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8.4三元一次方程组及其解法8.4三元一次方程组及其解法（1 1）回顾解二元一次方程组的思路。）回顾解二元一次方程组的思路。二元一次方程组二元一次方程组一元一次方程一元一次方程消元消元（2 2）消元方法：）消元方法：代入法（代入消元法）代入法（代入消元法）加减法（加减消元法）加减法（加减消元法）（1）回顾解二元一次方程组的思路。二元一次方程组一元一次方程 小明手头有小明手头有1212张面额分别为张面额分别为1 1元、元、2 2元、元、5 5元的纸币，共计元的纸币，共计2222元，其中元，其中1 1元纸币的数量是元纸币的数量是2 2元纸币数量的元纸币数量的4 4倍倍.求求1 1元、元、2 2元、元、5 5元元纸币各多少张纸币各多少张.问题中含有几个未知数？有几个相问题中含有几个未知数？有几个相等关系？等关系？小明手头有12张面额分别为1元、2元、5元的纸币，共小明手头有小明手头有1212张面额分别为张面额分别为1 1元、元、2 2元、元、5 5元的纸币，共计元的纸币，共计2222元，元，其中其中1 1元纸币的数量是元纸币的数量是2 2元纸币数量的元纸币数量的4 4倍倍.求求1 1元、元、2 2元、元、5 5元纸币元纸币各多少张各多少张.分析分析1 1元纸币张数元纸币张数2 2元纸币张数元纸币张数5 5元纸币张数元纸币张数1212张，张，1 1元纸币的张数元纸币的张数2 2元纸币的张数的元纸币的张数的4 4倍，倍，1 1元的金额元的金额2 2元的金额元的金额5 5元的金额元的金额2222元元.三三三三（1 1）这个问题中包含有）这个问题中包含有 个未知数个未知数 ：（2 2）这个问题中包含有）这个问题中包含有 个相等关系：个相等关系：1 1元、元、2 2元、元、5 5元纸币的张数元纸币的张数.小明手头有12张面额分别为1元、2元、5元的纸币，共计22元设设1 1元、元、2 2元、元、5 5元的纸币分别为元的纸币分别为x x张、张、y y张、张、z z张张.根据题意，可以得到下面三个方程：根据题意，可以得到下面三个方程：x+y+z=12x+y+z=12x=4yx=4yx+2y+5z=22x+2y+5z=22你能根据等量关系列出方程吗你能根据等量关系列出方程吗?设1元、2元、5元的纸币分别为x张、y张、z张.根据题意，可x+y+z=12x+y+z=12x=4yx=4yx+2y+5z=22x+2y+5z=22观察方程观察方程、你能得出什么？你能得出什么？都含有三个未知数，并且含有未知数的项的都含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是次数都是1 1，像这样的整式方程叫做，像这样的整式方程叫做三元一次方程三元一次方程.x+y+z=12观察方程、你能得出什么？都这个问题的解必须同时满足上面三个条件，因此，我们把这三这个问题的解必须同时满足上面三个条件，因此，我们把这三个方程合在一起，写成个方程合在一起，写成x+y+z=12x+y+z=12，x=4yx=4y，x+2y+5z=22.x+2y+5z=22.由三个一次方程组成的含三个未知数方程组，叫做由三个一次方程组成的含三个未知数方程组，叫做三元一次三元一次方程组方程组.这个问题的解必须同时满足上面三个条件，因此，我们把这三个方程判断下列方程组是不是三元一次方程组判断下列方程组是不是三元一次方程组?方程个数一定是方程个数一定是三个三个 方程中含有未知数的方程中含有未知数的个数个数是是三个三个 判断下列方程组是不是三元一次方程组?方程个数一定是三个 方 方程中含有未知数的项的方程中含有未知数的项的次数次数都是都是一次一次方程组中一共有方程组中一共有三个三个未知数未知数 x+y=20 x+y=20 y+z=19 y+z=19 x+z=21 x+z=21 方程中含有未知数的项的次数都是一次方程组中一共三元一次方程组三元一次方程组 一元一次方程一元一次方程 二元一次方程组二元一次方程组1.1.化化“三元三元”为为“二元二元”总总结结消元消元消元消元三元一次方程组求法步骤：三元一次方程组求法步骤：2.2.化化“二元二元”为为“一元一元”怎样解三元一次方程组？怎样解三元一次方程组？（也就是消去一个未知数）（也就是消去一个未知数）三元一次方程组 一元一次方程 二元一次方程组1.化“三元”为观察方程组：观察方程组：仿照前面学过的代入法，可以把仿照前面学过的代入法，可以把分别代入分别代入，得到，得到两个只含两个只含y y，z z的方程的方程 观察方程组：仿照前面学过的代入法，可以把分别代入，得 解方程组解方程组2x+2z=2，得得1.1.化化“三元三元”为为“二元二元”考虑消去哪个未知数（也就是三个未知数要去掉哪一个考虑消去哪个未知数（也就是三个未知数要去掉哪一个?）2.2.化化“二元二元”为为“一元一元”。x-z=4 解法一解法一：消去：消去y y 解方程组2x+2z=2，得1.解法二解法二：消去：消去x x由由得，得，x=z+4 x=z+4 把把代入代入、得，得，2z+y=-2 2z+y=-2 2z-y=-4 2z-y=-4 （z+4)+y+z=2 z+4)+y+z=2 (z+4)-y+z=0 (z+4)-y+z=0 化简得，化简得，解法二：消去x由得，x=z+4 把代入、解：解：，得得2x+2z=2 ,2x+2z=2 ,化简，得化简，得x+z=1x+z=1 +,+,得得把把 代入代入，得得x x=2x=5 2x=5 x-z=4 x-z=4 x+z=1 x+z=1 ,把把代入代入，得得y=1所以，原方程组的解是所以，原方程组的解是 解：，得2x+2z=2 ,化简，得x+z=1 分析：分析：方程方程中只含中只含x,z,x,z,因此，可以由因此，可以由消去消去y y，得到一个，得到一个只含只含x x，z z的方程，与的方程，与方程方程组成一个二元组成一个二元一次方程组一次方程组 解方程组解方程组3x3x4z=7 4z=7 2x2x3y3yz=9 z=9 5x5x9y9y7z=8 7z=8 解：解：解：解：3333 ，得，得，得，得 11x11x11x11x10z=35 10z=35 10z=35 10z=35 与与与与组成方程组组成方程组组成方程组组成方程组3x3x4z=74z=711x11x10z=3510z=35解这个方程组，得解这个方程组，得解这个方程组，得解这个方程组，得X=5X=5Z=-2Z=-2把把把把x x x x5 5 5 5，z z z z-2-2-2-2代入代入代入代入，得，得，得，得y=y=y=y=因此，三元一次方程组的解为因此，三元一次方程组的解为因此，三元一次方程组的解为因此，三元一次方程组的解为X=5X=5Y=Y=Z=-2Z=-2分析：方程中只含x,z,因此，可以由消去y，得到一个只在等式在等式 y=axy=ax2 2bxbxc c中中,当当x=-1x=-1时时,y=0;,y=0;当当x=2x=2时时,y=3;,y=3;当当x=5x=5时时,y=60.,y=60.求求a,b,ca,b,c的值的值.解：根据题意，得三元一次方程组解：根据题意，得三元一次方程组a ab bc=0c=0，4a4a2b2bc=3c=3，25a25a5b5bc=60.c=60.，得得 a ab=1 b=1 ，得，得 4a4ab=10 b=10 与与组成二元一次方程组组成二元一次方程组a ab=1b=1，4a4ab=10.b=10.a=3a=3，b=-2.b=-2.解这个方程组，得解这个方程组，得把把 代入代入，得，得a=3a=3，b=-2.b=-2.c=-5c=-5a=3a=3，b=-2b=-2，c=-5.c=-5.因此因此在等式 y=ax2bxc中,当x=-1时,y=0;当x=1.1.化化“三元三元”为为“二元二元”解：解：，得，得2.2.化化“二元二元”为为“一元一元”解方程组解方程组原方程组中有哪个原方程组中有哪个方程还没有用到？方程还没有用到？可不可以不用可不可以不用？1.化“三元”为“二元”解：，得 解方程组解方程组解解:-，得，得 +，得，得 所以所以,原方程组的解是原方程组的解是 把把 x=1 x=1 代入方程代入方程、，分别得，分别得还有其他方法吗 解方程组解:-，得+，得 所 也可以这样解也可以这样解:+,+,得得即，即，,得得,得得 ，得，得 所以，原方程组的解是所以，原方程组的解是 也可以这样解:+,得即，,得,得2.2.三元一次方程组的解法三元一次方程组的解法三元一次方程三元一次方程组组消元消元二元一次方二元一次方程组程组消元消元一元一次方程一元一次方程通过本课时的学习，需要我们掌握：通过本课时的学习，需要我们掌握：1 1、三元一次方程组的概念、三元一次方程组的概念2.三元一次方程组的解法三元一次方程组消元二元一次方程组消元1.1.解二元一次方程组的基本思路解二元一次方程组的基本思路:解二元一次方程组解二元一次方程组 消元转化消元转化(代入代入消元、消元、加减加减消元消元)解一元一次方程解一元一次方程2 2.解三元一次方程组也通过解三元一次方程组也通过消元消元 将将三元三元转化转化为为二元二元再再转化转化为为解一元一次方程一元一次方程1.解二元一次方程组的基本思路:解二元一次方程组 1.1.解方程组解方程组 则则x x_，y y_，z z_._.x xy yz z1111，y yz zx x5 5，z zx xy y1.1.【解析解析】通过观察未知数的系数，可采取通过观察未知数的系数，可采取 +求出求出y y，+求出求出z z，最后再将，最后再将y y与与z z的值代入任何一个方程求出的值代入任何一个方程求出x x即可即可.【答案答案】6 8 36 8 3当堂练习1.解方程组 xyz2.2.若若x x2y2y3z3z1010，4x4x3y3y2z2z1515，则，则x xy yz z的值为（的值为（）A.2 B.3 C.4 D.5A.2 B.3 C.4 D.5【解析解析】选选D.D.通过观察未知数的系数，可采取两个方程相加得，通过观察未知数的系数，可采取两个方程相加得，5x+5y+5z=255x+5y+5z=25，所以，所以x+y+z=5.x+y+z=5.2.若x2y3z10，4x3y2z15，则xy
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