基于核心素养的数学课堂教学——情境设计与问题引领课件

基于核心素养的数学课堂教学情境设计与问题引领基于核心素养的数学课堂教学情境设计与问题引领1一、背景二、情境设计三、问题引领四、情境与问题的关系梗概一、背景梗概2学生学习：创新意识，实践能力，学会学习；教师教学：授之以鱼不如授之以渔；教学研究：教和学的对立统一；集五大领域的综合研究。课程建设：顶层设计，确定课程理念、目标。四基、四能、三会。学生评价：核心素养发展水平立德立德树人树人学生学生学习学习教学教学研究研究学生学生评价评价课程课程建设建设教师教师教学教学学习活动过程一、背景学生学习：创新意识，实践能力，3实践能力创新意识学会学习数学学科核心素养课程性质：数学教育承载着落实立德树人根本任务、发展素质教育的功能。数学教育帮助学生掌握现代生活和进一步学习所必需的数学知识、技能、思想和方法；提升学生的数学素养，引导学生会用数学眼光观察世界，会用数学思维思考世界，会用数学语言表达世界；促进学生思维能力、实践能力和创新意识的发展，探寻事物变化规律，增强社会责任感；在学生形成正确人生观、价值观、世界观等方面发挥独特作用。实践能力课程性质：4数学学科核心素养划分为三个水平，每一个水平是通过数学学科核心素养的具体表现和体现数学学科核心素养的四个方面进行表述的。体现数学学科核心素养的四个方面如下：情境与问题情境主要是指现实情境、数学情境、科学情境，问题是指在情境中提出的数学问题；知识与技能主要是指能够体现相应数学学科核心素养的知识与技能；思维与表达主要是指数学的思维品质、表述的严谨性和准确性；交流与反思主要是指交流过程中的思维表现，以及交流后的思考结果。数学学科核心素养划分为三个水平，每一个水平是通过数学学科核心5基本理念：高中数学教学以发展学生数学学科核心素养为导向，创设合适的教学情境，启发学生思考，引导学生把握数学内容的本质。提倡独立思考、自主学习、合作交流等多种学习方式，激发学习数学的兴趣，养成良好的学习习惯，促进学生实践能力和创新意识的发展。注重信息技术与数学课程的深度融合，提高教学的实效性。不断引导学生感悟数学的科学价值、应用价值、文化价值和审美价值。课标关于问题情境的论述教与学是一个有机的整体，教的根本目的是学，是引导学生学会学习，形成素养。基本理念：课标关于问题情境的论述教与学是一个有机的整体，教的6核心素养与课程目标的关系三三用用核心素养核心素养四四 能能四四 基基用数学的眼光观察世界，用数学的思维分析世界，用数学的语言表达世界；情感态度价值观素养形成过程核心素养与课程目标的关系三用核心素养四能四7二、情境设计1.对情境的认识和理解2.教学与情境设计二、情境设计1.对情境的认识和理解8二、情境设计1.对情境的认识和理解情境包括：现实情境、数学情境、科学情境，每种情境可以分为熟悉的、关联的、综合的。二、情境设计1.对情境的认识和理解9问题情境内涵与特征表现（1）什么是问题情境？（2）什么是教学情境？（3）什么是数学情境？（4）什么是数学问题情境？1、情境的认识与理解问题情境内涵与特征表现（1）什么是问题情境？1、情境的认识与10（1）、什么是问题情境？【基本解释】：在一定时间内各种情况的相对的或结合的境况。【心理学解释】：在社会心理学中，情境指影响事物发生或对机体行为产生影响的环境条件。也指在一定时间内各种情况的相对的或结合的境况。1、情境的认识与理解（1）、什么是问题情境？【基本解释】：1、情境的认识与理解11要素分析显性要素：情境+问题。情境：构成学习环境，是其学习的软件基础和硬件基础的综合。问题：诱发学生探究和数学思考的关键，是数学学习的灵魂。内涵要素：发展学生核心素养。1、情境的认识与理解要素分析显性要素：情境+问题。内涵要素：发展学生核心素养。112来自新加坡的梅陵（Mei?Ling）准备去南非做3个月的交换生。她需要把一些新加坡元（SGD）兑换成南非兰特（ZAR）。问题1这三个月中，汇率从1新加坡元兑4.2南非兰特变为1新加坡元兑4.0南非兰特。当梅陵把南非兰特换回新加坡元时，汇率是1新加坡元兑4.0而不是4.2南非兰特，她满意吗？给出解释来支持你的答案。问题2三个月后，梅陵回到新加坡，她还剩有3900南非兰特（ZAR）。她把这些换回新加坡元（SGD）时，发现汇率变成了：1新加坡元（SGD）=4.0南非兰特（ZAR）梅陵能拿到多少新加坡元？问题3梅陵发现新加坡元和南非兰特的汇率是：1新加坡元（SGD）=4.2南非兰特（ZAR），根据这个汇率，她把3000新加坡元换成南非兰特。她能拿到多少南非兰特？案例1：特征：真实，自然简约，有用情境+问题1、情境的认识与理解现实情境来自新加坡的梅陵（Mei?Ling）准备去南非做3个月的交换13案例2：同样的若干磁铁排队情境：是真的吗？形状和质量等各方面完全相同的若干磁铁（形如一元硬币）放在水中能自动规律的排队吗？实验：1.直接投入水中沉没，没有发现。2.用双面胶将其粘在塑料瓶盖中，确保其可以在水中自由漂浮，会发生什么现象？3.这个现象能提出什么问题吗？情境源自科学实验问题源自情境本身问题隐于探究过程1、情境的认识与理解科学情境案例2：同样的若干磁铁排队情境：情境源自科学实验问题14案例3：椭圆的几何性质问题情境：运用所学的知识，你能否画出方程所对应的曲线？（如果不能精确地画出，也可以画出它的草图。）学生思路一：利用椭圆的定义，用绳子画图；学生思路二：根据所学先判断其为椭圆，求与x轴y轴的交点再连结；学生思路三：根据所学判断椭圆具有对称性，只需比较精确地画出第一象限的部分；学生思路四：学生可能会联系函数描点法画图（对学生方程与函数理解要求较高）隐含的数学问题：1.通过动手画椭圆能发现椭圆上点的坐标取值有范围限制，即椭圆的范围；发现椭圆具有对称性，从而为引出对称性作铺垫；发现特殊点（与对称轴的交点），即椭圆的顶点。2.学生联系到函数描点法作图时，认识函数与方程的区别与联系，有利于学生更好地理解数学知识间的关系。情境诱发问题1、情境的认识与理解数学情境案例3：椭圆的几何性质问题情境：运用所学的知识，你能15所谓教学情境（teachingscenarios；teachingsituationmanifestation；educationsituation）是指教师在教学过程中创设的情感氛围。“境”是教学环境，它既包括学生所处的物理环境，如学校的各种硬件设施，也包括学校的各种软件设施，如恰当的情境素材以及教师的技能技巧和责任心等。教学情境也指具有一定情感氛围的教学活动。孔子说：“不愤不启，不悱不发，举一隅不以三隅反，则不复也。”孔子的这段话，在肯定启发作用的情况下，尤其强调了启发前学生进入学习情境的重要性，所以良好的教学情境能充分调动学生学习的主动性和积极性，启发学生思维、开发学生智力，是提高中学学科教学实效的重要途径。（2）、什么是教学情境？教学情境的意义：教学情境是课堂教学的基本要素，创设教学情境是教师的一项常规教学工作，创设有价值的教学情境则是教学改革的重要追求。1、情境的认识与理解教学情境所谓教学情境（teachingscenarios；tea16案例4：曲边梯形的面积创设情境：此图是某园博园平面示图，图中的I、II、III三块区域需要种植不同的植物进行绿化，投入的资金与图形的面积有关，请问你能帮助园博园投资方做出投资预算吗？1、情境的认识与理解教学情境案例4：曲边梯形的面积创设情境：1、情境的认识与17情境价值：教学目的：通过学生交流互相启发，让学生悟得计算“三块地”的面积问题，其实就是计算抽象以后的三个不规则平面图形的面积问题，进而就是计算三个曲边多边形的面积问题。在这个环节中，充分表现了学生通过抽象、归纳概括的方式，将实际问题数学化的过程。1、情境的认识与理解教学情境情境价值：1、情境的认识与理解教学情境18跟进问题：求与x轴及x=1所围成的平面图形面积？教师引导和学生活动：通过教师多媒体演示刘徽的“割圆术”，引导学生自主认识问题的实质是如何从刘徽的“割圆术”中得到的启发探索解决问题的可能思路。教学目的：在辨析研讨的基础上，逐步让学生自主的认识到进一步将曲边多边形进行抽象，最终以直代曲。1、情境的认识与理解教学情境跟进问题：求与x轴及x=1所围成的平面图形19问题1：在等分的基础上将曲边梯形分割成为n个小曲边梯形，求面积的过程中需要考虑两个问题，一是如何计算每个小曲边梯形的面积，二是如何将以直代曲的数学思想渗透应用在求解计算中？问题2：请同学们书写分割过程，并与课本中的分割步骤对比.教师引导和学生活动：通过学生自主探究，学生会得出多种不同的分割方案，通过学生之间的交流，逐步得出合理的分割方案。1、情境的认识与理解教学情境教师引导和学生活动：通过学生自主探究，学生会得出多种不同的分20深化数学思考，理性思维数学工具在解决实际问题中的作用和意义问题：观察不足近似和过剩近似的两个式子,我们发现曲边多边形的面积是关于n的多项式，显然，分割越细，近似程度越好，那么，当n变化时，S1、S2变化趋势如何？当n趋向于无穷大时，S1、S2的变化趋势如何？教师引导和学生活动：通过问题引领，学生自主进入问题思维过程，并自觉进入计算思辨的过程。教学目的：让学生在操作过程中体会逼近思想的应用，认识定积分是在此类问题中通过面积逼近的重要数学工具。1、情境的认识与理解教学情境深化数学思考，理性思维数学工具在解决实际问题中的21数学情境是从事数学活动的环境,产生数学行为的条件。设置数学教学情境既要紧扣教学目标、适合学生的认知水平,靠近他们的最近发展区,又要具有较丰富的数学信息,形式尽可能地生动直观,易于理解。以便学生提出数学问题,自己去解决自己提出的数学问题,在获取数学知识的同时体验数学知识的形成过程。数学情境是指数学教学中常见的一种场景,它有利于解决数学知识的抽象性与学生思维的具体性之间的矛盾。（3）、什么是数学情境？1、情境的认识与理解数学情境数学情境是从事数学活动的环境,产生数学行为的条件。设置22新数学知识的获得以数学问题的提出为基础,这是为数学的产生与发展的历程所证明的客观事实。希尔伯特提出“数学问题是数学的灵魂”。正是他在1900年指出的23个数学问题指导着20世纪数学的发展。数学发展史中的平行公理问题、尺规作图问题、哥尼斯堡七桥问题、四色问题、费尔马问题、四元素问题等等都清楚地表明提出数学问题的巨大价值,及随之进行的解决数学问题的重要作用。爱因斯坦明确表示“提出一个问题比解决一个问题更有意义。”可以说,没有数学问题的提出就没有数学问题的解决,就没有数学科学的发展。数学情景与数学问题凸显四能1、情境的认识与理解数学情境新数学知识的获得以数学问题的提出为基础,这是为数学的23案例5：内角？外角？美籍华人陈省身教授是当代举世闻名的数学家，他在北京大学的一次讲学中语惊四座：“人们常说，三角形内角和等于180度。但是，这是不对的!”大家愕然。怎么回事?三角形内角和是180度，这不是数学常识吗?接着，这位老教授对大家的疑问作了精辟的解答：“说三角形内角和为180度不对，不是说这个事实不对，而是说这种看问题的方法不对，应当说三角形外角和是360度。”“把眼光盯住内角，我们只能看到：三角形内角和是180度；四边形内角和是360度；五边形内角和是540度；n边形内角和是(n2)180度。这就找到了一个计算内角和的公式。公式里出现了边数n。1、情境的认识与理解数学情境案例5：内角？外角？1、情境的认识与理解24如果看外角呢?三角形的外角和是360度；四边形的外角和是360度；五边形的外角和是360度；任意n边形外角和都是360度。这就把多种情形用一个十分简单的结论概括起来。用一个与n无关的常数代替了与n有关的公式，找到了更一般的规律。”归纳推理：变化中的不变因素。数学情境和数学问题指向什么？1、情境的认识与理解数学情境如果看外角呢?归纳推理：变化中的不变因素。数学情境和数学问题25在数学家眼里，很多事物里包含着数学。“大漠孤烟直，长河落日圆”，画家也许据此创作一幅寥廓苍凉的塞外黄昏景象，但数学家看来，说不定会想起一根垂直于平面的直线，一个切于直线的圆呢!这么说，是不是在数学家眼里，事物都变得简简单单的、千巴巴的，失去了丰富的内容了呢?也不见得。有些在大家看来简简单单的图形，在数学家眼里，却是丰富多彩的。它会告诉数学家不少信息，当然，用的是数学的语言。你如果学会用数学的眼光看它，便也能听懂它的无声的语言。案例6：数学家的直觉数学直觉和数学意识是形成一定数学核心素养的外在表现。1、情境的认识与理解数学情境在数学家眼里，很多事物里包含着数学。“大漠孤烟26什么是好的数学情境？（1）数学问题情境是学生展开学习活动的环境载体。（2）好的问题情境指向关键数学问题，关注数学本质；（3）好的问题情境，具有激趣特征，能激发学生学习兴趣，引发学生自主探究；（4）好的问题情境，具有恰当的情境自然和情境梯度，有利于学生挑战问题，培养科学精神。（5）好的问题情境具有真实而又简洁的特征，能快速诱发学生的数学思考。1、情境的认识与理解数学情境什么是好的数学情境？（1）数学问题情境是学生27二、情境设计2.教学与情境设计概念的引入与情境设计；结论的应用与情境设计；数学建模与情境设计。二、情境设计2.教学与情境设计28知识储备：前面从数、形两个角度学习了向量的加法、减法和数乘运算初步了解了几何诠释下的向量运算体系，并运用向量方法拓宽了几何的研究思路【问题情境】：长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮渡进行运输.如图，一艘船从南岸的A点出发，船速3km/h，方向与河岸夹角为60，水流速度为2km/h.在A点北偏东30的对岸有一个码头B.（1）船能否从A处沿直线航行到B处？（2）若船速与水速的方向不变，要使船以12km/h的实际航行速度到达B处，则船速与水速分别是多少？第一问用到了向量的合成，而第二问用到了向量的分解那么向量分解的依据到底是什么？它对后续的学习又有什么帮助呢？问题指向：平面向量基本定理案例7：平面向量基本定理的引入2、教学与情境设计真实知识储备：前面从数、形两个角度学习了向量的加法、减法和数乘运29问题：具有明确的兴趣特征，能引发递进思考。情境来源：源自熟悉的生活现象，真实而又存疑。问题设计：问题遵循数学研究的基本规律，重在发现和提出问题（数学化），自然关注了数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算等核心素养。案例反思2、教学与情境设计真实问题：具有明确的兴趣特征，能引发递进思考。案例反思2、教学与30案例8：利用单位圆建立三角函数的概念及相关知识的延伸情境：在单位圆O：上任取一点P（x,y），圆O与x轴正向的交点是A，将OA逆时针转到OP所成的角记为，问题：1.请写出x,y关于的表达式，并说明x,y的几何意义；2.假设由（1）得出的表达式是，利用单位圆直观说明这两个函数的周期性、单调性和对称性；问题情境意图：目的是建立直观图形与抽象函数之间的联系，可以考察学生运用单位圆解释和分析三角函数概念、性质以及运用单位圆的直观模型解决三角函数问题的能力。涉及的数学核心素养主要包括：数学抽象、逻辑推理和直观想象。避免了先用直角三角形，初中的三角比然后再用高中的坐标系然后要来回来去地对比。引入单位圆，就更具体地利用了坐标的流动性和弧度的一一对应，也利用了坐标在四个象限的正负表示，把三角函数的符号、函数的概念等内涵都清晰揭示出来了。2、教学与情境设计科学案例8：利用单位圆建立三角函数的概念及相关知识的延伸情境：避31基于单位圆的三角函数性质、诱导公式等单位圆三角函数概念与坐标的一一对应借助单位圆中的直观观察：诱导公式：sin(x+)=?其几何直观特征：建立了中心对称点的关系。自然流畅地解释了sin(x+)和sinx的关系进一步可以延伸到更广泛的诱导公式的探究和理解2、教学与情境设计科学基于单位圆的三角函数性质、诱导公式等单位圆借助单位圆中的直观32问题：在新概念建立过程中形成问题；具有明显的探究活动价值。情境来源：单位圆+预设的学习活动过程。问题设计：针对情境特征的剖析，引导问题的深入反思，强化概念形成的合理性和科学性。期间，很好的关注了数学抽象、直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养。案例反思：2、教学与情境设计科学问题：在新概念建立过程中形成问题；具有明显的探究活动价值。案33结论应用与情境设计高中阶段研究函数性质教学前提：高一新生具有初中阶段研究函数性质的初步经验。通过作图-直观观察-提炼概括并形象化表述函数性质。通过这样的基本学情，设计具有问题引领的教学问题情境，引导学生展开数学探究活动，经历相关数学核心素养的磨砺过程。2、教学与情境设计结构结论应用与情境设计高中阶段研究函数性质2、教学与情境设计34【情境】：在初中阶段，学生已经初步了解一元一次函数、反比例函数、一元二次函数的图象具有单调性的特征。在高中阶段引入函数单调性概念时，可以从直观认识出发，提出合适的课堂讨论问题，使学生经历函数单调性概念的抽象过程。【问题】：1.在初中阶段已经学过一元一次函数、反比例函数、一元二次函数，请根据函数图象，分别述说x在哪个范围变化时，y随着x的增大而增大或者减小？4.依据函数单调性的定义，证明函数是递增的。案例9：函数单调性2、教学与情境设计结构【情境】：在初中阶段，学生已经初步了解一元一次函数、反比例函35问题：具有明确的结构指向。情境来源：源自课程系统的关键连接点。问题设计：问题应建立基本的联想基础，形成知识系统前后的思维冲突，从而进阶到整合与数学思考及数学内涵的一般化。案例反思2、教学与情境设计结构问题：具有明确的结构指向。案例反思2、教学与情境设计结构36【目的】展现函数的应用，给出数学建模活动中，建立模型和模型求解的过程。【情境】1.问题。建立确定急刹车停车距离的数学模型，根据模型得到的结果，就行车安全提出建议。2提示。科学研究通常经历：选题、开题、做题、结题四个基本过程。在这个研究中，已经确定了“急刹车的停车距离”问题的选题，还需要完成“开题、做题、结题”的过程。案例10急刹车的停车距离问题2、教学与情境设计生成【目的】展现函数的应用，给出数学建模活动中，建立模型和模型求373操作建议。建立研究小组。“开题”。准备工作：结合问题，查阅资料，检索已有的成果，用“头脑风暴”的形式集思广益，形成自己的想法，然后初步形成解决问题大致思路和初步方案，并分析操作的可行性、可用资源等。撰写“开题报告”。教师组织“开题报告”的小组交流。请各组同学代表介绍对上述问题的思考和结果，交流反思后，改进并确定实施方案。“做题”。实施建模过程，直至得到结果。“结题”。把建模结果写成小论文，在班里介绍建模过程、结果和收获，并由老师和其他同学给出评价。3操作建议。38【分析】确定影响刹车停车距离的主要因素。例如，急刹车的停车距离与刹车前汽车行驶的速度有关；并且因人而异，与驾驶人员的反应时间有关；因车而异，与刹车性能有关；还与一些其他因素有关，如道路状况、天气状况等随机因素。可以规定在高速公路上，主要考虑前三个要素，得到一个简化模型：停车距离=反应距离+制动距离。用d表示停车距离、d1表示反应距离、d2表示制动距离，上述模型可以用数学符号表示为：d=d1+d2。为了得到d1和d2的具体表达式，可以做下面的假设。【分析】确定影响刹车停车距离的主要因素。例如，急刹车的停车距39通过试验数据，得到急刹车停车距离模型：d=0.21v+0.006v2。通过试验数据，得到急刹车停车距离模型：40案例反思：数学建模中的情境思考现实问题是情境的主体；提示数学建模的活动方式也是问题情境；构建学生共同探究、小组合作的学习方式也是问题情境。案例反思：数学建模中的情境思考现实问题是情境的主体；41三、问题引领1.对问题的认识和理解2.教学与问题引领3.考试评价与问题引领三、问题引领1.对问题的认识和理解42问题是数学的灵魂。问题情境(contextofproblems)数学学习论的基本概念之一，指个体面临的数学问题和它所具有的相关经验所构成的系统。合适的问题情境，指的是外部问题和内部知识经验条件的恰当程度的冲突，使之引起最强烈的思考动机和最佳的思维定向的情境。1.对问题的认识和理解问题是数学的灵魂。问题情境(contextof43数学情境是从事数学活动的环境，产生数学行为的条件。从它提供的信息，通过联想、想象和反思，发现数量关系与空间形式的内在联系，进而提出数学问题、研究问题、解决问题的策略和方法。同时还伴随着一种积极的情感体验，其表现为对新知识的渴求，对客观世界的探索欲望，对数学的热爱等。创设问题情境能引导学生主动参与，激发学生的学习积极性，使每个学生都能得到充分发展的教育环境，是新课改能否真正实施的一个重要标志。“创设情境”是数学教学中常用的一种策略，它有利于解决数学的高度抽象性和学生思维的具体形象性之间的矛盾。由问题情境到数学问题情境1.对问题的认识和理解数学情境是从事数学活动的环境，产生数学行为的条件。从它提供的44引入时设置合适的问题，激发学生的好奇心；教学过程设置合适的问题串，揭示数学本质；总结环节设置合适的问题，整体把握数学内容；问题是建模的关键。2.教学与问题引领引入时设置合适的问题，激发学生的好奇心；2.教学与问题引领45问题：是数学教与学的灵魂；是形成数学探究活动的方向驱动源；是生成数学核心素养的教学关键。2.教学与问题引领问题：2.教学与问题引领461.明确的数学指向：问题明确指向核心数学问题，遵循自身逻辑关系，有利于揭示数学本质。2.明确的素养指向：问题的探究过程有利于学生基于四基发展四能，在发展四能过程中，充分体现数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析等核心素养的过程性体验。3.明确的结构指向：问题应基于数学系统或子系统的宏观结构要求，反映问题指向的远近目标的合理拟合。4.明确的学习指向：问题作为学生学习的思维灵魂，应关注学生学习的最近发展区，具有逻辑暗线清晰，引领明确的特征，问题梯度契合学生认知能力水平，问题的启发性和挑战性并存，可思、可探，有提炼升华的学习价值。好问题的基本特征：2.教学与问题引领1.明确的数学指向：问题明确指向核心数学问题，遵循自身逻辑关47问题：1.是否存在三条直线两两互相垂直？若存在，请举出实际中的例子.2.到一个定点距离等于定长的点的轨迹是_.3.用5根长度相等的木棒（或火柴）搭正三角形，最多搭成几个正三角形？用6根呢？案例11：立体几何起始课的教学知识储备和能力储备：对平面中几何图形的位置和数量关系研究较多，在小学和初中阶段只是比较直观地认识了一些简单的几何体，并没有更深入地对空间中几何图形的位置和数量关系进行推理和计算冲突悬疑兴趣探究发现2.教学与问题引领构建认知冲突问题：案例11：立体几何起始课的教学知识储备和能力储备：48案例12复数的引入【情境】复数的产生大致经历了以下过程。在古希腊学者丢番图时代，人们已经知道一元二次方程式有两个根，但其中有一个根为虚数时，宁可认为方程不可解。直到16世纪，人们普遍认同丢番图的办法。虽然复数问题是由求一元二次方程的解所引发的，但迫使人们认真对待复数却是因为求一元三次方程的解。意大利数学家卡尔丹在1545年出版的著作重要的艺术中，首次公布了求解一元三次方程的代数方法，卡尔丹区分十三种情况对一元三次方程进行讨论，给出十三种求解的公式。在公式中出现了十分尴尬的情况：即便一元三次方程的三个根是实根，但在用公式求解的时候会出现虚数。例如，对方程16+x2+x3=24x（这是当时人们表示方程的方法），容易验证x=4是方程的一个根，于是这个方程就等价于(x-4)(x2+5x-4)=0，检验其中的一元二次方程可知，其余两个根也是实数，因此方程的三个根是实根。但是，直接用卡尔丹求解一元三次方程的公式计算方程解的过程中会出现虚数，那么，这样的方程是有解还是无解呢？2.教学与问题引领构建认知冲突案例12复数的引入2.教学与问题引领49在数学史上，虚数以及复数概念的引入经历了一个曲折的过程，其中充满着数学家的想象力、创造力和不屈不挠、精益求精的精神。由此，在复数概念的教学中，可以适当介绍历史发生发展过程，一方面可以让学生感受数学的文化和精神，另一方面也有助于学生理解复数的概念和意义。如何将数学史融入中小学的数学教学是数学教育领域的一个重要课题。通过数学概念和思想方法的历史发生发展过程，一方面可以使学生感受丰富多彩的数学文化，激发数学学习的兴趣；另一方面也有助于学生对数学概念和思想方法的理解。数学史在数学课堂中的融入方式可以是多种多样的，相关的网络资源也十分丰富，教师应该根据教学的需要选择合适的资料和教学方式。现在，复数已经被广泛应用于流体力学、信号分析等学科，因此复数有着深厚的物理背景。在复数的基础上，英国数学家哈密顿构造了四元数，并导致了物理学中著名的麦克斯韦方程的产生。问题：具有明确的数学指向在数学史上，虚数以及复数概念的引入经历了一个曲50【情境】给出下面的测量任务：测量本校的一座教学楼的高度；测量本校的旗杆的高度；测量学校院墙外的一座不可及，但在学校操场上可以看得见的物体的高度。可以每23个学生组成一个测量小组，以小组为单位完成；各人填写测量课题报告表（见表），一周后上交。案例13：测量学校内、外建筑物的高度2.教学与问题引领构建活动场景【情境】给出下面的测量任务：案例13：测量学校内、外建筑物的511.成员与分工姓名分工2测量对象例如，某小组选择的测量对象是：旗杆、教学楼、校外的大厦。3测量方法（请说明测量的原理、测量工具、创新点等）4测量数据、计算过程和结果（可以另外附图或附页）5研究结果（包括误差分析）6简述工作感受测量课题报告表项目名称：_完成时间：_1.成员与分工姓名分工2测量对象3测量方法（52问题：具有明确的素养指向。问题形式：情境开放，微课题研究。问题解决：完整经历四能，体验多个数学核心素养的形成过程。案例反思2.教学与问题引领构建活动场景问题：具有明确的素养指向。案例反思2.教学与问题引领构建53数学价值：从曲线的切线作图问题出发，引出了微积分这门大学科,堪称是数学史上,也是人类文明史上的辉煌成就.认知基础：在初中学段，学生已经具备了圆的切线极其相关的初步研究经验。圆的切线,就是和圆只有一个公共点的直线.设置情境：作圆的切线是容易的,因为我们知道,圆的切线和过切点的半径垂直。如何研究抛物线的切线的？案例14：探索抛物线的切线2.教学与问题引领关注结构价值数学价值：案例14：探索抛物线的切线2.教学与问题引领54浅层次的教学处理：如果把抛物线的切线,看成是和抛物线只有一个公共点的直线,学生已经学过二次方程,又具备了一些基本的解析几何知识,不难做出来.教学关注：期待通过教学情境的多角度探究，学生能够从最简单的情形,看出更一般的规律。在这个探究、开悟的过程中，相关核心素养得到充分关注。例如：最简单的情形,抛物线的方程是y=x2,在抛物线上取一个点P(u,u2),过点P作抛物线的切线,如何写出切线的方程?如果知道了切线的斜率k,切线方程应当有这样的形式:y-u2=k(x-u).把这个带有未知斜率k的方程和抛物线方程y=x2联立,可得x的方程x2-kx+(ku-u2)=0.解这个2次方程,可得抛物线和切线的公共点的x坐标.但是因为公共点只有一个,所以这个方程有重根,判别式应当为0,可解得k=2u.给一些u的值，画出来看看，结果似乎就是抛物线的切线但是，你看到了x=1这样的一些直线吗？情境切入和问题引领浅层次的教学处理：给一些u的值，画出来看看，结果似乎就是抛物55疑问-回归问题原始情境-重新确定思维方向1.疑问：“只有一个交点便是切线”错了！2.动中求变：割线到切线的演变特征-两个交点到一个交点的突变。4.两点无限逼近-割线逼近切线。3.两点能确定斜率(发生学生认知共鸣)。5.这个探究过程让学生自己找到了导数。思维递进脉络逻辑推理数学抽象数学运算直观想象2.教学与问题引领关注结构价值疑问-回归问题原始情境-重新确定思维方向1.疑问56问题具有明确的结构指向案例反思形成认形成认知冲突知冲突联想圆的切线抛物线的切线经验认知一个切点导数导数割线构建新的思维起点割线到切线的演变2.教学与问题引领关注结构价值问题具有明确的结构指向案例反思形成认知冲突联想抛物线经验认知57【情境】：用一个平面去截正方体，截面的形状是什么样的？【问题】：(1)给出分类的原则（例如：按截面图形的边数分类）。按照你的分类原则，能得到多少类不同的截面？设计一种方案，找到截得这些形状截面的方法，并在正方体中画出示意图。(2)如果截面是三角形，你认为可以截出几类不同的三角形（分别按边、角分类）？为什么?（3）如果截面是四边形，你认为可以截出几类不同的四边形？为什么?(4)还能截出哪些多边形？为什么?(5)能否截出正五边形？为什么？(6)能否截出直角三角形？为什么？(7)有没有边数超过6的多边形截面？为什么？(8)是否存在正六边形的截面？为什么？(9)最大面积的三角形截面是哪个？为什么？（10）自己发现提出的相关问题案例15：正方体的截面问题问题串的价值体现了问题的递进关系，体现了学生思维方向的引领。2.教学与问题引领关注思维递进【情境】：用一个平面去截正方体，截面的形状是什么样的？【问581.问题特征：这是针对学生学习过程展开合理数学思维的典型问题。2.问题设计特点：具有连续递进思维的问题串。3.学习经验的引领：引领学生可以通过切萝卜块观察，或在透明的正方体盒子中注入有颜色的水，观察不同摆放位置、不同水量时的液体表面的形状；或还可以借助信息技术直观快捷地展示各种可能的截面等方式，建立直观观察为基础的数学猜想，形成基本的数学认识4.数学思考的磨砺：直观观察的猜想未必是一般数学事实，不能代替证明。因此，严格的数学推理证明是必要的。5.学习过程体现发展学生核心素养的目的：探究的难点是分类找出所有可能的截面，并证明哪些形状的截面一定存在或者一定不存在。学生通过操作观察，形成猜想，证明结论。经历这样逐渐深入的探究过程，有利于培养学生发现问题、分类讨论、作图表达、推理论证等能力，在具体情境中提升直观想象、数学抽象、逻辑推理等素养，积累数学探究活动经验。教学分析1.问题特征：教学分析59问题：具有明确的学习指向。问题显性表现：遵循学习原理，从直观到抽象-垂直数学化的过程。问题设计：充分了解学生的认知基础和学习障碍，建立适应学生学习和数学思考的问题串，有利于学生有逻辑的展开数学探究活动。案例反思问题：具有明确的学习指向。案例反思60好的数学问题具有如下特征：1.指向数学关键的发现过程，而不是直接指向数学关键结论。2.问题具有代表性，预留学生发现新问题的恰当空间。3.问题具有适当的启发性。4.问题梯度合理，适合学生现有能力储备；5.在问题类中建立初步的问题串探究指向。好问题的数学教学提示好的数学问题具有如下特征：好问题的数学教学提示61四、情境与问题的关系1.问题与情境要融为一体；2.问题要避免为了情境而情境；3.要善于发现情境中蕴含的问题。四、情境与问题的关系1.问题与情境要融为一体；62关注问题情境与教学的关系情境是学生学习的载体，辅助于教学活动的启动；问题诱发递进性探究活动、数学关键问题的揭示、核心素养的磨砺性积累。数学教学的特征：A双质性：教学目标指向数学本质问题，指向学生心理本质规律。教育价值指向发展学生的数学核心素养。B双边性：教学过程是师生共同活动的过程，应以学生为主体，克服以教师的教为中心的教学倾向。C双部性：既要注意学生的外部感知活动，又要重视学生内部的思维活动，关注学生的学习心理。D双型性：重视重要数学思维方法的输入型教学，更重视学生以探究发现为主要标志的自主型学习引领。关注问题情境与教学的关系情境是学生学习的载体，辅助于教学活动63数学问题情境问题情境(contextofproblems)数学学习论的基本概念之一指个体面临的数学问题和它所具有的相关经验所构成的系统。合适的问题情境，指的是外部问题和内部知识经验条件的恰当程度的冲突，使之引起最强烈的思考动机和最佳的思维定向的这样一种情境。数学教学的特征：A双质性：教学指向数学本质问题，指向学生心理本质规律。B双边性：教学过程是师生共同活动的过程，应以学生为主体，克服以教师的教为中心的教学倾向。C双部性：既要注意学生的外部感知活动，又要重视学生内部的思维活动，关注学生的学习心理。D双型性：重视重要数学思维方法的输入型教学，更重视学生以探究发现为主要标志的自主型学习引领。数学问题情境是学生展开学习活动的环境载体；指向关键数学问题，关注数学本质；具有兴趣特征，能激发学生学习兴趣，引发学生自主探究；具有恰当的情境自然和情境梯度，有利于学生挑战问题，培养科学精神。情境指向学生学习过程需求数学问题情境数学教学的特征64案例16：情境：在原有的糖水（糖水未饱和）中加入糖，直觉感觉糖水加糖变甜了。这个生活常识是真的吗？问题：请以这一生活常识为背景提炼出一个数学命题，然后给出严格的数学证明。情境隐含问题探究指向1.问题与情境要融为一体案例16：情境：问题：情境隐含问题探究指向1.问题与情境要融651.问题与情境要融为一体1.问题与情境要融为一体66从结论的证明角度，可以有如下的广泛思考：可以有分析法、综合法、反证法、放缩法，构造图形、构造定比分点、构造复数、构造函数等10多种证明方法，非常典型引申与探究：从结论的拓展角度，可以有如下的广泛思考：可以进一步拓展到等比定理、合比定理，中间不等式1.问题与情境要融为一体从结论的证明角度，可以有如下的广泛思考：引申与探究：从结论的67数学问题情境有利于发展学生核心素养数学问题情境有利于发展学生核心素养1.问题情境本身蕴含发展学68案例17：二项式定理的证明情境：探索二项式定理的构造性证明。问题：显性问题就在问题情境之中。隐性问题包含在问题的探究的过程中。3.要善于发现情境中蕴含的问题。案例17：二项式定理的证明情境：探索二项式定理的构造性证明。693.要善于发现情境中蕴含的问题。3.要善于发现情境中蕴含的问题。70过程性问题的形成引导学生建立探究思维线索3.要善于发现情境中蕴含的问题。过程性问题的形成3.要善于发现情境中蕴含的问题。71二次三次基于运算归纳推理简单复杂特殊一般过程体验素养形成案例反思3.要善于发现情境中蕴含的问题。二次基于运算归纳推理简单复杂特殊一般过程体验素养形成案例反思72概括反思：1.发展学生数学核心素养的环境：在有价值的数学活动过程中。2.具有较好数学核心素养的表现：A良好的数学直觉；基于深厚的数学积累B快速形成数学思维方向：基于丰富的活动经验；C建立缜密的数学方案：基于数学思维能力的磨砺；D具有跨领域的数学应用能力：基于问题解决能力和数学建模的真实体验。3.数学教学活动的教育意义：创设情境是学习的环境需求，依托情境设计数学思维含量较高的问题，是研究性学习的关键基础，遵循数学发展规律和学生认知规律展开问题研究和探索，是数学教学的核心，形成数学核心素养是数学教学的目标追求。概括反思：发展学生数学核心素养的环境：73谢谢！朋友们，再见！基于核心素养的数学课堂教学情境设计与问题引领课件74