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义务教育教科书（义务教育教科书（RJRJ）八年级数学下册）八年级数学下册第十七章第十七章 勾股定理勾股定理义务教育教科书（RJ）八年级数学下册第十七章 勾股定下面就让我们通过时光隧道，和古希腊的下面就让我们通过时光隧道，和古希腊的数学家毕达哥拉斯一起来研究这种图形吧。数学家毕达哥拉斯一起来研究这种图形吧。这个是什么图形？这个是什么图形？直角三角形直角三角形情境引入下面就让我们通过时光隧道，和古希腊的数学家毕达哥拉斯A AB B C C 由这三个正方形由这三个正方形A A，B B，C C的边长构成的边长构成的等腰直角三角形三的等腰直角三角形三条边长度之间有怎样条边长度之间有怎样的特殊关系？的特殊关系？【毕达哥拉斯发现毕达哥拉斯发现】三个正方形三个正方形A A，B B，C C 的面积有什么关系？的面积有什么关系？S SA A+S+SB B=S=SC CAB C （图中每个小方格是（图中每个小方格是1 1个单位面积）个单位面积）1.A1.A中含有中含有_个小方格，个小方格，即即A A的面积是的面积是 个单位面积个单位面积B B的面积是的面积是 个单位面积个单位面积C C的面积是的面积是 个单位面积个单位面积9 99 918189 9实验：实验：【探究一探究一】A AB BC C图图1 1结论：结论：图图1 1中三个正方形中三个正方形A A，B B，C C的面积的面积之间的数之间的数量关系是量关系是:S SA A+S+SB B=S=SC C三个正方形三个正方形A A，B B，C C 的面积有什么关系？的面积有什么关系？（图中每个小方格是1个单位面积）1.A中含有_个小方格【探究二探究二】S SA A+S+SB B=S=SC C在图在图2 2中还成立吗？中还成立吗？A AB BC C图图2 2结论：结论：仍然成立。仍然成立。A A的面积是的面积是 个单位面积个单位面积B B的面积是的面积是 个单位面积个单位面积C C的面积是的面积是 个单位面积个单位面积252516169 9 你是怎样得到你是怎样得到正方形正方形C C的面积的的面积的？与同伴交流交？与同伴交流交流流（图中每个小方格是（图中每个小方格是1 1个单位面积）个单位面积）【探究二】ABC图2结论：仍然成立。A的面积是 个A AB BC C问题问题2:2:式子式子S SA A+S+SB B=S=SC C能用直角三能用直角三角形的三边角形的三边a a、b b、c c来表示吗来表示吗?问题问题4:4:那么直角三角形三边那么直角三角形三边a a、b b、c c之间的关系式是之间的关系式是:a ab bc c至此，我们在网格中验证了至此，我们在网格中验证了:直角三角形直角三角形两条直角边上的正两条直角边上的正方形面积之和等于斜边上的正方形面积，即方形面积之和等于斜边上的正方形面积，即S SA A+S+SB B=S=SC Ca a2 2+b+b2 2=c=c2 2a a2 2+b+b2 2=c=c2 2问题问题1:1:去掉网格结论会改变吗？去掉网格结论会改变吗？问题问题3:3:去掉正方形结论会改变吗？去掉正方形结论会改变吗？ABC问题2:式子SA+SB=SC能用直角三角形的三边a、b命题命题1 1：如果直角三角形的两直角边长分如果直角三角形的两直角边长分别为别为a a，b,b,斜边长为斜边长为c c，那么，那么a a2 2+b+b2 2=c=c2 2.a ab bc c我们通过实验猜想：我们通过实验猜想：从特殊到一般的探索方法从特殊到一般的探索方法命题1：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b,斜边长为c，证明方法证明方法 勾股定理是几何学中的明珠，它充满了无勾股定理是几何学中的明珠，它充满了无穷的魅力，千百年来，人们对它的证明趋之若穷的魅力，千百年来，人们对它的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家、画家，也有业余数鹜，其中有著名的数学家、画家，也有业余数学爱好者，有普通的老百姓，也有尊贵的政要学爱好者，有普通的老百姓，也有尊贵的政要权贵，甚至有国家总统。有资料表明，关于勾权贵，甚至有国家总统。有资料表明，关于勾股定理的证明方法已有股定理的证明方法已有500500余种。余种。是不是所有的直角三角形都具有这是不是所有的直角三角形都具有这样的结论呢？光靠实验和猜想还不能把样的结论呢？光靠实验和猜想还不能把问题彻底搞清楚。问题彻底搞清楚。证明方法 勾股定理是几何学中的明珠，它充满了无穷的魅力【经典证明经典证明】拼图证明拼图证明 这就需要我们对一般的直角三角形这就需要我们对一般的直角三角形进行证明下面我们就一起来探究，看进行证明下面我们就一起来探究，看一看我国古代数学家一看我国古代数学家赵爽赵爽是怎样证明这是怎样证明这个命题的个命题的【经典证明】拼图证明 这就需要我们对一般的直角三角形进 以直角三角形的两条直角边以直角三角形的两条直角边a a、b b为边作两个正方为边作两个正方形，把两个正方形如图形，把两个正方形如图1 1连在一起，通过连在一起，通过剪、拼剪、拼把它把它拼成图拼成图2 2的样子。的样子。你能做到吗？试试看。你能做到吗？试试看。赵爽拼图证明法：赵爽拼图证明法：c c小组活动小组活动：仿照课本中赵爽的思路，只剪两刀，仿照课本中赵爽的思路，只剪两刀，将两个连体正方形，拼成一个新的正方形将两个连体正方形，拼成一个新的正方形.图图1 1黄实黄实朱实朱实朱实朱实朱实朱实朱实朱实朱实朱实朱实朱实朱实朱实朱实朱实图图2 2c c 以直角三角形的两条直角边a、b为边作两个正方形，把两黄实黄实朱实朱实朱实朱实朱实朱实朱实朱实朱实朱实朱实朱实朱实朱实朱实朱实b a M MN NP P剪、拼过程展示：剪、拼过程展示：黄实朱实朱实朱实朱实b a MNP剪、拼过程展示：“赵爽弦图赵爽弦图”黄实黄实朱实朱实朱实朱实朱实朱实朱实朱实朱实朱实朱实朱实朱实朱实朱实朱实c ca ab b“赵爽弦图”黄实朱实朱实朱实朱实cab“赵爽弦图赵爽弦图”表现了我国古人对数学的钻研表现了我国古人对数学的钻研精神和聪明才智，是我国古代数学的骄傲。精神和聪明才智，是我国古代数学的骄傲。因此，当因此，当 20022002年第年第2424届国际数学家大会在北届国际数学家大会在北京召开时，京召开时，“赵爽弦图赵爽弦图”被选作大会会徽。被选作大会会徽。“赵爽弦图”表现了我国古人对数学的钻研精神和聪明才智，是我国 现在，我们已经证明了命题现在，我们已经证明了命题1 1的正确性，的正确性，在数学上，经过证明被确认为正确的命题叫在数学上，经过证明被确认为正确的命题叫做定理，所以命题做定理，所以命题1 1在我国叫做在我国叫做勾股定理勾股定理。勾股定理：如果直角三角形两直角边长分勾股定理：如果直角三角形两直角边长分别为别为a a、b,b,斜边长为斜边长为c c，那么，那么 a a2 2+b+b2 2=c=c2 2即：即：直角三角形两直角边的平方和等于斜直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。边的平方。现在，我们已经证明了命题1的正确性，在数学上，经过证原来在中国古代，人们把弯曲原来在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为成直角的手臂的上半部分称为“勾勾”，下半部分称为，下半部分称为“股股”。于是我国古代学者就把直角三于是我国古代学者就把直角三角形中较短直角边称为角形中较短直角边称为“勾勾”，较长直角边称为，较长直角边称为“股股”，斜，斜边称为边称为“弦弦”.由于命题由于命题1 1反映反映的正好是直角三角形三边的关的正好是直角三角形三边的关系，所以叫做勾股定理。系，所以叫做勾股定理。勾勾股股国外又叫国外又叫毕达哥拉斯定理毕达哥拉斯定理为什么叫勾股定理这个名称呢？为什么叫勾股定理这个名称呢？原来在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为“勾”，1 1、已知、已知RtRtABCABC中，直角边分别是中，直角边分别是a a，b b，斜边是，斜边是c.c.（1 1）a=5a=5，b=12b=12，c=c=.（2 2）b=4/5b=4/5，c=1c=1，a=a=.（3 3）a=3cma=3cm，b=4cmb=4cm，c=c=.（4 4）a=2ma=2m，b=5nb=5n，c=c=.【定理应用一定理应用一】求第三边求第三边1、已知RtABC中，直角边分别是a，b，斜边是c.【定理2 2、已知、已知RtRtABCABC中，中，a=3a=3，b=4b=4，则第三边，则第三边c=c=.练习：练习：已知已知RtRtABCABC中，中，a=5a=5，b=2b=2，则第三边，则第三边c=c=.【定理应用一定理应用一】求第三边求第三边2、已知RtABC中，a=3，b=4，则第三边c=求出下列直角三角形中未知边的长度求出下列直角三角形中未知边的长度.=12=12A A6 68 8x xC CB B5 5y y1313C CA AB B=10=10【练习练习】3 3x x5 524242525x x=4=4=7=7课本课本2424页练习页练习求出下列直角三角形中未知边的长度.=12A68xCB5y131 1、图中已知数据表示面积，求表示边的未、图中已知数据表示面积，求表示边的未知数知数x x、y y的值的值.9 91616x xy y144144169169【定理应用二定理应用二】求面积求面积=25=25=25=251、图中已知数据表示面积，求表示边的未知数x、y的值.912 2、求下列图中字母所表示的正方形的面积、求下列图中字母所表示的正方形的面积.=625=625225225400400A A2252258181B B=144=144【定理应用二定理应用二】求面积求面积2、求下列图中字母所表示的正方形的面积.=6252254003 3、已知、已知S S1 1=1=1，S S2 2=3=3，S S3 3=2=2，S S4 4=4,=4,求求S S5 5 、S S6 6 、S S7 7的值的值.s s3 3【定理应用二定理应用二】求面积求面积S S5 5=1+3=4=1+3=4S S6 6=2+4=2+4=6 6S S7 7=4+=4+6 6=10103、已知S1=1，S2=3，S3=2，S4=4,11美丽的勾股树美丽的勾股树11美丽的勾股树本节课我们学到了什么？本节课我们学到了什么？通过学习通过学习,我们知道了著名的勾股定理，掌我们知道了著名的勾股定理，掌握了握了从特殊到一般的探索方法，从特殊到一般的探索方法，还学会到了还学会到了拼拼图证明图证明的方法。利用勾股定理可以求相关的直的方法。利用勾股定理可以求相关的直角三角形的边的长度和面积问题角三角形的边的长度和面积问题.本节课我们学到了什么？通过学习,我们知道了著名的勾股定理3 3、已知直角三角形的斜边长、已知直角三角形的斜边长6161，一条直角边长，一条直角边长6060，另一条直角边是，另一条直角边是 。“洋葱杯洋葱杯”勾股定理速算大赛勾股定理速算大赛1 1、已知直角三角形的两直角边分别是、已知直角三角形的两直角边分别是2525、60,60,斜边长是斜边长是 。2 2、已知直角三角形的两直角边分别是、已知直角三角形的两直角边分别是5252、65,65,斜边长是斜边长是 。3、已知直角三角形的斜边长61，一条直角边长60，另一条直角我们也我们也“PK”PK”1 1、已知直角三角形的两直角边分别是、已知直角三角形的两直角边分别是9 9、12,12,斜边长是斜边长是 。2 2、在、在RtRtABCABC中，中，C=90C=90，周长为，周长为900900，斜，斜边与一直角边比是边与一直角边比是13:5,13:5,则三角形的三边长是则三角形的三边长是 。我们也“PK”1、已知直角三角形的两直角边分别是9、12,斜
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