偏导与积分复习课件

10000(,)(,)lim(,)(,)x yxyf x yf x y?xyxfyxxfx?),(),(lim00000),(00yxfx1.极限?证明极限不存在的方法：路径法?求极限的方法（坐标变换法）2.连续上页下页返回APfPP?)(lim0,0?,0?时，当00?PP有)(?APf3.偏导数第八章 多元函数微分法2连续性偏导数存在方向导数存在(以后讲)可微性偏导数连续5.微分4.偏导数计算：复合函数求偏导，隐函数求偏导，及其高阶导数?zdz?yyxfxyxfyxd),(d),(?22)()(yx?)(?o?3例1.讨论二重极限解法101lim1100?xyyx原式解法2 令,xky?解法3 令,sin,cos?ryrx?时,下列算法是否正确?上页下页返回4分析:解法101lim1100?xyyx解法2 令,xky?此法第一步排除了沿坐标轴趋于原点的情况,此法排除了沿曲线趋于原点的情况.?时例如xxy?2此时极限为 1.第二步未考虑分母变化的所有情况,1,111?xyxxy时例如上页下页返回5解法3 令,sin,cos?ryrx?此法忽略了?的任意性,?极限不存在!由以上分析可见,三种解法都不对,因为都不能保证自变量在定义域内以任意方式趋于原点.特别要注意,在某些情况下可以利用极坐标求极限,但要注意在定义域内 r,?的变化应该是任意的.同时还可看到,本题极限实际上不存在.上页下页返回6?0,00,)(),(2222232222yxyxyxyxyxf证:利用,222yxyx?2122)(41),(yxyxf?)0,0(0),(lim00fyxfyx?故f 在(0,0)连续;,0),0()0,(?yfxf又因0)0,0()0,0(?yxff所以知在点(0,0)处连续且偏导数存在,但不可微.例2.证明:上页下页返回7而?)0,0(f,00时，当?yx22)0,0()()(yxf?22222)()()()(yxyx?0所以 f 在点(0,0)不可微!232222)()()()(yxyx?0,yx?22222()()()()104xyxy?而当上页下页返回8222,.zzzyyx y?(有二阶连续偏导数),求例3 设f3(,),yzx f xyx?解3121()zxfxfyx?4212,xfxf?24211122122211()()zxfxfxfxfyxx?531112222,xfxfx f?上页下页返回922zzx yy x?221222()yxfyfx?4212()xfxfx?3412112242.xfx fx y fy f?3411112224()2yxfxfyfx fx?上页下页返回10:)()1(2xyfxz?:)()2(2xyxfz?fxyxyfxy?)1(22222fxy?232fy?2?fy2)(22xy?fxy?2)1(22xy?fxy22上页下页返回例41102dsin,x zxyxtexyett?有连续的一阶偏导数,及分别由下两式确定求又函数答案:?321)sin()(1ddfzxzxefxyfxux?(2001 考研）例5.设上页下页返回12设zzyxzyxF4),(222?则,2xFx?zxFFxz?两边对 x 求偏导)2(22zxxxz?322)2()2(zxz?2?zxzx?242?zFz上页下页返回例6.设,04222?zzyx.22xz?求13例7.设其中 f 与F分别具解；方程两边对 x 求导,得?xzdd)0(23?FFfx 23FFfx?1 32FFfx?12FFfxffx?221FffFxfFx?有一阶导数或偏导数,求fxfxzxyfx?dddd132ddddFxzFxyF?(99 考研)上页下页返回(用隐函数求导公式)14例8.设有二阶连续偏导数,且求.,2yxuxu?解:uzyxtxyx?xu?1f(3?f)?yxu2?12f(13?f)?32f?33f)cossin2(2yxtxtx?3fyxtx?1cos222)(yxx?)(yx?1cos?t?yx?1yx?1上页下页返回156.几何应用（1）空间曲线切线及法平面上页下页返回?)()()(:tztytx?0),(0),(:zyxGzyxF()()()()xxyxyxzxzx?切向量)(,)(,)(000tttT?)(,)(,100 xxT?（2）曲面的切平面与法线),(,),(,),(000000000zyxFzyxFzyxFnzyx?167.方向导数与梯度（1）定义上页下页返回（2）公式fl?),(),(lim0zyxfzzyyxxf?coscoscoszfyfxflf?（3）梯度),(,),(gradyxfyxffyx?178.极值（1）无条件极值第一步 利用必要条件在定义域内找驻点.即解方程组第二步 利用充分条件 判别驻点是否为极值点.（2）条件极值(1)简单问题用代入法,),(yxfz?0),(0),(yxfyxfyx如对二元函数(2)一般问题用拉格朗日乘数法上页下页返回18设拉格朗日函数如求二元函数下的极值,解方程组第二步 判别?比较驻点及边界点上函数值的大小?根据问题的实际意义确定最值第一步 找目标函数,确定定义域(及约束条件)9.最值在条件求驻点.),(yxfz?0),(?yx?),(),(yxyxfF?上页下页返回19例9.函数在点处的梯度解:则注意 x,y,z具有轮换对称性)2,2,1(92?)2,2,1(92?(92考研)目录上页下页返回结束20指向 B(3,2,2)方向的方向导数是.在点A(1,0,1)处沿点A例10.函数)ln(22zyxu?提示:则cos,cos,cos?)1ln(?x)11ln(2?y(96考研)2121?目录上页下页返回结束21()zxf yz?(,)()F x y zzxf yz?1,1xyzFFfFf?1,1.nff?r例11曲面在任一点处的切平面().,则故切平面的法向量为A.垂直于一定直线;B.平行于一定平面;C.与一坐标平面成定角;D.平行于一定直线.所以,应选D.解：设?1,11,1,10,ff?1,1,1l?r又故切平面平行于以为方向向量的直线.22例12.求曲线对应点处的切线方程和法平面方程.切线方程01x?法平面方程2(1)3(2)0 xyz?即解:由于12y?23z?对应的切向量为在(1,2,3)T?,故上页下页返回2380 xyz?时,x(0)=0,y(0)=1,z(0)=2.又23例13.求函数解:第一步 求驻点.得驻点:(1,0),(1,2),(3,0),(3,2).第二步 判别.在点(1,0)处为极小值;解方程组ABC的极值.求二阶偏导数,66),(?xyxfxx,0),(?yxfyx66),(?yyxfyy,06122?BAC,0?A目录上页下页返回结束24在点(?3,0)处不是极值;在点(?3,2)处为极大值.,66),(?xyxfxx,0),(?yxfyx66),(?yyxfyy,06122?BAC,0)6(122?BAC,0?A在点(1,2)处不是极值;,0)6(122?BACABC目录上页下页返回结束25例14.求旋转抛物面与平面之间的最短距离.解：设为抛物面上任一点，则 P的距离为问题归结为2(22)(min)xyz?约束条件:220 xyz?目标函数:作拉氏函数222(,)(22)()F x y zxyzzxy?到平面上页下页返回26222(,)(22)()F x y zxyzzxy?111,.448xyz?令22zxy?解此方程组得唯一驻点：2(22)20yFxyzy?2(22)(2)0zFxyz?2(22)20 xFxyzx?由实际意义最小值存在,74 6?故上页下页返回27第九章重积分1.二重积分直角坐标系情形:?若积分区域为 X 型则?)()(21d),(dd),(xyxybaDyyxfxyxf?若积分区域为 Y 型则xy)(1yxx?Ddc)(2yxx?)()(21d),(dd),(yxyxdcDxyxfyyxf?)(1xyy?)(2xyy?xybaD目录上页下页返回28?DDrrfyxf)sin,cos(d),(?则极坐标系情形:若积分区域为?ddrr?Do)(1?r)(2?r目录上页下页返回对称性),(yxf是关则.d ),(2 d ),(1?DD y xf y xf对称性：若区域 D 关于 y轴对称,奇函数,那么.0 d ),(?D y xf),(yxf是关于 x 的于 x 的偶函数，若,2 1 DDD?关于 y轴对称，与1 D2 D29例1.求,d sin 2?DyI其中D 是由直线 2?y和 y轴所围成的闭区域。xyO解：d sin d 0 2 2 0 xyyIy?1.2?,xy?2?d sin 2 0 2?yyy,d sin d )()(2 xyyIyqypdc?d sin d )()(2 yyxIorxxba?目录上页下页返回30其中1:0,0tan sec4Dr?23:,0csc44Dr?33:,0tan sec4Dr?所以tan sec400(,)d dd(cos,sin)dDf x yx yf rrr r?3csc404d(cos,sin)df rrr r?tan sec304d(cos,sin)df rrr r?例2?把积分(,)d dDf x yx y?表为极坐标形式的二次积分?解 在极坐标下积分区域可表示为 D?D1?D2?D3?其中积分区域 D?(x?y)|x2?y?1?1?x?1?D1?11D3D2D目录上页下页返回31例3.计算二重积分,dd)(222yxeyxxIyxD?其中:D为圆域解:利用对称性.yox1DyxxIDdd2?0dd)(2122?yxyxD?10320dd21rr?4?yxeyxDyxdd22?目录上页下页返回32?Ddxdyyxxy2211 0,1:),(22?xyxyxD22221111DDxydxdydxdyxyxy?Dx221yxxy?y?DdxdyyxxyI01222其中解：由于积分区域关于轴对称，被积函数关于是奇函数，所以12221DxydxdyIIxy?例4.331.Icos,x?sin,y?D 10,22:),(?D112212200211(1)121Iddd?122211DxydxdyIIxy?下面计算令则区域的极坐标表示为故210ln(1)ln222?ln20ln2.22?34例5.计算二重积分其中D 是由曲所围成的平面域.解:2223)2()1(?yx其形心坐标为:面积为:?DyxxIdd5?9 23)1(5?A?Dyxydd3积分区域线形心坐标2,1?yx?DyxxAxdd1?DyxyAydd1AyAx?35目录上页下页返回35例6.设f(x)为 a,b 上的正值连续函数，证明：21()dd().()bbaaf x xxb af x?证：其中1()dd()bbaaIf xxxf x?1()dd ()bbaaf x xyf y?()d ()Df xf y?,.Dabab?()d ,()Df yf x?1()()d 2()()Df xf yIf yf x?1 2 d 2D?2()b a?目录上页下页返回362.三重积分的计算及应用目录上页下页返回3.重积分应用1.几何方面面积(平面域或曲面域),体积,形心质量,转动惯量,质心,引力2.物理方面37例7.把积分化为三次积分,其中?由曲面提示:积分域为:?原式022(,)dxyf x y zz?及平面12dxy?11dx?所围成的闭区域.目录上页下页返回3822(),xy dv?zyx222?2?z8?z 82,2:),(22?zzyxzyx82,20,20:),(?zzz?22()xy dv?8228242)024(2dzzdzz?336)28(3233?例8，计算其中积分域面及平面与所围成的体域。则的柱面坐标表示为：于是，解：由题意可知是由曲8222200zdzdd?39例9.，求)(1lim40tFtt?)(tF解:在球坐标系下?trrrf02d)(4?40)(limttFt?利用洛必达法则与导数定义,得3204)(4limtttft?ttft)(lim0?)0(f?0)0(?Fzyxzyxftzyxddd)(2222222?其中0?)0(f?目录上页下页返回40例10:计算?由两个半球面,)(22dxdydzyxI222,zbxy?解:?的表达式中含 x2+y2+z2,令 x=r sin?cos?,y=r sin?sin?,z=r cos?.2d d dsin d d d.x y zrr?且两球面方程分别为 r=b和r=a,(a b).0ar=azyxbr=b222(0)zaxyab?及平面z=0围成.可用球面坐标求积分.则410ar=azyxbr=b?dvyxI)(22?2020222sinsinbadrrrdd?badrrd4203sin2?552 12()3 5ba?)(15455ab?由?的形状知,a?r?b,0?,0?2?.2?42()d,xyz v?222yxz?22yxz?321)(IIIzdvydvxdvdvzyx?yoz01?I?xoz02?I?22222yxzyxz?1122zyx例11.利用柱面坐标计算三重积分其中是由曲面及的体域。而关于平面对称，x 是奇函数，故关于平面对称，y是奇函数，故由可得解：所围成目录上页下页返回43?xoy 1:),(22?yxyxDz?2,20,10:),(22?zz?20210322zdzddI?1042)2(212?d01)64(642?127?127321?IIII因此在面上的投影为故的柱面坐标表示为：于是故目录上页下页返回44222,zRxy?2241()()d dDzzIx yxy?22,):,0,0,Dx yxyRx xy?,):0/2,0cos DR?cos222004ddRIRR?2204(1 sin)dR?)2(22?R根据对称性，则其中极坐标形式为故例12.求球面解：球面方程为2224d dDRx yRxy?2220cos4()d0RRR?目录上页下页返回被圆柱面2222xyzR?22,xyRx?所截得的那一部分的面积（指含在圆柱面内部）。45第十章.线积分1.曲线积分第一类(对弧长)第二类(对坐标)(1)统一积分变量转化定积分用参数方程用直角坐标方程用极坐标方程(2)确定积分上下限第一类:下小上大第二类:下始上终目录上页下页返回2.格林公式，曲线积分与路径无关的 4个等价条件46例1计算其中L为圆周提示:利用极坐标,?dd22rrs?原式=sxaLd?说明:若用参数方程计算,xaoyr?da?t则tyxsdd22?目录上页下页返回47例2.计算其中L为摆线上对应 t 从 0 到 2?的一段弧.提示:?202dsinttta原式?202sincosttta?目录上页下页返回48?F原点 O 的距离成正比,例3 设一个质点在处受恒指向原点,沿椭圆此质点由点沿逆时针移动到),(yxMxyo)0,(aA),0(bB提示:yykxxkWdd?AB:ABtaxcos?tbysin?20:?t(解见 P139 例5),),(yxOM?F 的大小与M 到原F 的方向力F 的作用,求力F 所作的功.),(yxkF?F),(xyk?思考:若题中F 的方向改为与OM 垂直且与y轴夹锐角,则目录上页下页返回49例4 计算其中?为球面被平面所截的圆周.解:由对称性可知2dxs?22221d()d3xsxyzs?21d3as?aa?2312?332a?2dys?2dzs?注意：在曲线积分的计算中可以用曲线方程化简被积函数。目录上页下页返回50例5 已知椭圆134:22?yxL周长为a,求syxxyLd)432(22?提示:0d2?sxyL原式=syxLd)34(1222?sLd12?a12?o2?2yx3利用对称性sxyLd2?sxyLd2?上sxyLd2?下?x2)(2?x分析:目录上页下页返回51例6 计算其中L 是沿逆时针方向以原点为中心,解法1 令,22xyQyxP?则这说明积分与路径无关,故yxyxyxIABd)(d)(22?aaxx d2a 为半径的上半圆周.CoyxABL目录上页下页返回52解法2,BA它与L所围区域为D,CoyxABL?Dyxdd0yxyxyxBAd)(d)(22?xxaad2?D(利用格林公式)思考:(2)若 L 同例2,如何计算下述积分:?LyxyxyxId)(d)(2222y?LyxyxyxId)(d)(2213332a?(1)若L 改为顺时针方向,如何计算下述积分:?BALyxyxyxId)(d)(22则添加辅助线段目录上页下页返回53思考题解答:?LyxyxyxId)(d)(2213(1)?ABABL?Dyxdd2)32(2?aa?LyxyxyxId)(d)(2222y?(2)?Lyxyxyxd)(d)(22?Lxy d2ttadsin303?,sin,cos:taytaxL?332a?32a?0:t332a?I?CoyxABLD目录上页下页返回54?sin)cos1(:taytaxLDyaLxo计算其中L为上半圆周提示:?LxxyyexyeId)2cos(dsin?Lxyd2?Lxyd2BAyxDdd0?ax20d0?022dsin2tta?0:t2a?沿逆时针方向.?ABABL例7.目录上页下页返回