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信息经济学（InformationInformation EconomicsEconomics)主讲人：张成科 博士广东工业大学经济管理学院第二章 完全信息静态信息博弈-纳什均衡n六 混合战略纳什均衡n七 纳什均衡存在性及相关讨论提纲提示六 混合战略纳什均衡猜硬币博弈 1-1，-11，-11，1-1，反面正面反面正面猜谜游戏v两个儿童各拿一枚硬币，v若同时正面朝上或朝下，A给B 1分钱，v若只有一面朝上，B给A 1分钱。零和博弈博弈参与者有输有赢，但结果永远是0。没有一个战略组合构成纳什均衡六 混合战略纳什均衡n社会福利博弈 23，3-1，1-1，00，流浪流浪汉政府救济不救济寻找工作没有一个战略组合构成纳什均衡六 混合战略纳什均衡n警察与小偷银行酒馆警察小偷2万元1万元东边西边警察与小偷的最优策略各是什么？六 混合战略纳什均衡n上述博弈的特征是：在这类博弈中，都不存在纯纳什均衡。参与人的支付取决于其他参与人的战略；以某种概率分布随机地选择不同的行动每个参与人都想猜透对方的战略，而每个参与人又不愿意让对方猜透自己的战略。这种博弈的类型是什么？如何找到均衡？六 混合战略纳什均衡n请举一些这样的例子：石头、剪子、布游戏老虎、杠子、鸡、虫子游戏扑克游戏橄榄球赛战争中 1-1，-11，-22，2-2，西边东边西边东边六 混合战略纳什均衡警察抽签决定去银行还是酒馆，2/3的机会去银行，1/3的机会去酒馆；同样，小偷也抽签决定去银行还是酒馆，2/3的机会去酒馆，1/3的机会去银行。1-1，-11，-11，1-1，反面正面反面正面猜谜游戏v两个小孩的最优策略是采取每个策略的可能性均为1/2；v每个小孩各取策略的1/2是纳什均衡。零和博弈混合战略纳什均衡求解思路六 混合战略纳什均衡求解思路n社会福利博弈 23，3-1，1-1，00，流浪流浪汉政府救济不救济寻找工作设：政府救济的概率：1/2；不救济的概率：1/2。流浪汉：寻找工作的期望效用：1/22+1/2 1=1.5 流浪的期望效用：1/23+1/2 0=1.5因此，流浪汉的任何一种战略都是都是对政府混合战略的最优反应六 混合战略纳什均衡n社会福利博弈 23，3-1，1-1，00，流浪流浪汉政府救济不救济寻找工作设：政府救济的概率：1/2；不救济的概率：1/2。流浪汉：寻找工作的概率：0.2；流浪的概率：0.8每个参与人的战略都是给定对方混合战略时的最优战略六 混合战略纳什均衡战略：参与人在给定信息集的情况下选择行动的规则，战略：参与人在给定信息集的情况下选择行动的规则，它规定参与人在什么情况下选择什么行动，是参与人它规定参与人在什么情况下选择什么行动，是参与人的的“相机行动方案相机行动方案”。v纯战略：如果一个战略规定参与人在每一个给定的信纯战略：如果一个战略规定参与人在每一个给定的信 息情况下息情况下只选择一种特定只选择一种特定的行动，该战略为的行动，该战略为 纯战略纯战略。v混合战略：如果一个战略规定参与人在给定信息情况混合战略：如果一个战略规定参与人在给定信息情况 下下以某种概率分布随机地选择不同的行以某种概率分布随机地选择不同的行 动动，则该战略为混合战略。，则该战略为混合战略。六 混合战略纳什均衡六 混合战略纳什均衡n纯战略可以理解为混合战略的特例，即在诸多战略中，选该纯战略si的概率为1，选其他纯战略的概率为0。5，14，49，-10，0等待小猪大猪按等待按 1-1，-11，-11，1-1，反面正面反面正面六 混合战略纳什均衡求解方法如何寻找混合战略纳什均衡？支付最大化法支付等值法由于混合战略伴随的是支付的不确定性，因此参与人关心的是其期望效用。最优混合战略：是指使期望效用函数最大的混合战略（给定对方的混合战略）在两人博弈里，混合战略纳什均衡是两个参与人的最优混合战略的组合。六 混合战略纳什均衡求解方法 23，3-1，1-1，00，流浪流浪汉政府救济不救济寻找工作即：流浪汉以0.2的概率选择寻找工作，0.8的概率选择游荡同样，可以根据流浪汉的期望效用函数找到政府的最优混合战。？五 混合战略纳什均衡求解方法n社会福利博弈 23，3-1，1-1，00，流浪流浪汉政府救济不救济寻找工作设：政府救济的概率：1/2；不救济的概率：1/2。流浪汉：寻找工作的概率：0.2；流浪的概率：0.8每个参与人的战略都是给定对方混合战略时的最优战略六 混合战略纳什均衡求解方法支付等值法n假定最优混合战略存在，给定流浪汉选择混合战略（r，1-r），政府选择纯战略救济的期望效用为：3r+（-1）（1-r）=4r-1n选择纯战略不救济的效用为：-1r+0（1-r）=-rn如果一个混合战略（而不是纯战略）是政府的最优选择，一定意味着政府在救济与不救济之间是无差异的。4r-1=-r r=0.2 23，3-1，1-1，00，流浪流浪汉政府救济不救济寻找工作六 混合战略纳什均衡求解方法 23，3-1，1-1，00，流浪流浪汉政府救济不救济寻找工作n同理，假定最优混合战略存在，给定政府的选择混合战略（s，1-s），流浪汉选择纯战略寻找工作的期望效用为：2s+（1）（1-s）=s+1n选择纯战略流浪的效用为：n3s+0（1-s）=3sn如果一个混合战略（而不是纯战略）是政府的最优选择，一定意味着政府在救济与不救济之间是无差异的。s+1=3s s=0.5六 混合战略纳什均衡求解方法n对 的解释：n如果流浪汉以找工作的概率小于0.2,则政府选择不救济,如果大于0.2,政府选择救济,只有当概率等于0.2时,政府才会选择混合战略或任何纯战略.n对*=0.5的解释n如果政府救济的概率大于0.5,流浪汉的最优选择是流浪,如果政府救济的概率小于0.5,流浪汉的最优选择是寻找工作.六 混合战略纳什均衡n混合战略纳什均衡的含义：n纳什均衡要求每个参与人的混合战略是给定对方的混合战略下的最优选择。因此在社会福利博弈中，*=0.5是唯一的混合战略纳什均衡。n从反面来说，如果政府认为流浪汉选择寻找工作的概率严格小于0.2，那么政府的唯一最优选择是纯战略：不救济；n如果政府以1的概率选择不救济，流浪汉的最优选择是寻找工作，这又将导致政府选择救济的战略，流浪汉则选择游荡。如此等等。流浪汉寻找工作的概率小于0.2政府概率为1：不救济流浪汉寻找工作政府救济六 混合战略纳什均衡的含义n混合战略纳什均衡的含义：n纳什均衡要求每个参与人的混合战略是给定对方的混合战略下的最优选择。因此在社会福利博弈中，*=0.5是唯一的混合战略纳什均衡。n从反面来说，如果政府认为流浪汉选择寻找工作的概率严格小于0.2，那么政府的唯一最优选择是纯战略：不救济；n如果政府以1的概率选择不救济，流浪汉的最优选择是寻找工作，这又将导致政府选择救济的战略，流浪汉则选择游荡。如此等等。六 混合战略纳什均衡 1-1，-11，-11，1-1，反面正面反面正面用上述方法：求该猜谜游戏的混合战略纳什均衡六 混合战略纳什均衡令盖硬币方以令盖硬币方以r的概率选正面，以的概率选正面，以1-r的概率选的概率选反面，即反面，即P盖盖=(r,1-r)；猜硬币方以猜硬币方以q的概率猜正的概率猜正面，以面，以1-q的概率猜反面，即的概率猜反面，即P猜猜=(q,1-q)，有：有：V盖盖(p盖盖，p猜猜)=r(-1)q+1(1-q)+(1-r)1 q+(-1)(1-q)=-4qr+2q+2r-1猜硬币博弈模型的混合战略n V猜猜(p盖，盖，p猜猜)n=q1r+(-1)(1-r)+(1-q)(-1)r+1(1-r)=4qr-2q-2r+1解：解：MaxV盖盖(p盖盖，p猜猜)r得：得：q*=1/2MaxV猜猜(p盖盖，p猜猜)q得：得：r*=1/2猜硬币博弈模型的混合战略混合策略混合策略NE是盖方在策略空间是盖方在策略空间正面，反面正面，反面上上以概率分布以概率分布P盖盖*，=（1/2，1/2）进行选择，猜方）进行选择，猜方也在策略空间也在策略空间正面，反面上以概率正面，反面上以概率p猜猜*=（1/2，1/2）进行选择。）进行选择。混合战略与反应函数回顾上面猜硬币博弈，双方都会实施混合策回顾上面猜硬币博弈，双方都会实施混合策略，其略，其NE是是r*=q*=（1/2，1/2）。）。这里，从这里，从另一个角度说明这样的概率分布确实是一个另一个角度说明这样的概率分布确实是一个“不动点不动点”。按照按照NE的条件，一个策略组合如过是一个的条件，一个策略组合如过是一个NE，那么其中的每一个策略都是参与人针对其他参那么其中的每一个策略都是参与人针对其他参与人策略组合的最优反应，在纯策略与人策略组合的最优反应，在纯策略NE中，这中，这个个“最优反应最优反应”可能是一个具体的纯策略（如在可能是一个具体的纯策略（如在“Prisoners Dilemma”中），也可能是一个反应中），也可能是一个反应混合战略与反应函数函数（函数（reaction function）（）（如在如在“Cournot Model of Duopoly”中）。而在一个混合策略中）。而在一个混合策略NE中，这个中，这个“最优反应最优反应”将是一个概率或很多个概将是一个概率或很多个概率率被称为被称为“反应对应反应对应”（reaction correspondence）。）。以以Matching Pennies 为例。为例。r盖方选正面的概率，盖方选正面的概率，q猜方猜正面的概率猜方猜正面的概率先看先看盖方的最优反应，记为盖方的最优反应，记为r*=R（q）：）：混合战略与反应函数当当q1/2r*=R（q）=1当当q=1/20，1 当当q1/20猜方的最优反应反应，记为猜方的最优反应反应，记为q*=R（r）混合战略与反应函数当当r1/2q*=R（r）=0，当当r=1/20，1，当当r1/21，作为作为NE，各个参与人的反应应该同时为最优，各个参与人的反应应该同时为最优，那么只要求两个反应对应的交点，用图示法：那么只要求两个反应对应的交点，用图示法：混合战略与反应函数rq01（正面）（正面）1(正面正面)1/21/2r*=R(q)q*=R(r)例2 监督博弈（猜硬币博弈的变形）此博弈无纯战略Nash均衡设双方的混合战略分别为：则由可得：收税方与纳税方的反应函数分别为：纳税方收税方逃税C不逃税D检查A(a-c+F,-a-F)(a-c,a)不检查B(0,0)(a,-a)例3 性别战博弈此博弈有两个纯战略Nash均衡设双方的混合战略分别为：则由 可得：收税方与纳税方的反应函数分别为：女男足球C时装D足球A(2,1)(0,0)时装B(0,0)(1,3)六 混合战略纳什均衡n练习：模型化下述划拳博弈：n两个老朋友在一起喝酒，每个人有四个纯战略：杠子、老虎、鸡和虫子，输赢规则是：杠子降鸡，鸡吃虫子，虫子降杠子，两人同时出令。如果一个打败另一个，赢的效用为1，输的效用为-1，否则效用为0，写出这个博弈的支付矩阵，这个博弈有纯战略均衡吗？计算其混合战略纳什均衡。七 纳什均衡存在性及相关讨论不同均衡概念的关系占优均衡DSE重复剔除占优均衡IEDE纯战略纳什均衡PNE混合战略纳什均衡MNE七 纳什均衡存在性及相关讨论n纳什均衡存在性定理：每一个有限博弈至少存在一个纳什均衡（纯战略的或混合战略的）。问题：是否所有的博弈都存在问题：是否所有的博弈都存在NE（纯的或混纯的或混合的）？合的）？*Nash在在1950年证明：年证明：Wilson（1971）证明，几乎所有有限博弈，都证明，几乎所有有限博弈，都存在有限奇数个存在有限奇数个NE，包括纯策略包括纯策略NE和混合策和混合策略略NE。Oddness TheoremNash均衡的存在性证明工具定理证明的工具：Kakutani不动点定理和Brouwer不动点定理。Brouwer不动点定理：设f(x)为0，1上的连续函数，且值域也为0，1，则在0，1中至少存在一个Kakutani不动点定理：是将Brouwer不动点定理推广到n维抽象空间的结果。七 纳什均衡存在性及相关讨论多重性：是指一个博弈有多个Nash均衡。例1：在性别战博弈中有三个Nash均衡。例2：分蛋糕博弈有两个人分一块蛋糕，设每个人独立地提出自己要求的份额如果 ，每个人得到自己的份额；否则，谁也得不到什么。此博弈的Nash均衡有无穷多个：如下图所示Nash均衡的多重性七 纳什均衡存在性及相关讨论n一个博弈可能有多个均衡：两个人分蛋糕；性别战中的博弈；n纳什均衡的多重性：博弈论并没有一个一般的理论证明纳什均衡结果一定能出现2，10，00，01，2芭蕾女男足球芭蕾足球七 纳什均衡存在性及相关讨论n多重Nash均衡博弈的分析n如何保证均衡出现：n聚点均衡：利用某些被博弈模型抽象掉的信息(如文化习惯等)来达到一个“聚点”均衡。n比如说，在性别战博弈中，若当天为女方生日，则（时装，时装）可能为一个聚点均衡；n在分蛋糕博弈中，如果每个人都有公平意识，则(0.5,0.5)可能是一个聚点均衡；一致性预测原理：如果所有参与人预测一个特定的Nash均衡将出现，那么，没有人有积极性选择非Nash均衡的战略，从而此Nash均衡一定就会实际出现。但是，当有多个Nash均衡时，一致性预测原理不成立。例如：在性别战博弈中，如果男方预期为（足球，足球），女方预期为（时装，时装）则实际出现的就是(足球，时装)。分蛋糕博弈中，若参与人1预期 ，参与人2预期则结果为 ，双方得益为0，为非Nash均衡。女男足球C时装D足球A(2,1)(0,0)时装B(0,0)(1,3)2.相关均衡由奥蒙(Aumann,1974)提出。如果参与人可以根据某个共同观测到的信号选择行动，就可能出现相关均衡（它可使所有人受益）。它有三个Nash均衡：(U,L);(D,R)和一个混合战略均衡各得2.5的期望得益。第三方信号规则：掷骰子点数，若为12点，告诉A选择U;若为36点，告诉A选择D。若为14点，告诉B选择L；若为56点，B选择R.则双方将自愿遵守这个规则，故它构成一个Nash均衡，称为相关均衡。在此规则下，(U,L)、(D,R)和(D,L)以1/3的概率出现，期望得益为10/3。参与人B参与人ALRU(5,1)(0,0)D(4,4)(1,5)七 纳什均衡存在性及相关讨论七 纳什均衡存在性及相关讨论n猎人博弈和帕累托优势：10，100，44，04，4打兔猎人乙猎人甲猎鹿打兔猎鹿有两个纳什均衡：（10，10）与（4，4）；可以认为：（10，10）比（4，4）有帕累托优势
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