中的平衡微分方程中的平衡微分方程4-2 4-2 极坐极坐标标中的几何方程与物理方程中的几何方程与物理方程4-3 4-3 极坐极坐标标中的中的应应力函数与相容方程力函数与相容方程4-4 4-4 应应力分量的坐力分量的坐标变换标变换式式4-5 4-5 轴对轴对称称应应力与相力与相应应的位移的位移4-6 4-6 圆环圆环或或圆圆筒受均布筒受均布压压力力 压压力隧洞力隧洞4-7 4-7 压压力隧洞力隧洞4-8 4-8 圆圆孔的孔口孔的孔口应应力集中力集中4-9 4-9 半平面体在半平面体在边边界上受法向集中力界上受法向集中力4-10 4-10 半平面体在半平面体在边边界上受法向分布力界上受法向分布力 主主主主 要要要要 内内内内 容容容容 4-1 极坐标中的平衡微分方程4-2 极坐标中的4-1 4-1 极坐极坐标标中的平衡微分方程中的平衡微分方程1.极坐极坐标标中的微元体中的微元体xyOPABC体力：体力：应应力：力：PA面面PB面面BC面面AC面面应应力正向力正向规规定：定：正正应应力力 拉拉为为正，正，压为负压为负；剪剪应应力力 r、的的正面正面上，与坐上，与坐标标方向方向一致一致时时为为正；正；r、的的负负面面上，与坐上，与坐标标方向方向相反相反时为时为正。正。4-1 极坐标中的平衡微分方程1.极坐标中的微元体xxyOPABC2.平衡微分方程平衡微分方程考考虑虑微元体平衡（取厚度微元体平衡（取厚度为为1）：）：将上式化开：将上式化开：（高（高阶阶小量，舍去）小量，舍去）xyOPABC2.平衡微分方程考虑微元体平衡（取厚度为1）xyOPABC两两边边同除以同除以 ：两两边边同除以同除以 ，并略去高，并略去高阶阶小量：小量：xyOPABC两边同除以 ：两边同xyOPABCxyOPABC 剪剪应应力互等定理力互等定理两两边边同除以同除以当当 dr,d0 时时，有，有 剪应力互等定理两边同除以当 dr,d0 时于是，极坐于是，极坐标标下的平衡方程下的平衡方程为为：（41）方程（方程（41）中包含三个未知量，而只有二个方程，是一次超静）中包含三个未知量，而只有二个方程，是一次超静定定问题问题，需考，需考虑变虑变形形协调协调条件才能求解。条件才能求解。xyOPABC于是，极坐标下的平衡方程为：（41）方程（41）中包含三4-2 4-2 极坐极坐标标中的几何方程与物理方程中的几何方程与物理方程1.几何方程几何方程xyOPAB(1)只有径向位移，无只有径向位移，无环环向向位移位移。径向径向线线段段PA的相的相对对伸伸长长：（a）径向径向线线段段PA的的转转角：角：（b）线线段段PB的相的相对对伸伸长长：（c）环环向向线线段段PB的的转转角：角：（d）4-2 极坐标中的几何方程与物理方程1.几何方程xyOPxyOPBA径向径向线线段段PA的相的相对对伸伸长长：（a）径向径向线线段段PA的的转转角：角：（b）环环向向线线段段PB的相的相对对伸伸长长：（c）环环向向线线段段PB的的转转角：角：（d）剪剪应变为应变为：（e）xyOPBA径向线段PA的相对伸长：（a）径向线段PA的转角yxOPBA(2)只有只有环环向位移，无径向位移。向位移，无径向位移。径向径向线线段段PA的相的相对对伸伸长长：（f）径向径向线线段段PA的的转转角：角：（g）环环向向线线段段PB的相的相对对伸伸长长：环环向向线线段段PB的的转转角：角：（h）（i）剪剪应变为应变为：（j）yxOPBA(2)只有环向位移，无径向位移。径向线段PA径向径向线线段段PA的相的相对对伸伸长长：（f）径向径向线线段段PA的的转转角：角：（g）环环向向线线段段PB的相的相对对伸伸长长：（h）环环向向线线段段PB的的转转角：角：（i）剪剪应变为应变为：（j）yxOPBA径向线段PA的相对伸长：（f）径向线段PA的转角：（g）环向(3)总应变总应变整理得：整理得：（42）极坐极坐极坐极坐标标标标下的几何方程下的几何方程下的几何方程下的几何方程(3)总应变整理得：（42）极坐标下的几何方程2.物理方程物理方程平面平面应应力情形：力情形：平面平面应变应变情形：情形：（43）（44）2.物理方程平面应力情形：平面应变情形：（43）（44弹弹性力学平面性力学平面问题问题极坐极坐标标求解的基本方程：求解的基本方程：平衡微分方程：平衡微分方程：（41）几何方程：几何方程：（42）物理方程：物理方程：（43）(平面平面应应力情形力情形)弹性力学平面问题极坐标求解的基本方程：平衡微分方程：（41边边界条件：界条件：位移位移边边界条件：界条件：应应力力边边界条件：界条件：为边为边界上已知位移，界上已知位移，为边为边界上已知的面力分量。界上已知的面力分量。（位移（位移单值单值条件）条件）rrr边界条件：位移边界条件：应力边界条件：为边界上已知位移，为边rlrrlra取半径取半径为为 a 的半的半圆圆分析，由其平衡得：分析，由其平衡得：a取半径为 a 的半圆分析，由其平衡得：弹弹性力学平面性力学平面问题问题极坐极坐标标求解的基本方程：求解的基本方程：平衡微分方程：平衡微分方程：（41）几何方程：几何方程：（42）物理方程：物理方程：（43）(平面平面应应力情形力情形)边边界条件：界条件：位移位移边边界条件：界条件：应应力力边边界条件：界条件：弹性力学平面问题极坐标求解的基本方程：平衡微分方程：（41（1）平衡方程：）平衡方程：（2-2）（2）几何方程）几何方程：（2-9）（3）物理方程：）物理方程：（2-15）（4）边边界条件：界条件：（1）（2）（位移（位移边边界条件）界条件）（应应力力边边界条件）界条件）弹弹性力学平面性力学平面问题问题直角坐直角坐标标下的基本方程下的基本方程（1）平衡方程：（2-2）（2）几何方程：（2-9）直角坐直角坐标标下按下按应应力求解平面力求解平面问题问题的基本步的基本步骤骤（常体力情形）（常体力情形）（1）(2-27)（2）然后将然后将 代入式（代入式（2-26）求出）求出应应力分量：力分量：先由方程（先由方程（2-27）求出）求出应应力函数：力函数：(2-26)（3）再再让让 满满足足边边界条件界条件和和位移位移单值单值条件条件（多（多连连体体问题问题）。）。(2-28)（无体力情形）（无体力情形）应应力函数的求解方法：力函数的求解方法：（1）逆解法；）逆解法；（2）半逆解法。）半逆解法。直角坐标下按应力求解平面问题的基本步骤（常体力情形）（1）(4-3 4-3 极坐极坐标标中的中的应应力函数与相容方程力函数与相容方程（1）极坐）极坐标标下下应应力分量力分量 与与应应力函数力函数 的关系；的关系；（2）极坐）极坐标标下下应应力函数力函数 表示的相容方程的形式。表示的相容方程的形式。本本节节要点：要点：1.直角坐直角坐标标下下应应力分量与力分量与变变形形协调协调方程（相容方程）方程（相容方程）应应力分量的求取：力分量的求取：由平衡微分方程（无体力情形）：由平衡微分方程（无体力情形）：(2-28)4-3 极坐标中的应力函数与相容方程（1）极坐标下应力分量应应力相容方程的求取：力相容方程的求取：由由应变协调应变协调方程（相容方程）：方程（相容方程）：将物理方程将物理方程、平衡微分方程代入，化、平衡微分方程代入，化简简得：得：（2-22）代入代入应应力分量式（力分量式（2-28），得：，得：应应力函数表示的相容方程力函数表示的相容方程(2-27)（2-25）物理方程：物理方程：平衡微分方程：平衡微分方程：应应力分量式：力分量式：直角坐直角坐标标下下Laplace 算子算子应力相容方程的求取：由应变协调方程（相容方程）：将物理方程 xyOrPxy（1）极坐）极坐标标与直角坐与直角坐标间标间的关系：的关系：（2）应应力分量的坐力分量的坐标变换标变换：2.极坐极坐标标下的下的应应力分量与力分量与变变形形协调协调方程（方程（相容方程）相容方程）xyOrPxy（1）极坐标与直角坐标间的关系：（2）应力分量(a)(b)(a)(b)(c)xyOrPxy由直角坐由直角坐标标下下应应力函数与力函数与应应力的关系（力的关系（226）：）：(c)xyOrPxy由直角坐标下应力函数与应力的关系（22弹性力学-04课件（45）可以可以证证明：式（明：式（45）满满足平足平衡方程（衡方程（41）。）。说说明：明：（3）相容方程的坐）相容方程的坐标变换标变换：极坐极坐标标下下应应力分量力分量 与与应应力函数力函数 的关系：的关系：式（式（45）仅给仅给出出体力体力为为零零时时的的应应力分量表达式！力分量表达式！作作为为作作业业！直角坐直角坐标标下下Laplace 算子算子在极坐在极坐标标下下Laplace 算子的形式？算子的形式？（45）可以证明：式（45）满足平衡方程（41）。说明(a)(b)将式将式(a)与与(b)相加，得相加，得（3）相容方程的坐）相容方程的坐标变换标变换：(a)(b)将式(a)与(b)相加，得（3）相容方程的坐标变得到极坐得到极坐标标下的下的 Laplace 微分算子：微分算子：极坐极坐标标下的相容方程下的相容方程为为：（46）方程（方程（46）为为常体力常体力情形的相容方程。情形的相容方程。注意：注意：注意：注意：极坐极坐极坐极坐标标标标下下下下应应应应力函数表示的相容方程力函数表示的相容方程力函数表示的相容方程力函数表示的相容方程得到极坐标下的 Laplace 微分算子：极坐标下的相容方弹弹性力学平面性力学平面问题问题的极坐的极坐标标求解求解归结为归结为:小小结结：（1）由由问题问题的条件求出的条件求出满满足式（足式（46）的）的应应力函数力函数（46）（2）由式（由式（45）求出相）求出相应应的的应应力分量：力分量：（45）（3）将上述将上述应应力分量力分量满满足足问题问题的的边边界条件：界条件：位移位移边边界条件：界条件：应应力力边边界条件：界条件：为边为边界上已知位移，界上已知位移，为边为边界上已知的面力分量。界上已知的面力分量。（位移（位移单值单值条件）条件）弹性力学平面问题的极坐标求解归结为:小结：（1）由问题的条件4-4 4-4 应应力分量的坐力分量的坐标变换标变换式式(1)用用极坐极坐标标下的下的应应力分量表示力分量表示直角坐直角坐标标下的下的应应力分量力分量（48）rOyx4-4 应力分量的坐标变换式(1)用极坐标下的应力分(2)用用直角坐直角坐标标下的下的应应力分量表示力分量表示极坐极坐标标下下的的应应力分量力分量（49）rOyx(2)用直角坐标下的应力分量表示极坐标下的应力分量（4轴对轴对称称问题问题：qO(45)（46）由式（由式（45）和（）和（46）得）得应应力分量和相容方程力分量和相容方程为为：（410）应应力分量：力分量：相容方程：相容方程：4阶变阶变系数的常微分方程系数的常微分方程4-5 4-5 轴对轴对称称应应力与相力与相应应的位移的位移轴对称问题：qO(45)（46）由式（45）和（46（411）轴对轴对称称问题问题相容方程的通解，相容方程的通解，A、B、C、D 为为待定常数。待定常数。1、应应力分量力分量:（410）将方程（将方程（4-11）代入）代入应应力分量表达式力分量表达式（412）轴对轴对称平面称平面问题问题的的应应力分量表达式力分量表达式对对上式上式积积分四次分四次,得通解得通解:（411）轴对称问题相容方程的通解，A、B、C、D2.位移分量位移分量对对于平面于平面应应力力问题问题，有物理方程，有物理方程（a）积积分式（分式（a）中第一式，有）中第一式，有2.位移分量对于平面应力问题，有物理方程（a）积分式（b）是任意的待定函数是任意的待定函数将式（将式（b）代入式（）代入式（a）中第二式，得）中第二式，得将上式将上式积积分，得分，得:（c）是是 r 任意函数任意函数将式（将式（b）代入式（）代入式（a）中第三式，得）中第三式，得或写成：或写成：要使要使该该式成立，两式成立，两边边须为须为同一常数。同一常数。（b）是任意的待定函数将式（d）（e）式中式中F 为为常数。常数。对对其其积积分有：分有：（f）其中其中 H 为为常数。常数。对对式（式（e）两）两边边求求导导其解其解为为：（g）（h）将式（将式（f）（h）代入式（）代入式（b）（c），得），得（b）（c）（4-13）（d）（e）式中F 为常数。对其积分有：（f）其中 H 为平面平面轴对轴对称称问题问题小小结结：（411）（1）应应力函数力函数（2）应应力分量力分量（412）（3）位移分量位移分量（4-13）式中：式中：A、B、C、H、I、K 由由应应力和位移力和位移边边界条件确定。界条件确定。平面轴对称问题小结：（411）（1）应力函数（2）应力分量（3）位移分量位移分量（4-13）式中：式中：A、B、C、H、I、K 由由应应力和位移力和位移边边界条件确定。界条件确定。由式（由式（4-13）可以看出：）可以看出：应应力力轴对轴对称并不表示位移也是称并不表示位移也是轴对轴对称的。称的。但在但在轴对轴对称称应应力力情况下，若物体的几何形状、受力、位移情况下，若物体的几何形状、受力、位移约约束都是束都是轴轴对对称的，称的，则则位移也位移也应该应该是是轴对轴对称的。称的。这这 时时，物体内各点都不会，物体内各点都不会有有环环向位移，即不向位移，即不论论 r 和和 取何取何值值，都，都应应有：有：。对这对这种情形，有种情形，有式（式（4-13）变为变为：4-13（a）（3）位移分量（4-13）式中：A、B、C、H、I、K 由应4-6 4-6 圆环圆环或或圆圆筒受均布筒受均布压压力力1.圆环圆环或或圆圆筒受均布筒受均布压压力力已知：已知：求：求：应应力分布。力分布。确定确定应应力分量的表达式：力分量的表达式：（412）边边界条件：界条件：（a）将式（将式（4-12）代入，有：）代入，有：（b）4-6 圆环或圆筒受均布压力1.圆环或圆筒受均布压（b）式中有三个未知常数，二个方程不能确定。式中有三个未知常数，二个方程不能确定。对对于于多多连连体体问题问题，位移，位移须满须满足足位移位移单值单值条件条件。位移多位移多值项值项要使要使单值单值，须须有：有：B=0 ，由式（，由式（b）得）得将其代回将其代回应应力分量式（力分量式（4-12），有：），有：（b）式中有三个未知常数，二个方程不能确定。对于多连体问题，（4-14）（1）若：）若：(二向等二向等压压情况情况)（2）若：）若：（压应压应力）力）（拉（拉应应力）力）（4-14）（1）若：(二向等压情况)（2）若：（压应力）（3）若：）若：（压应压应力）力）（压应压应力）力）（4）若：）若：具有具有圆圆形孔道的无限大形孔道的无限大弹弹性体。性体。边缘处边缘处的的应应力：力：（3）若：（压应力）（压应力）（4）若：具有圆形孔道问题问题：厚壁厚壁圆圆筒埋在无限大筒埋在无限大弹弹性体内，受内性体内，受内压压 q 作作用，求用，求圆圆筒的筒的应应力。力。1.分析：分析：与以前相比与以前相比较较，相当于两个，相当于两个轴对轴对称称问题问题：(a)受受内内压压 q、外外压压 p作用的厚壁作用的厚壁圆圆筒；筒；(b)仅仅受受内内压压 p 作用的无限大作用的无限大弹弹性体。性体。确定确定压压力力 p 的两个条件：的两个条件：径向径向变变形形连续连续：径向径向应应力力连续连续：2.求解求解4-7 4-7 压压力隧洞力隧洞问题：厚壁圆筒埋在无限大弹性体内，受内压 q 作用，求圆筒的2.求解求解(1)圆圆筒的筒的应应力与力与边边界条件界条件应应力：力：（a）边边界条件：界条件：(2)无限大无限大弹弹性体的性体的应应力与力与边边界条件界条件应应力：力：（b）边边界条件：界条件：将式（将式（a）、（）、（b）代入相）代入相应应的的边边界界条件，得到如下方程：条件，得到如下方程：2.求解(1)圆筒的应力与边界条件应力：（a）边界条4个方程不能解个方程不能解5个未知量，个未知量，需由位移需由位移连续连续条件确定。条件确定。上式也可整理上式也可整理为为：(c)(d)4个方程不能解5个未知量，需由位移连续条件确定。上式也可整理利用：利用：(e)要使要使对对任意的任意的 成立，成立，须须有有(f)对对式（式（f）整理有，有）整理有，有0利用：(e)要使对任意的 成立，须有(f)对式（(g)式（式（g）中：）中：将式（将式（g）与式（）与式（c）（）（d）联联立求解立求解(c)(d)（4-16）当当 n 1 时时，应应力分布力分布如如图图所示。所示。(g)式（g）中：将式（g）与式（c）（d）联立求解(c)(讨论讨论：（1）压压力隧洞力隧洞问题为问题为最最简单简单的接触的接触问题问题（面接触）。（面接触）。完全接触：完全接触：接触面接触面间间既不互相脱离，也不既不互相脱离，也不互相滑互相滑动动。接触条件。接触条件为为应应力：力：位移：位移：（2）非完全接触（光滑接触）非完全接触（光滑接触）应应力：力：位移：位移：接触条件：接触条件：讨论：（1）压力隧洞问题为最简单的接触问题（面接触）。完全接（4-16）当当 n 1 时时，应应力分布如力分布如图图所示。所示。压压力隧洞的力隧洞的应应力分布力分布（4-16）当 n a)，圆圆孔半孔半径径为为 a，在无限，在无限远处远处受有均匀拉受有均匀拉应应力力 q 作作用。用。求：孔求：孔边边附近的附近的应应力。力。4-8 圆孔的孔口应力集中1.孔边应力集中概念 （2）问题问题的求解的求解 问题问题分析分析坐坐标标系：系：就外就外边边界（直界（直线线），宜用直角坐），宜用直角坐标标；就内就内边边界（界（圆圆孔），宜用极坐孔），宜用极坐标标。A 取一半径取一半径为为 r=b(ba），在其上取），在其上取一点一点 A 的的应应力：力：OxybAArA原原问题转问题转化化为为：无限大无限大圆圆板中板中间间开有一开有一圆圆孔的新孔的新问题问题。b（2）问题的求解 问题分析坐标系：就外边界（直线），宜用直角新新问题问题的的边边界条件可表示界条件可表示为为：xyba内内边边界界外外边边界界（a）问题问题1（b）（c）baba问题问题2将外将外边边界条件（界条件（a）分解）分解为为两部分：两部分：新问题的边界条件可表示为：xyba内边界外边界（a）问题1（问题问题1ba 问题问题1的解：的解：内内边边界界外外边边界界（b）该问题为轴对该问题为轴对称称问题问题，其解，其解为为 当当 ba 时时，有，有（d）问题1ba 问题1的解：内边界外边界（b）该问题为轴对称问 问题问题2的解：的解：ba问题问题2（非（非轴对轴对称称问题问题）内内边边界界外外边边界界(c)由由边边界条件（界条件（c），可假），可假设设：为为 r 的某一函数的某一函数乘以乘以 ；为为r 的某一函数乘以的某一函数乘以 。又由极坐又由极坐标标下的下的应应力分量表达式：力分量表达式：可假可假设应设应力函数力函数为为：将其代入相容方程：将其代入相容方程：问题2的解：ba问题2（非轴对称问题）内边界外边界(c)与前面与前面类类似，似，令：令：有有 该该方程的特征方程：方程的特征方程：特征根特征根为为：方程的解方程的解为为：与前面类似，令：有 该方程的特征方程：特征根为：方程的解为ba问题问题2 相相应应的的应应力分量：力分量：对对上述上述应应力分量力分量应应用用边边界条件（界条件（c）,有有内内边边界界外外边边界界（e）ba问题2 相应的应力分量：对上述应力分量应用边界条件（c求解求解A、B、C、D，然后，然后令令 a/b=0，得，得ba问题问题2代入代入应应力分量式（力分量式（e）,有有（f）求解A、B、C、D，然后令 a/b=0，得ba问题2将将问题问题1和和问题问题2的解相加的解相加,得全解：得全解：（4-17）讨论讨论：（1）沿孔沿孔边边，r=a，环环向正向正应应力：力：（4-18）3q2qq0q906045300（2）沿沿 y 轴轴，=90，环环向正向正应应力：力：1.04q1.07q1.22q3q4a3a2aarAb 齐齐尔尔西（西（G.Kirsch）解）解将问题1和问题2的解相加,得全解：（4-17）讨论：（3）沿沿 x 轴轴，=0，环环向正向正应应力：力：（4）若矩形薄板（或若矩形薄板（或长长柱）受双向拉柱）受双向拉应应力力 q1、q2 作用作用xyq1q2q2q1xyq1q1xyq2q2（3）沿 x 轴，=0，环向正应力：（4）若矩形薄板（4）若矩形薄板（或若矩形薄板（或长长柱）受双向拉柱）受双向拉应应力力 q1、q2 作用作用xyq1q2q2q1xyq1q1xyq2q2叠加后的叠加后的应应力：力：（4-19）（5）任意形状薄板（或任意形状薄板（或长长柱）受面力柱）受面力 作用，在距作用，在距边边界界较远处较远处有一小孔。有一小孔。只要知道无孔的只要知道无孔的应应力，就可力，就可计计算孔算孔边边的的应应力，如：力，如：（4）若矩形薄板（或长柱）受双向拉应力 q1、q2 作用（5）任意形状薄板（或任意形状薄板（或长长柱）受面力柱）受面力 作用，在距作用，在距边边界界较远处较远处有一小孔。有一小孔。只要知道无孔的只要知道无孔的应应力，就可力，就可计计算孔算孔边边的的应应力，如：力，如：45（5）任意形状薄板（或长柱）受面力 作用，在距边界较远处有一圆圆孔的孔孔的孔边应边应力集中力集中问题问题求解思路小求解思路小结结:原原问题问题的的转换转换：问题问题1baba问题问题2轴对轴对称称问题问题非非轴对轴对称称问题问题圆孔的孔边应力集中问题求解思路小结:原问题的转换：问题1ba4-9 4-9 楔形体的楔楔形体的楔顶顶与楔面受力与楔面受力xyOMP1.楔楔顶顶受有集中力受有集中力P作用作用 楔形体楔形体顶顶角角为为，下端，下端为为无限无限长长（单单位厚度），位厚度），顶顶端受有集中力端受有集中力 P，与中心，与中心线线的的夹夹角角为为，求：，求：（1）应应力函数的确定力函数的确定因次分析法：因次分析法：由由应应力函数与力函数与应应力分量力分量间间的微分关系，的微分关系，可推断：可推断：（a）将其代入相容方程，以确定函数：将其代入相容方程，以确定函数：4-9 楔形体的楔顶与楔面受力xyOMP1.楔顶受有集得：得：xyOP 4阶阶常系数常系数齐齐次的常微分方程次的常微分方程其通解其通解为为：其中其中A，B，C，D为积为积分常数。分常数。将其代入前面的将其代入前面的应应力函数表达式：力函数表达式：xy（4-20）（对应对应于无于无应应力状力状态态）得：xyOP 4阶常系数齐次的常微分方程其通解为：其中A（2）应应力分量的确定力分量的确定xyOP边边界条件：界条件：（1）自然自然满满足足（2）楔楔顶顶的的边边界条件：界条件：ab任取一任取一圆圆弧弧 ，其上的，其上的应应力力应应与楔与楔顶顶的力的力 P 平衡。平衡。（b）将式（将式（b）代入，有：）代入，有：（2）应力分量的确定xyOP边界条件：（1）自然满足（xyOPab积积分得：分得：可解得：可解得：代入式（代入式（b）得：）得：（4-21）密切密切尔尔（J.H.Michell）解答）解答xyOPab积分得：可解得：代入式（b）得：（4-21）两种特殊情况：两种特殊情况：PxyOab（1）xyOab（2）两种情况下的两种情况下的应应力分布：力分布：应应力力对对称分布称分布应应力反力反对对称分布称分布P两种特殊情况：PxyOab（1）xyOab（2）两种情况下的（3）PxyO无限大半平面体在无限大半平面体在边边界界法法线线方向受集中力作用方向受集中力作用xyOM2.楔楔顶顶受有集中力偶受有集中力偶 M 作用作用（1）应应力函数的确定力函数的确定由由应应力函数与力函数与应应力分量力分量间间的微分关系，的微分关系，可推断：可推断：将其代入相容方程：将其代入相容方程：（c）（3）PxyO无限大半平面体在边界法线方向受集中力作用xyOxyOM（4-22）（2）应应力分量的确定力分量的确定考考虑虑到：到：反反对对称称载载荷下，荷下，对对对对称称结结构有：构有：为为奇函数；奇函数；而而 则为则为偶函数。偶函数。由由应应力函数力函数 与与 关系可知，关系可知，应为应为奇函数。即奇函数。即将其代入将其代入应应力分量表达式，得到力分量表达式，得到xyOM（4-22）（2）应力分量的确定考虑到：反对称载荷xyOM（d）边边界条件：界条件：（1）自然自然满满足足（e）xyOM（d）边界条件：（1）自然满足（e）xyOMab（2）代入代入应应力分量表达式（力分量表达式（d）,得：得：（4-23）英格立斯（英格立斯（C.E.Inglis）解答）解答说说明：明：另外两个另外两个边边界条件，一定自界条件，一定自动满动满足。足。楔楔顶顶的的边边界条件：界条件：xyOMab（2）代入应力分量表达式（d）,得：（4-特殊情况：特殊情况：xyOM说说说说明：明：明：明：前面有关楔形体的分析前面有关楔形体的分析结结果，在楔果，在楔顶处应顶处应力均力均趋趋于无于无穷穷，这这是由于集中力是由于集中力 P 和集中力偶和集中力偶 M 的原因，事的原因，事实实上集中上集中力和集中力偶是不存在的，而是分布在力和集中力偶是不存在的，而是分布在一小区域上的面力；另一方面，分布在一小区域上的面力；另一方面，分布在小区域的面力超小区域的面力超过过材料的比例极限，材料的比例极限，则则弹弹性力学的基本方程不再适用。性力学的基本方程不再适用。前面有关楔形体的分析前面有关楔形体的分析结结果的适用果的适用性：离楔性：离楔顶顶稍稍远远的区域。的区域。特殊情况：xyOM说明：前面有关楔形体的分析3.楔形体一楔形体一侧侧面上受有均布面力面上受有均布面力 作用作用（1）应应力函数的确定力函数的确定由由应应力函数与力函数与应应力分量力分量间间的微分关系，的微分关系，可推断：可推断：将其代入相容方程：将其代入相容方程：（f）得到：得到：3.楔形体一侧面上受有均布面力 作用（1）应力函数的确定由该该方程的解方程的解为为：（4-24）（2）应应力分量的确定力分量的确定（g）边边界条件：界条件：由此可确定由此可确定4个待定常数。个待定常数。该方程的解为：（4-24）（2）应力分量的确定（g）边界可求得：可求得：将常数代入将常数代入应应力分量表达式，有力分量表达式，有（4-25）可求得：将常数代入应力分量表达式，有（4-25）特殊情况：特殊情况：xyO若用直角坐若用直角坐标标表示，利用坐表示，利用坐标变换标变换式：式：特殊情况：xyO若用直角坐标表示，利用坐标变换式：xyOxyOaxyOxyOaxyOaaxyOaxyOaxyOaaxyOaxyOa楔形体（尖劈）楔形体（尖劈）问题问题应应力函数力函数的构造小的构造小结结：xyOPxyOM楔形体（尖劈）问题应力函数的构造小结：xyOPxyOM弹性力学-04课件4-10 4-10 半平面体在半平面体在边边界上受法向集中力界上受法向集中力PxyO1.应应力分量力分量由楔形体受集中力的情形，可以得到由楔形体受集中力的情形，可以得到（4-26）极坐极坐标标表示的表示的应应力分量力分量利用极坐利用极坐标标与直角坐与直角坐标标的的应应力力转换转换式（式（4-7），可求得），可求得（4-27）或将其改或将其改为为直角坐直角坐标标表示，有表示，有4-10 半平面体在边界上受法向集中力PxyO1.应力分PxyO（4-28）2.位移分量位移分量 直角坐直角坐标标表示的表示的应应力分量力分量假定假定为为平面平面应应力情形。力情形。其极坐其极坐标标形式的物理方程形式的物理方程为为将式（将式（4-26）代入）代入（4-29）PxyO（4-28）2.位移分量 直角坐标表示的由几何方程由几何方程(a)(b)(c)积积分式（分式（a）得，）得，(d)将式（将式（d）代入式（）代入式（b），有），有积积分上式，得分上式，得(e)由几何方程(a)(b)(c)积分式（a）得，(d)将式（d）将式（将式（d）(e)代入式（代入式（c）得，得，(d)(e)(c)要使上式成立，要使上式成立，须须有：有：将式（d）(e)代入式（c）得，(d)(e)(c)要使不妨令不妨令=0，可解得：，可解得：代入位移分量式（代入位移分量式（d）（）（e），有），有(d)PxyO式中，常数式中，常数H，I，K 由由边边界条件确定。界条件确定。(f)不妨令=0，可解得：代入位移分量式（d）（e），有(d)PPxyO常数常数 I 须须由由铅铅垂方向（垂方向（x方向）位移条件确定。方向）位移条件确定。(f)由式（由式（f）得：）得：(g)由由问题问题的的对对称性，有：称性，有：PxyO常数 I 须由铅垂方向（x方向）位移条件确定。(3.边边界沉陷界沉陷计计算算PxyOrMM点的下沉量：点的下沉量：由于常数由于常数 I 无法确定，无法确定，所以只能求得的相所以只能求得的相对对沉陷量。沉陷量。为为此，在此，在边边界上取界上取一基准点一基准点B，如，如图图所示。所示。BsM点相点相对对于基准点于基准点B的沉陷的沉陷为为简简化后得：化后得：（4-30）符拉芒（符拉芒（A.Flamant）公式）公式对对平面平面应变应变情形：情形：3.边界沉陷计算PxyOrMM点的下沉量：由于4-11 4-11 半平面体在半平面体在边边界上受法向分布力界上受法向分布力PxyO1.应应力分量力分量dP 作用在作用在原点原点O，则则有有dP 作用在距原点作用在距原点 时时，将此式在将此式在 AB 区区间间上上积积分，得分，得4-11 半平面体在边界上受法向分布力PxyO1.应力（4-31）式中，需将分布力集度式中，需将分布力集度 q 表示成表示成 的函数，再的函数，再进进行行积积分。分。2.边边界点的相界点的相对对沉陷量沉陷量讨论讨论均匀分布的均匀分布的单单位力位力的情形。的情形。dP计计算分布力算分布力中点中点 I 相相对对于于 K 点点的沉陷量：的沉陷量：(a)（4-31）式中，需将分布力集度 q 表示成 的dP(a)对对 r 积积分，即可求得分，即可求得 I 点的相点的相对对沉陷量。沉陷量。当基准点当基准点K位于均布力之外位于均布力之外时时，沉陷量，沉陷量为为为简单为简单起起见见，假定基点，假定基点 K 取得很取得很远远，即院，即院 s 远远大于大于r，积积分分时时可可视视 s 为为常数，常数，积积分分结结果果为为：(4-32)其中常数其中常数 C、Fki 的的值为值为：(b)(c)dP(a)对 r 积分，即可求得 I 点的相对沉陷量。当基准平面平面问题问题极坐极坐标标求解方法小求解方法小结结一一.基本方程基本方程1.平衡方程平衡方程（41）2.几何方程几何方程（42）3.物理方程物理方程 平面平面应应力情形力情形(43)4.边边界条件界条件位移位移边边界条件：界条件：应应力力边边界条件：界条件：平面问题极坐标求解方法小结一.基本方程1.平衡方程（4二、二、按按应应力求解基本步力求解基本步骤骤(1)由由问题问题的条件求出的条件求出满满足式（足式（46）的）的应应力函数力函数（46）(2)由式（由式（45）求出相）求出相应应的的应应力分量：力分量：（45）(3)将上述将上述应应力分量力分量满满足足问题问题的的边边界条件：界条件：位移位移边边界条件：界条件：应应力力边边界条件：界条件：为边为边界上已知位移，界上已知位移，为边为边界上已知的面力分量。界上已知的面力分量。（位移（位移单值单值条件）条件）二、按应力求解基本步骤(1)由问题的条件求出满足式（46）三、平面三、平面轴对轴对称称问题问题的求解方法的求解方法逆解法逆解法（412）应应力函数：力函数：应应力分量：力分量：位移分量：位移分量：(4-13)三、平面轴对称问题的求解方法逆解法（412）应力函数：四、非四、非轴对轴对称称问题问题的求解方法的求解方法半逆解法半逆解法1.圆圆孔的孔孔的孔边应边应力集中力集中问题问题原原问题问题的的转换转换：问题问题1baba问题问题2轴对轴对称称问题问题非非轴对轴对称称问题问题四、非轴对称问题的求解方法半逆解法1.圆孔的孔边应力集2.楔形体楔形体问题问题 由由因次法因次法确定确定 应应力函数的分离力函数的分离变变量形式量形式（1）楔楔顶顶受集中力偶受集中力偶xyOPxyOM（2）楔楔顶顶受集中力受集中力（3）楔形体一楔形体一侧侧受分布力受分布力2.楔形体问题 由因次法确定 应力函数的分离变量形式（4.半平面半平面问题问题PxyOxyOMxyOxyOaaxyO4.半平面问题PxyOxyOMxyOxyOaaxyO五、叠加法的五、叠加法的应应用用五、叠加法的应用弹性力学-04课件（1）有一薄壁有一薄壁圆圆筒的平均半径筒的平均半径为为 R，壁，壁厚厚为为 t，两端受相等相反的扭矩，两端受相等相反的扭矩 M 作用。作用。现现在在圆圆筒上筒上发现发现半径半径为为 a 的的小小圆圆孔，如孔，如图图所示，所示，则则孔孔边边的最大的最大应应力如何？最大力如何？最大应应力力发发生在何生在何处处？（2）已知已知圆环圆环在在 r=a 的内的内边边界上被固定，界上被固定，在在 r=b 的的圆圆周上作用着均匀分布剪周上作用着均匀分布剪应应力，如力，如图图所示。所示。试试确定确定圆环圆环内的内的应应力力与位移。与位移。课课堂堂练习练习：（1）有一薄壁圆筒的平均半径为 R，壁厚为 t，两端受作作 业业习题习题：4-6，4 7，4 8，4 9作 业习题：4-6，4 7，4 8，4 9lrrrlrrrrrrrrraaa取半径取半径为为 a 的半的半圆圆分析，由其平衡得：分析，由其平衡得：a取半径为 a 的半圆分析，由其平衡得：作作 业业习题习题：4-1，4 2，4 3补补充充题题：列写下列平面列写下列平面问题问题的的应应力力边边界条件。界条件。作 业习题：4-1，4 2，4 3补充题：列写下列感谢亲观看此幻灯片，此课件部分内容来源于网络，感谢亲观看此幻灯片，此课件部分内容来源于网络，如有侵权请及时联系我们删除，谢谢配合！如有侵权请及时联系我们删除，谢谢配合！感谢亲观看此幻灯片，此课件部分内容来源于网络，109