均值不等式应用及例题解析课件

均均 值 不不 等等 式式基本不等式基本不等式均值均值不等式及应用不等式及应用均值不等式基本不等式均值不等式及应用一、均值不等式均值定理：均值定理：当且仅当当且仅当a=b时，式中等号成立。时，式中等号成立。两个正两个正实数的算数的算术平均平均值大于大于或等于它的几何平均或等于它的几何平均值称为它们的称为它们的几何平均数几何平均数称为正数称为正数a、b的的算术平均数算术平均数一、均值不等式均值定理：当且仅当a=b时，式中等号成立。两个上述推导体现了数学中由一般到特殊的思想上述推导体现了数学中由一般到特殊的思想证明：上述推导体现了数学中由一般到特殊的思想问题问题：均值不等式给出了两个正实数的算术平均数与几何平均数的关系，这个不等式能否推广呢？例如，对于3个正数，会有怎样的不等式成立呢？(前述称为基本均值不等式也称二元均值不等式)类比思想应用类比思想应用定理定理3 三元均值不等式：三元均值不等式：a、b、c N*当且仅当当且仅当a=b=c时，式中等号成立。时，式中等号成立。语言表述：语言表述：三个正三个正实数的算数的算术平均平均值大于或等大于或等于它的几何平均于它的几何平均值问题：均值不等式给出了两个正实数的算术平均数与几何同理三元均值不等式也可由同理三元均值不等式也可由 换元得到，换元得到，只要证明以下不等式成立：只要证明以下不等式成立：证明证明：同理三元均值不等式也可由求差法证明：求差法是不等式证明常用的方法二、均值不等式的推广1、四个均值不等式链平方平均数平方平均数 算数平均数算数平均数 几何平均数几何平均数 调和平均数调和平均数2、正数a1,a2,an(多元均值不等式)二、均值不等式的推广1、四个均值不等式链平方平均数算数3、常见变式三、均值不等式的应用 用不等式证明不等式当两项之积为一个常数直接用均值不等式，用当两项之积为一个常数直接用均值不等式，用a、b代换两数（有积定直接用均值不等式）代换两数（有积定直接用均值不等式）三、均值不等式的应用均值不等式应用及例题解析课件当一个两项之积与另一个两项之积的积是个常数直接用均值不当一个两项之积与另一个两项之积的积是个常数直接用均值不等式等式a、b代换每项内两数，再用不等式两边相乘的基本定理来代换每项内两数，再用不等式两边相乘的基本定理来解（积积定值直接用）解（积积定值直接用）当一个两项之积与另一个两项之积的积是个常数直接用均值不等式a直接用三元均值不等直接用三元均值不等式来解式来解直接用三元均值不等式来解练习练习4：已知已知:a,b,c均为正数均为正数,求证求证:练习4：已知:a,b,c均为正数,求证:二项之积为一个常数直接用二项之积为一个常数直接用均值不等式均值不等式a、b代换即可代换即可.二项之积为一个常数直接用均值不等式a、b代换即可.技巧技巧（构造法），当不等式左边含有元数时，我们采用构构造法），当不等式左边含有元数时，我们采用构造不等式来证明，再不等式两边相乘或相加原理求解。造不等式来证明，再不等式两边相乘或相加原理求解。由基本不等式推出的几个常用构造不等式：由基本不等式推出的几个常用构造不等式：带常数不等式带常数不等式两边乘上两边乘上a或或b都可以构造带都可以构造带元数的不等式元数的不等式技巧（构造法），当不等式左边含有元数时，我们采用构造不等式来证明证明：因为因为所以：两边相加所以：两边相加利用带元数的构造不等式，利用带元数的构造不等式，构造出不等式左边各项所构造出不等式左边各项所带元数，再利用不等式两带元数，再利用不等式两边相乘或相加求解。边相乘或相加求解。证明：因为所以：两边相加利用带元数的构造不等式，构造出不等式不等式分母和右边不等式分母和右边交换，构造不等式交换，构造不等式相加相加不等式分母和右边交换，构造不等式相加二边Xa二边Xb二边X用求差法证明例用求差法证明例4：求差法常用来证明不等式，一般需配求差法常用来证明不等式，一般需配项化为平方差的连加形式，因为项化为平方差的连加形式，因为abc都大于都大于0，这种式子最终都大于，这种式子最终都大于0的的。用求差法证明例4：求差法常用来证明不等式，一般需配项化为平方四、均值不等式的应用 求最值两个两个正数正数的积为的积为常数常数时，它们的和有最小值；时，它们的和有最小值；两个两个正数正数的和为的和为常数常数时，它们的积有最大值。时，它们的积有最大值。均值不等式均值不等式 即：积定和最小，和定积最大，可用于即：积定和最小，和定积最大，可用于最值求解。最值求解。在求最值时必须强调的三个条件：一正，二定，三相等，缺一不可四、均值不等式的应用注意：注意：”一正二定三相等一正二定三相等”是指利用均值不等式是指利用均值不等式 证明或求最值必证明或求最值必 须强调的须强调的三个特殊要求：三个特殊要求：（1）一正：各项都为正数（）一正：各项都为正数（a、b0，由，由ab做成的两项也需做成的两项也需0）（2）二定：两项积为定值，和有最小值）二定：两项积为定值，和有最小值 两项和为定值，积有最大值两项和为定值，积有最大值（3）三相等：求最值时一定要考虑不等式是）三相等：求最值时一定要考虑不等式是 否能取否能取“”，取的值是否在已知的区间内，取的值是否在已知的区间内，否则会出现错误否则会出现错误注：用不等式证明和求最值是必须每步验证是注：用不等式证明和求最值是必须每步验证是否符合否符合注意：”一正二定三相等”是指利用均值不等式ab9a+b6解：解：ab9a+b6解：例例6、（、（1）一个矩形的面积为）一个矩形的面积为100m2，问，问这个矩形的长、宽各为多少时，矩形的周这个矩形的长、宽各为多少时，矩形的周长最短？最短周长是多少？长最短？最短周长是多少？（2）已知矩形的周长为）已知矩形的周长为36m，问这个矩，问这个矩形的长宽各是多少时，它的面积最大？最形的长宽各是多少时，它的面积最大？最大面积是多少？大面积是多少？例6、（1）一个矩形的面积为100m2，问这个矩形的长、宽各解：设矩形长为解：设矩形长为a,宽为宽为b 则则S=ab=100，L=2（a+b）因为因为a+b =20 当且仅当当且仅当a=b=10,a+b=20 所以所以L 40，当，当a=10,b=10时时L最短，为最短，为40.解：设矩形长为解：设矩形长为a,宽为宽为b 则则S=ab，L=2（a+b）=36 因为因为a+b=18 当且仅当当且仅当a=b=9,axb=81 所以所以S 81，当，当a=9,b=9时时S最大，为最大，为81.例例6解：解：解：设矩形长为a,宽为b解：设矩形长为a,宽为b例6解：利用均值不等式求函数最值的步骤利用均值不等式求函数最值的步骤:练习练习1)1)若若x0,f(x)=x0,f(x)=的最小值为的最小值为_;_;此时此时x=_.x=_.解解:因为因为x0 x0,若若x x 0,f(x)=注意注意:各项必须为正数各项必须为正数二边乘二边乘-1不等式要变号不等式要变号注意:各项必须为正数二边乘-1不等式要变号解：函数看不出二项相乘为定值，需要变形使它二项相乘为定值解：函数看不出二项相乘为定值，需要变形使它二项相乘为定值（凑积定）（凑积定）解：函数看不出二项相乘为定值，需要变形使它二项相乘为定值（凑的范围的范围.(2)求函数求函数解：解：（取值需要判别（取值需要判别ab正负，正负，x0是对对数函数的，是对对数函数的，不是对不是对a和和b的）的）的范围.(2)求函数解：（取值需要判别ab正负，x0例例9.函数函数y=(x 0)的最小值的最小值 为为_,此时此时x=_.x=010添项加数（变换、凑系添项加数（变换、凑系数）使它二项相乘为定数）使它二项相乘为定值（凑积定值（凑积定）例9.函数y=最大值最大值 4 (a=b=2)最大值最大值 2(a=1 b=2)最大值最大值8(a=2 b=4)最大值4(a=b=2)最大值2(a=1b=2)最练习练习:1.函数函数 求函数求函数f(x)的最小值的最小值.换元法凑积定：从高次到低次逐步换元法凑积定：从高次到低次逐步用用x+1代入分子的代入分子的x中，边代入边配中，边代入边配项，目的使得有二项相乘为定值，项，目的使得有二项相乘为定值，不管常数。不管常数。练习:1.函数练习练习2 函数函数 求该函数的最大值求该函数的最大值,并求出相并求出相 应应x的值的值.a/4(x=a/8)（凑和定）：二乘积凑（凑和定）：二乘积凑x的系数，使得原乘积的二项的系数，使得原乘积的二项x前的前的系数相同，二项相加时能取消系数相同，二项相加时能取消x变为定值变为定值练习2函数练习练习3最小值最小值 4，当，当2a=b时有时有最小值最小值(a=1/2 b=1)练习3最小值4，当2a=b时有最小值(a=1/2b=1例例11.11.求函数求函数 的最小值的最小值.利用对勾函数利用对勾函数 (t0)的单调性的单调性.5/2(x=0)三不等，改用三不等，改用“单调性单调性”变形变形:例11.求函数的最小值.利用对勾 练习1解答练习2解答例例 1 1:解解:构造三构造三个数相个数相 加等于加等于定值定值.用三元均值不等式求最值用三元均值不等式求最值例1:解:构造三个数相加等于定值.用三元均值不等式均值不等式应用及例题解析课件A、6B、C、9D、12（）CA、6B、C、9D、12（）C例例13 求函数的最小值例13求函数小结：利用均值不等式求最值时注意：小结：利用均值不等式求最值时注意：2、不能直接利用定理时、不能直接利用定理时，注意拆项、配注意拆项、配项凑定值的技巧项凑定值的技巧1、一正、二定、三相等；、一正、二定、三相等；缺一不可缺一不可（拆项时常拆成两个相同项）（拆项时常拆成两个相同项）。小结：利用均值不等式求最值时注意：2、不能直接利用定理时，注 阅读下题的各种解法是否正确，若有错，阅读下题的各种解法是否正确，若有错，指出有错误的地方。指出有错误的地方。五、错题辨析五、错题辨析因为二不定因为二不定阅读下题的各种解法是否正确，若有错，五、错题辨 当且仅当当且仅当即即:时取时取“=”号号正解正解即此时即此时当且仅当即:时取“=”号正解即此时因为二不定a、bR+2、求函数的最小值下面甲、乙、丙三为同学解法谁对？试说明理由甲：由知，则 (错解原因是错解原因是1/x=2/x无法解无法解等号取不到等号取不到)(错解原因是错解原因是不满足积定不满足积定)2、求函数的最小值下面丙：构造三个构造三个数相数相 乘乘等于定值等于定值.注：拆项注：拆项时一般拆时一般拆成二个相成二个相同的项同的项一正一正二定二定三相等三相等丙：构造三个数相乘等于定值.注：拆项时一般拆成二个相同2.若若x0,当当x=时时,函数函数 有最有最 值值 .3.若若x4,函数函数 当当x=时时,函数有最函数有最 值是值是 .1.若若x0,当当x=时时,函数函数 的最小值是的最小值是 .2/3小小125大大-62.若x0,当x=时,函数3.若x44.已知已知 ,则则 的的 最大值为最大值为 ,此时此时x=.5.若若 ,当当x=时时,y=x(5 2x)有最大值有最大值 .6.若若x0,则则 最大值为最大值为 .3/41/25/425/84.已知,则六、一题多解六、一题多解六、一题多解均值不等式应用及例题解析课件均值不等式应用及例题解析课件均值不等式应用及例题解析课件均值不等式应用及例题解析课件七.不等式万能K法求最值方法讲解：方法讲解：方法讲解：方法讲解：方法讲解：方法讲解：方法讲解：方法讲解：方法讲解：方法讲解：方法讲解：方法讲解：方法讲解：方法讲解：方法讲解：方法讲解：方法讲解：方法讲解：方法讲解：方法讲解：方法讲解：方法讲解：方法讲解：方法讲解：方法讲解：方法讲解：方法讲解：方法讲解：方法讲解：方法讲解：完