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小学五年级奥数第一讲第一讲 -平均数问题平均数问题第一讲 专题简析专题简析：把几个不相等的数，在总数不变的条件下，通过移把几个不相等的数，在总数不变的条件下，通过移多补少，使它们完全相等，求得的相等的数就是平多补少，使它们完全相等，求得的相等的数就是平均数。均数。如何灵活运用平均数的数量关系解答一些稍复杂的如何灵活运用平均数的数量关系解答一些稍复杂的问题呢？问题呢？下面的数量关系必须牢记：平均数=总数量总份数 总数量=平均数总份数 总份数=总数量平均数专题简析：例例1 有有4箱水果，已知苹果、梨、橘子平均每箱箱水果，已知苹果、梨、橘子平均每箱42个，梨、橘子、桃平均每箱个，梨、橘子、桃平均每箱36个，苹果和桃平均个，苹果和桃平均每箱每箱37个。一箱苹果多少个？个。一箱苹果多少个？分析与解答：（分析与解答：（1）1箱苹果箱苹果1箱梨箱梨1箱橘子箱橘子=423=136（个）；（个）；（2）1箱桃箱桃1箱梨箱梨1箱橘子箱橘子=363=108（个）（个）（3）1箱苹果箱苹果1箱桃箱桃=372=72（个）（个）由（由（1）（）（2）两个等式可知：）两个等式可知：1箱苹果比箱苹果比1箱桃多箱桃多126108=18（个），再根据等式（个），再根据等式（3）就可以算出：）就可以算出：1箱桃有（箱桃有（7418）2=28（个），（个），1箱苹果有箱苹果有2818=461箱苹果和1箱桃共有多少个：372=74（个）1箱苹果比1箱桃多多少个：42336=18（个）1箱苹果有多少个：2818=46（个）例1 有4箱水果，已知苹果、梨、橘子平均每箱42个，梨、橘练练 习习 一一1，一次考试，甲、乙、丙三人平均分，一次考试，甲、乙、丙三人平均分91分，乙、丙、丁三分，乙、丙、丁三人平均分人平均分89分，甲、丁二人平均分分，甲、丁二人平均分95分。问：甲、丁各得分。问：甲、丁各得多少分？多少分？2，甲、乙、丙、丁四人称体重，乙、丙、丁三人共重，甲、乙、丙、丁四人称体重，乙、丙、丁三人共重120千克，甲、丙、丁三人共重千克，甲、丙、丁三人共重126千克，丙、丁二人的平均体千克，丙、丁二人的平均体重是重是40千克。求四人的平均体重是多少千克？千克。求四人的平均体重是多少千克？913-893=6（分）（分）（952+6）2=98（分）（分）（甲）（甲）98-6=92（乙）（乙）120-402=40（千克）（千克）（乙）（乙）126-402=46(千克）千克）（甲）（甲）（40+402+46）4=41.5（千克）（千克）练 习 一1，一次考试，甲、乙、丙三人平均分91分，乙例例2 一次数学测验，全班平均分是一次数学测验，全班平均分是91.2分，已知分，已知女生有女生有21人，平均每人人，平均每人92分；男生平均每人分；男生平均每人90.5分。求这个班男生有多少人？分。求这个班男生有多少人？分析：女生每人比全班平均分高分析：女生每人比全班平均分高9291.2=0.8（分），（分），而男生每人比全班平均分低而男生每人比全班平均分低91.290.5=0.7（分）。全（分）。全体女生高出全班平均分体女生高出全班平均分0.821=16.8（分），应补给每（分），应补给每个男生个男生0.7分，分，16.8里包含有里包含有24个个0.7，即全班有，即全班有24个男个男生。生。例2 一次数学测验，全班平均分是91.2分，已知女生有21练练 习习 二二1，有两块棉田，平均每，有两块棉田，平均每100平方米产量是平方米产量是92.5千克，已知千克，已知一块地是一块地是500平方米，平均每平方米，平均每100平方米产量是平方米产量是101.5千克；千克；另一块田平均每另一块田平均每100平方米产量是平方米产量是85千克。这块田是多少千克。这块田是多少平方米？平方米？2，把甲级和乙级糖混在一起，平均每千克卖，把甲级和乙级糖混在一起，平均每千克卖7元，乙知甲元，乙知甲级糖有级糖有4千克，平均每千克千克，平均每千克8元；乙级糖有元；乙级糖有2千克，平均每千克，平均每千克多少元？千克多少元？（101.5-92.5）5（92.5-85）100=600（平方米（平方米）7（4+2）-48=10（元）（元）102=5（千克）（千克）或或4(8-7)2=2(千克）千克）7-2=5（千克（千克）练 习 二1，有两块棉田，平均每100平方米产量是92例例3：小李读一本小说，第一天读：小李读一本小说，第一天读74页，第二天读页，第二天读82页，第三天读了页，第三天读了63页，第四天读了页，第四天读了63页，第页，第5天读的天读的页数比这页数比这5天的平均数少天的平均数少6页，第页，第5天读了多少页？天读了多少页？前4天平均每天读：（74+82+71+63）4=72.5第5天比5天中平均数少6页，平均分给前4天，64=1.572.5-1.5-6=65例3：小李读一本小说，第一天读74页，第二天读82页练练习习三三1，两组同学跳绳，第一组有，两组同学跳绳，第一组有30人，平均每人跳人，平均每人跳60下；第二下；第二组有组有25人，平均每人比两组同学跳的平均数多人，平均每人比两组同学跳的平均数多6下，两组同下，两组同学平均每人跳几下？学平均每人跳几下？2，数学兴趣小组里有，数学兴趣小组里有4名女生和名女生和3名男生，在一次数学竞赛名男生，在一次数学竞赛中，女生的平均分是中，女生的平均分是90分，男生的平均分比全组的平均分低分，男生的平均分比全组的平均分低2分，全组的平均分是多少分？分，全组的平均分是多少分？25630+60=65（下）（下）（904-32）（7-3)=88.5(分）分）练习三25630+60=65（下）（904-32）例例4：一位同学在期中测试中，除了数学外，其他几门：一位同学在期中测试中，除了数学外，其他几门功课的平均成绩是功课的平均成绩是94分，如果数学算在内，平均成绩是分，如果数学算在内，平均成绩是95分，已知他数学得了分，已知他数学得了100分，问这个同学一共考了多分，问这个同学一共考了多少门功课？少门功课？（100-95）（95-94）=5（门）5+1=6（门）100分比分比95分多的分多的5分，这分，这5分必须不给其他几门功课中去，分必须不给其他几门功课中去，使平均分变为使平均分变为95分。分。95-94=1,5里面有里面有5个个1，除数学外有，除数学外有5门学科。门学科。例4：一位同学在期中测试中，除了数学外，其他几门功课的平均成练练习习四四1、小明前几次数学测验的平均成绩是小明前几次数学测验的平均成绩是84分，这次分，这次要考要考100分，才能把平均成绩提高到分，才能把平均成绩提高到86分。问这是分。问这是他第几次测验？他第几次测验？2、老师带着几个同学在做花，老师做了、老师带着几个同学在做花，老师做了21朵，同朵，同学平均每人做了学平均每人做了5朵。如果师生合起来算，正好平朵。如果师生合起来算，正好平均每人做了均每人做了7朵。求有多少个同学在做花？朵。求有多少个同学在做花？(100-84)(86-84)=8(次）（21-7）（7-5）=7（人）练习四1、小明前几次数学测验的平均成绩是84分，这次要考10例例5：小亮在期末考试中，政治、语文、数学、英语、：小亮在期末考试中，政治、语文、数学、英语、自然五科的平均分是自然五科的平均分是89分，政治、数学两科平均分，政治、数学两科平均91.5分，分，语文、英语两科平均分是语文、英语两科平均分是84分，政治，英语两科平均分分，政治，英语两科平均分是是86，英语比语文多，英语比语文多10分，小亮各科的成绩是多少分？分，小亮各科的成绩是多少分？语文：（842-10）2=79英语：79+10=89政治：862-89=83数学：91.52-83=100自然：895-79-89-83-100=94例5：小亮在期末考试中，政治、语文、数学、英语、自然五科练练习习五五1、甲、乙、丙三个数的平均数是、甲、乙、丙三个数的平均数是82，甲、乙两数的平均，甲、乙两数的平均数是数是86，乙、丙两数的平均数是，乙、丙两数的平均数是77。乙数是多少？甲、丙。乙数是多少？甲、丙两个数的平均数是多少？两个数的平均数是多少？2，小华的前几次数学测验的平均成绩是，小华的前几次数学测验的平均成绩是80分，这一次得了分，这一次得了100分，正好把这几次的平均分提高到分，正好把这几次的平均分提高到85分。这一次是他第分。这一次是他第几次测验？几次测验？823-772=92 （甲）（甲）823-862=74 （丙）（丙）823-92-74=80 （乙）（乙）（92+74）2=83（100-80）（85-80）=4（次）（次）练习五1、甲、乙、丙三个数的平均数是82，甲、乙两数的平均数综综合合训训练练1，甲、乙、丙三个小组的同学去植树，甲、乙两组平均每组植树，甲、乙、丙三个小组的同学去植树，甲、乙两组平均每组植树18棵，甲、棵，甲、丙两组平均每组植树丙两组平均每组植树17棵，乙、丙两组平均每组植树棵，乙、丙两组平均每组植树19棵。三个小组各植棵。三个小组各植树多少棵？树多少棵？2、两组学生进行跳绳比赛，平均每人跳、两组学生进行跳绳比赛，平均每人跳152下。甲组有下。甲组有6人，平均每人跳人，平均每人跳140下，乙组平均每人跳下，乙组平均每人跳160下。乙组有多少人？下。乙组有多少人？3、一个技术工带、一个技术工带4个普通工人完成了一项任务，每个普通工人各得个普通工人完成了一项任务，每个普通工人各得200元，元，这位技术工人的收入比他们这位技术工人的收入比他们5人的平均收入还多人的平均收入还多80元。问这位技术工得多少元。问这位技术工得多少元？元？4、小明前五次的数学测验的平均成绩是、小明前五次的数学测验的平均成绩是88分。为了使平均成绩达到分。为了使平均成绩达到92.5分，分，小明要连续考多少次满分？小明要连续考多少次满分？五个数排一排，平均数是五个数排一排，平均数是9。如果前四个数的平均数是。如果前四个数的平均数是7，后四个数的平均，后四个数的平均数是数是10，那么，第一个数和第五个数的平均数是多少？，那么，第一个数和第五个数的平均数是多少？5、十名参赛者的平均分是、十名参赛者的平均分是82分，前分，前6人的平均分是人的平均分是83分，后分，后6人的平均分是人的平均分是80分。那么第分。那么第5人和第人和第6人的平均分是多少分？人的平均分是多少分？综合训练1，甲、乙、丙三个小组的同学去植树，甲、乙两组平均每 第二讲第二讲 -等差数列求和等差数列求和 第二讲小故事小故事 一位教师布置了一道很繁杂的计算题，要求学生把一位教师布置了一道很繁杂的计算题，要求学生把1到到 100的所有整的所有整数加起来，教师刚叙述完题目，一位小男孩即刻把写着答案的小石板交数加起来，教师刚叙述完题目，一位小男孩即刻把写着答案的小石板交了上去。了上去。1+2+3+4+.+98+99+100=?老师起初并不在意这一举动，心想这个小家伙又在捣乱，但当他发现老师起初并不在意这一举动，心想这个小家伙又在捣乱，但当他发现全班全班唯一正确的答案属于那个男孩唯一正确的答案属于那个男孩时，才大吃一惊。时，才大吃一惊。而更使人吃惊的是而更使人吃惊的是男孩的算法男孩的算法.小故事 一位教师布置了一道很繁杂的计算题，要求小故事小故事 老师发现：第一个数加最后一个老师发现：第一个数加最后一个数是数是101，第二个数加倒数第二个数，第二个数加倒数第二个数的和也是的和也是101，共有共有50对这样的对这样的数，用数，用101乘以乘以50得到得到5050。这种算。这种算法是教师未曾教过的计算等级数的方法是教师未曾教过的计算等级数的方法，高斯的才华使老师法，高斯的才华使老师彪特耐尔彪特耐尔十分激动，下课后特地向校长汇报，十分激动，下课后特地向校长汇报，并声称自己已经没有什么可教这位男并声称自己已经没有什么可教这位男孩的了。孩的了。卡尔卡尔弗里德里希弗里德里希高斯高斯 此男孩叫高斯，是德国数学家、此男孩叫高斯，是德国数学家、天文学家和物理学家，被誉为历史天文学家和物理学家，被誉为历史上伟大的数学家之一，和阿基米德、上伟大的数学家之一，和阿基米德、牛顿并列，同享盛名。牛顿并列，同享盛名。小故事 老师发现：第一个数加最后一个数是101第一讲第一讲 四则运算四则运算（等差数列求和）（一）（等差数列求和）（一）第一讲 四则运算一、等差数列的基本知识一、等差数列的基本知识一、等差数列的基本知识（1 1）1 1、2 2、3 3、4 4、5 5、66（2 2）2 2、4 4、6 6、8 8、1010、1212（3 3）5 5、1010、1515、2020、2525、3030 像这样按照一定规律排列成的一列数我们称它为像这样按照一定规律排列成的一列数我们称它为数列数列数列中的每一个数称为数列中的每一个数称为一一项项；第第1 1项称为项称为首项首项；最后最后1 1项称为项称为末项末项；在第几个位置上的数就叫在第几个位置上的数就叫第几项第几项；有多少项称为有多少项称为项数项数；（一）数列的基本知识（一）数列的基本知识（1）1、2、3、4、5、6（一）数列的基本知识（二）等差数列的基本知识（二）等差数列的基本知识（1）1、2、3、4、5、6 （2）2、4、6、8、10、12 （3）5、10、15、20、25、30 （公差（公差=1）（公差（公差=2）（公差（公差=5）通过观察，我们可以发现上面的每一个通过观察，我们可以发现上面的每一个数列中，从第一项开始，后项与前项的差数列中，从第一项开始，后项与前项的差都相等的，具有这样特征的数列称为都相等的，具有这样特征的数列称为等差等差数列数列，这个差称为这个数列的，这个差称为这个数列的公差公差。（二）等差数列的基本知识（1）1、2、3、4、5、6 二、等差数列的项二、等差数列的项二、等差数列的项数列：数列：1、3、5、7、9、11第第2项：项：3=1+2 首项首项+公差公差1（2-1）第第3项：项：5=1+2 2 首项首项+公差公差2（3-1）第第4项：项：7=1+2 3 首项首项+公差公差3（4-1）第第5项：项：9=1+2 4 首项首项+公差公差4（5-1）第第6项：项：11=1+2 5 首项首项+公差公差5（6-1）等差数列的通项公式：等差数列的通项公式：等差数列的某一项等差数列的某一项=首项首项+公差公差（项数（项数-1 1）等差数列的末项等差数列的末项=首项首项+公差公差（项数（项数-1 1）等差数列的首项等差数列的首项=末项末项-公差公差（项数（项数-1）适用条件：适用条件：该数列一定要为等差数列该数列一定要为等差数列数列：1、3、5、7、9、11第2项：3=1+2 等差数列的某一项等差数列的某一项=首项首项+公差公差（项数（项数-1）例例1 已知数列已知数列2、5、8、11、14求：（求：（1）它的第）它的第10项是多少？项是多少？（2）它的第）它的第98项是多少？项是多少？（3）这个数列各项被几除有相同的余数？）这个数列各项被几除有相同的余数？分析：首项分析：首项=2 公差公差=3解：（解：（1）第）第10项：项：2+3（10-1）=29 （2）第）第98项：项：2+3（98-1）=293 等差数列的某一项=首项+公差（项数-1）例1 已知数列2、例例2 2、3636个小学生排成一排玩报数游戏，后一个同学个小学生排成一排玩报数游戏，后一个同学报的数总比前一个同学多报报的数总比前一个同学多报8 8，已知最后一个同学报，已知最后一个同学报的数是的数是286286，第一个同学报的数是几，第一个同学报的数是几？分析，从题意可知，同学们报数是一个等差数列，要求分析，从题意可知，同学们报数是一个等差数列，要求第一个，也就是首项，可以用公式，进行计算。第一个，也就是首项，可以用公式，进行计算。286-（36-1）8=6首项首项=末项末项-（项数（项数-1）公差公差例2、36个小学生排成一排玩报数游戏，后一个同学报的数总比前练习练习：1、仓库例有一叠被编上号的书，共、仓库例有一叠被编上号的书，共40本，已本，已知每下面一本书都比上面一本书的编号多知每下面一本书都比上面一本书的编号多5，最后一本书的编号是最后一本书的编号是225，第一本书的编号是，第一本书的编号是几？几？2、学校举办运动会，共、学校举办运动会，共54人参加，每个人都人参加，每个人都有参赛号码，已知前一个人的号码比后一个有参赛号码，已知前一个人的号码比后一个人的号码总是少人的号码总是少4，最后一个人的号码是，最后一个人的号码是215，第一个人的号码是多少？，第一个人的号码是多少？225-5（40-1）=30215-4（54-1）=3练习：225-5（40-1）=30215-4（54-1）小结：小结：等差数列项的有关规律等差数列项的有关规律等差数列的某一项等差数列的某一项=首项首项+公差公差（项数（项数-1）等差数列的每等差数列的每1项除以它的公差，余数相同。项除以它的公差，余数相同。等差数列的项数等差数列的项数=（末项（末项-首项）首项）公差公差+1小结：等差数列项的有关规律等差数列的某一项=首项+公差（项练习练习1、一串数：、一串数：1、3、5、7、9、49。（。（1）它的第）它的第21项是多少项是多少?（2）这串数共有多少个？）这串数共有多少个？2、一串数：、一串数：2、4、6、8、2008。（。（1）它的第）它的第25项是多少项是多少?（2）这串数共有多少个？）这串数共有多少个？3、一串数：、一串数：101、102、103、104、199。（。（1）它的第它的第30项是多少项是多少?（2）这串数共有多少个？）这串数共有多少个？4、一串数：、一串数：7、12、17、22。（。（1）它的第）它的第60项项是多少是多少?（2）这个数列各项被几除有相同的余数？）这个数列各项被几除有相同的余数？练习1、一串数：1、3、5、7、9、49。（1）它的第2例例4：一批货物，上面的标号是按等差数列排列一批货物，上面的标号是按等差数列排列的。第的。第1项是项是3.6，第，第5项是项是12，求它的第，求它的第2项。项。分析，要求第分析，要求第2项，必须先求出这个等差数列的公项，必须先求出这个等差数列的公差是多少？（差是多少？（12-3.6）（5-1）=2.1再根据求某一项的公式求出第再根据求某一项的公式求出第2项。项。3.6+（2-1）2.1=5.7公差公差=（末项（末项-首项）首项）（项数（项数-1）例4：一批货物，上面的标号是按等差数列排列的。第1项是3.6练习练习：1、一个等差数列的第、一个等差数列的第1项是项是1.2，第，第8项是项是9.6,1求它的第求它的第10项。项。2、一个等差数列的第一项是、一个等差数列的第一项是2.4，第，第7项是项是26.4,求它的第求它的第5项。项。（9.6-1.2）（8-1）=1.21.2+1.2（10-1）=12（26.4-2.4）（7-1）=42.4+4（5-1）=18.4练习：（9.6-1.2）（8-1）=1.2（26.4-2.二、等差数列的和二、等差数列的和二、等差数列的和例：例：6+10+14+18+22+26+30+34+38分析：这是一个等差数列；首项分析：这是一个等差数列；首项=6，末项，末项=38，公差，公差=4原数列的和：原数列的和：6+10+14+18+22+26+30+34+38倒过来的和：倒过来的和：38+34+30+26+22+18+14+10+6 44 44 44 44 44 44 44 44 44两数列之和两数列之和=（6+38）9解：原数列之和解：原数列之和=（6+38）92 =4492 =198 等差数列的和等差数列的和=（首项（首项+末项）末项）项数项数2例：6+10+14+18+22+26+例：计算例：计算1+6+11+16+21+26+.+276分析：这是一个等差数列；首项分析：这是一个等差数列；首项=1，末项，末项=276，公差，公差=5 等差数列的和等差数列的和=（首项（首项+末项）末项）项数项数2？等差数列的项数等差数列的项数=（末项（末项-首项）首项）公差公差+1解：等差数列的项数：解：等差数列的项数：（276-1）5+1=56（项）（项）原数列之和原数列之和=（1+276）562 =27728 =7756例：计算1+6+11+16+21+26+.练习练习1、计算、计算（1）7+10+13+16+19+22+25+28+31+34+37（2）7+11+15+19+.+403（3）9+19+29+39+.+99（4）1+3+5+7+.+99练习1、计算等差数列知识总结：等差数列知识总结：怎样判断一个数列是等差数列怎样判断一个数列是等差数列怎样求出等差数列的任意一项或项数怎样求出等差数列的任意一项或项数怎样求出等差数列前几项的和怎样求出等差数列前几项的和必须牢记等差数列的基本公式和重要结论必须牢记等差数列的基本公式和重要结论1、等差数列的某一项、等差数列的某一项=首项首项+公差公差（项数（项数-1）2、等差数列的项数、等差数列的项数=（末项（末项-首项）首项）公差公差+13、等差数列的和、等差数列的和=（首项（首项+末项）末项）项数项数24、等差数列的每、等差数列的每1项除以它的公差，余数相项除以它的公差，余数相同。同。等差数列知识总结：怎样判断一个数列是等差数列1、等差数列的某第三讲第三讲 -盈亏问题盈亏问题第三讲 专题简析：盈亏问题又叫盈不足问题，是指把一定数量的物品盈亏问题又叫盈不足问题，是指把一定数量的物品平均分给固定的对象，如果按某种标准分，则分配平均分给固定的对象，如果按某种标准分，则分配后会有剩余（盈）；按另一种标准分，分配后又会后会有剩余（盈）；按另一种标准分，分配后又会有不足（亏），求物品的数量和分配对象的数量。有不足（亏），求物品的数量和分配对象的数量。例如：把一代饼干分给小班的小朋友，每人分例如：把一代饼干分给小班的小朋友，每人分3块，块，多多12块；如果每人分块；如果每人分4块，少块，少8块。小朋友有多少人块。小朋友有多少人？饼干有多少块？这种一盈一亏的情况，就是我们？饼干有多少块？这种一盈一亏的情况，就是我们通常说的标准的盈亏问题。通常说的标准的盈亏问题。盈亏问题的基本数量关系是：（盈亏问题的基本数量关系是：（盈亏）盈亏）两次所两次所分之差分之差=人数；人数；专题简析：还有一些非标准的盈亏问题，它们被分为四类：还有一些非标准的盈亏问题，它们被分为四类：1，两盈：两次分配都有多余；，两盈：两次分配都有多余；2，两不足：两次分配都不够；，两不足：两次分配都不够；3，盈适足：一次分配有余，一次分配够分；，盈适足：一次分配有余，一次分配够分；4，不足适足：一次分配不够，一次分配正好。，不足适足：一次分配不够，一次分配正好。一些非标准的盈亏问题都是由标准的盈亏问题演变过来的。一些非标准的盈亏问题都是由标准的盈亏问题演变过来的。解题时我们可以记住：解题时我们可以记住：1，“两亏两亏”问题的数量关系是：两次亏数的差问题的数量关系是：两次亏数的差两次分得的两次分得的差差=参与分配对象总数；参与分配对象总数；2，“两盈两盈”问题的数量关系是：两次盈数的差问题的数量关系是：两次盈数的差两次分得的两次分得的差差=参与分配对象总数；参与分配对象总数；3，“一盈一亏一盈一亏”问题的数量关系是：盈与亏的和问题的数量关系是：盈与亏的和两次分得两次分得的差的差=参与分配对象总数。参与分配对象总数。还有一些非标准的盈亏问题，它们被分为四类：例例1 1：幼儿园老师拿出苹果发给小朋友。如果平均每个小幼儿园老师拿出苹果发给小朋友。如果平均每个小朋友分朋友分1010个，则缺少个，则缺少2424个苹果；如果每个小朋友分个苹果；如果每个小朋友分8 8个，则缺个，则缺2 2个苹果。有多少个小朋友？共有多少个苹个苹果。有多少个小朋友？共有多少个苹果？果？这是一道两亏的题，从题意可知，孩子和苹果的数量都没这是一道两亏的题，从题意可知，孩子和苹果的数量都没有改变，比较两种分配方案，可以每个小朋友分有改变，比较两种分配方案，可以每个小朋友分10和每个和每个小朋友分小朋友分8个要个要相差相差出出24-2=22（个）苹果，这是因为每个（个）苹果，这是因为每个小朋友多分了小朋友多分了10-8=2（个）（个）222=11（个）小朋友的人数。（个）小朋友的人数。苹果的数量可以苹果的数量可以1110-24=86或或118-2=86例1：幼儿园老师拿出苹果发给小朋友。如果平均每个小朋友分1练练习习一一1 1，老师给学生发奖品，如果每人分，老师给学生发奖品，如果每人分7 7支铅笔少支铅笔少1313支；支；如果每人分如果每人分6 6支，则少支，则少5 5支。有多少个小朋友？有多少支支。有多少个小朋友？有多少支铅笔？铅笔？2 2，若干小朋友分糖。如果每人，若干小朋友分糖。如果每人1515块则少块则少1818块，每人块，每人1313块块则少则少6 6块。有多少个小朋友？有多少块糖？块。有多少个小朋友？有多少块糖？（13-513-5）（7-67-6）=8=8（个）（个）小朋友小朋友 68-5=43 68-5=43（个）（个）铅笔铅笔（18-6）（15-13）=6（个）（个）小朋友小朋友 615-18=72(块）块）糖糖练习一1，老师给学生发奖品，如果每人分7支铅笔少13支；如例例2 2：五年级给优秀学生发奖品书。如果每个学生发五年级给优秀学生发奖品书。如果每个学生发5册还册还剩剩32册；如果其中册；如果其中10个学生每人发个学生每人发4册，其余每人发册，其余每人发8册，就恰好发完。那么优秀的学生有几人？奖品书有册，就恰好发完。那么优秀的学生有几人？奖品书有多少册？多少册？分析：如果10个学生每人发4册，其余每人发8册，恰好发完，可知：如果每人都发8册，则少（8-4）10=40（册）（32+40）（8-5）=24（人）奖品书：524+32=152（册）例2：五年级给优秀学生发奖品书。如果每个学生发5册还剩练练习习二二1、小国买了一本趣味数学，他计划：若每天做、小国买了一本趣味数学，他计划：若每天做3道题，道题，则剩下则剩下16道题；若每天做道题；若每天做5道题，则最后一天只要做道题，则最后一天只要做1道题。道题。那么这本书共有几道题？小国计划做几天？那么这本书共有几道题？小国计划做几天？2.小红从家到校上学，出发时他看看表，发现如果每分钟步小红从家到校上学，出发时他看看表，发现如果每分钟步行行80米，他将迟到米，他将迟到5分钟；如果先步行分钟；如果先步行10分钟后，再改骑车分钟后，再改骑车每分钟行每分钟行200米，他就可以提前米，他就可以提前1分钟到校，小红从家出发分钟到校，小红从家出发时离家离按时到校时间有几分钟？时离家离按时到校时间有几分钟？（16+4）（5-3）=10（天）310+16=46（题）（20011-108+80520011-108+805）（200-80200-80）=15=15分分练习二1、小国买了一本趣味数学，他计划：若每天做3道题，例例3 3：某校乒乓球队有若干名学生，如果少一名女生，某校乒乓球队有若干名学生，如果少一名女生，增加一名男生，则男生为总数的一半；如果少一名增加一名男生，则男生为总数的一半；如果少一名男生，增加一名女生，则男生为女生人数的一半。男生，增加一名女生，则男生为女生人数的一半。乒乓球队共有多少名学生？乒乓球队共有多少名学生？分析分析 （1）由）由“少一个女生，增加一个男生少一个女生，增加一个男生，则男生为总人，则男生为总人数的一半数的一半”可知：可知：女生比男生多女生比男生多2人人；（2）“少一个男生，增加一个女生少一个男生，增加一个女生”后，女生就比男生后，女生就比男生多多22=4人，这时男生为女生人数的一半，即人，这时男生为女生人数的一半，即现在女生有现在女生有42=8人。原来女生有人。原来女生有81=7人，男生有人，男生有72=5人，共有人，共有75=12人人。例3：分析 （1）由“少一个女生，增加一个男生，则男生为 练习三练习三1 1，学校买来了白粉笔和彩色粉笔若干盒，如果白粉笔减少，学校买来了白粉笔和彩色粉笔若干盒，如果白粉笔减少1010盒，彩色粉笔增加盒，彩色粉笔增加8 8盒，两种粉笔就同样多；如果再买盒，两种粉笔就同样多；如果再买1010盒白盒白粉笔，白粉笔的盒数就是彩色粉笔的粉笔，白粉笔的盒数就是彩色粉笔的5 5倍。学校买来两种粉笔倍。学校买来两种粉笔各多少盒？各多少盒？2 2，五（，五（1 1）班的优秀学生中，若增加）班的优秀学生中，若增加2 2名男生，减少名男生，减少1 1名女名女生，则男、女生人数同样多；若减少生，则男、女生人数同样多；若减少1 1名男生，增加名男生，增加1 1名女名女生，则男生是女生的一半。这些优秀学生中男、女生各多生，则男生是女生的一半。这些优秀学生中男、女生各多少人？少人？(10+10+8)(5-1)=7(盒）盒）彩色彩色75-10=25（盒）（盒）白色白色（2+1+1+1）2-1=9（人）（人）女女 2+1+1+1+1=6人人 男男 练习三1，学校买来了白粉笔和彩色粉笔若干盒，如果白例例4 4:幼儿园教师把一箱饼干分给小班和中班的小朋友，平均幼儿园教师把一箱饼干分给小班和中班的小朋友，平均每人分得每人分得6块；如果只分给中班的小朋友，平均每人可块；如果只分给中班的小朋友，平均每人可以多分得以多分得4块。如果只分给小班的小朋友，平均每人分块。如果只分给小班的小朋友，平均每人分得多少块？得多少块？分析分析 这箱饼干分给小班和中班的小朋友，平均每人分这箱饼干分给小班和中班的小朋友，平均每人分得得6块，如果只分给中班的小朋友，平均每人可多分块，如果只分给中班的小朋友，平均每人可多分4块。说明块。说明中班的人数是小班人数的中班的人数是小班人数的64=1.5倍倍。因此，。因此，这箱饼干分给小班的小朋友，每位小朋友可这箱饼干分给小班的小朋友，每位小朋友可多多分到分到61.5=9块，一共可分到块，一共可分到69=15块饼干。块饼干。例4:幼儿园教师把一箱饼干分给小班和中班的小朋友，平练练习习四四1 1，老师把一批书借给甲组同学，平均每人借，老师把一批书借给甲组同学，平均每人借4 4本。如本。如果只借给甲组的女同学，每人可借果只借给甲组的女同学，每人可借6 6本。如果只借给甲本。如果只借给甲组的男生，平均每人借到几本？组的男生，平均每人借到几本？2 2，甲、乙两组同学做红花，每人做，甲、乙两组同学做红花，每人做8 8朵，正好送给五朵，正好送给五年级每个同学一朵。如果把这些红花让甲组同学单独年级每个同学一朵。如果把这些红花让甲组同学单独做，每人要多做做，每人要多做4 4朵。如果把这些红花让乙组同学单独朵。如果把这些红花让乙组同学单独做，每人要做几朵？做，每人要做几朵？（6-4）4+4=12（本）（本）848+8=24(朵朵）练习四（6-4）4+4=12（本）848+8=24(朵 例例5 5：全班同学去划船，如果减少一条船，每条船正好坐全班同学去划船，如果减少一条船，每条船正好坐9 9个同学；如果增加一条船，每条船正好坐个同学；如果增加一条船，每条船正好坐6 6个同学。个同学。这个班有多少个同学？这个班有多少个同学？分析分析：根据题意可知：每船坐根据题意可知：每船坐9人，就能减少一条船，人，就能减少一条船，也就是少也就是少9个同学；每船坐个同学；每船坐6人，就要增加一条船，也就人，就要增加一条船，也就是多出是多出6个同学。因此，每船坐个同学。因此，每船坐9人比每船坐人比每船坐6人可多坐人可多坐96=15人，人，15里面包含里面包含5个（个（96），说明有），说明有5条船。知条船。知道了有道了有5条船，就可以求全班人数：条船，就可以求全班人数：9（51）=36人。人。例5：分析：根据题意可知：每船坐9人，就能减少一条船，练习五练习五1 1，老师把一篮苹果分给小班的同学，如果减少一个同学，每个，老师把一篮苹果分给小班的同学，如果减少一个同学，每个同学正好分得同学正好分得5 5个；如果增加一个同学，正好每人分得个；如果增加一个同学，正好每人分得4 4个。这篮个。这篮苹果一共有多少个？苹果一共有多少个？2 2，五年级同学去划船，如果增加一只船，正好每只船上坐，五年级同学去划船，如果增加一只船，正好每只船上坐7 7人；人；如果减少一只船，正好每只船上如果减少一只船，正好每只船上8 8人。五年级共有多少人？人。五年级共有多少人？（5+4）(5-4)=9(人）人）（9-1）5=40个个（8+7）（8-7）=15（条）（条）（15-1）8=112（人）（人）练习五1，老师把一篮苹果分给小班的同学，如果减少一个同学综综合合练练习习1.1.一组同学去栽树，如果每人栽一组同学去栽树，如果每人栽8 8棵则少棵则少2727棵树；如果每人栽棵树；如果每人栽6 6棵，则余棵，则余5 5棵棵树。问这组有多少个同学？他们要栽多少棵树？树。问这组有多少个同学？他们要栽多少棵树？2、五（、五（3）班通许去植树，若每人植）班通许去植树，若每人植5棵，还有棵，还有3棵没有人植；若其中棵没有人植；若其中2人每人每人植人植4棵，其余每人植棵，其余每人植6棵，就恰好植完所有的树。那么共有几名同学？共要棵，就恰好植完所有的树。那么共有几名同学？共要植几棵树？植几棵树？3 3、操场上有两堆货物，如果甲堆增加、操场上有两堆货物，如果甲堆增加8080吨，乙堆增加吨，乙堆增加2525吨，则两堆货物一吨，则两堆货物一样重；若甲、乙两堆各运走样重；若甲、乙两堆各运走5 5吨，剩下的乙堆正好是甲堆的吨，剩下的乙堆正好是甲堆的3 3倍。两堆货物一倍。两堆货物一共有多少吨？共有多少吨？4 4、老师把一袋糖分给小朋友。如果只分给小班，每人可得、老师把一袋糖分给小朋友。如果只分给小班，每人可得1212块；如果只分块；如果只分给中班和小班，每人只能分到给中班和小班，每人只能分到4 4块。如果这袋糖只分给中班，每人可分到几块。如果这袋糖只分给中班，每人可分到几块？块？5 5，一个旅游团去旅馆住宿，一个旅游团去旅馆住宿，6 6人一间，多人一间，多2 2个房间；若个房间；若4 4人一间又少人一间又少2 2个房间。个房间。旅游团共有多少人？旅游团共有多少人？综合练习1.一组同学去栽树，如果每人栽8棵则少27棵树；如果第四讲第四讲 -周期问题周期问题第四讲 专题简析专题简析：周期问题是指事物在运动变化的发展过程中，某些特征循环往复出现，其连续两次出现所经过的时间叫做周期。在数学上，不仅有专门研究周期现象的分支，而且平时解题时也常常碰到与周期现象有关的问题。这些数学问题只要我们发展某种周期现象，并充分加以利用，把要求的问题和某一周期的等式相对应，就能找到解题关键。专题简析：例题例题1 1 有有249朵花：按先朵花：按先5朵红花，再朵红花，再9朵黄花，再朵黄花，再13朵朵绿花的顺序轮流排列，最后一朵是什么颜色？这绿花的顺序轮流排列，最后一朵是什么颜色？这249朵花中，红花、黄花、绿花各有多少朵？朵花中，红花、黄花、绿花各有多少朵？分析分析 根据题意可知，小木球涂色的次序是根据题意可知，小木球涂色的次序是5红红9黄黄13绿，绿，即即5913=27个球为一个周期，不断循环。个球为一个周期，不断循环。24927=9(.组组).6(朵朵)每个周期每个周期中第中第6个个是黄的，所以第是黄的，所以第249朵应朵应是黄色是黄色例题1 分析 根据题意可知，小木球涂色的次序是5红9黄1练习一练习一1.1/7=0.142857142857，小数点后面第，小数点后面第100个个数字是多少？数字是多少？2、在、在100米长的跑道两侧每隔米长的跑道两侧每隔2米站着一个同学。米站着一个同学。这些同学以一端开始，按先两个女生，再一个男生这些同学以一端开始，按先两个女生，再一个男生的规律站立着。这些同学中共有多少个女生？的规律站立着。这些同学中共有多少个女生？1006=16（组）.4(个)是81002+1=51(个)513=17(组)1722=68(人)1006=16（组）.4(个)例例2 2下面是一个下面是一个11位数，每位数，每3个相邻数字之和都是个相邻数字之和都是17，你，你知道知道“？”表示的数字是几吗？表示的数字是几吗？分析：分析：相邻的相邻的3个数字之和为个数字之和为17，从左边起第一、第，从左边起第一、第二、第三位数字之二、第三位数字之和为和为17，第二、第三、第四位数字，第二、第三、第四位数字之和也为之和也为17，所以，所以第第4位就是位就是8.这样就找到一条规律，这样就找到一条规律，从左向右每从左向右每3位一循环，每隔两位必出现一个相同的位一循环，每隔两位必出现一个相同的数字。从最末一位数字数字。从最末一位数字6开始，开始，自右向左自右向左,每隔每隔2位出位出现一个现一个“6”，所以？表示的数字应该是，所以？表示的数字应该是“6.”分析：相邻的3个数字之和为17，从左边起第一、第二、第三位数1 下面是一个下面是一个8位数，每位数，每3个相邻数字之和都个相邻数字之和都是是14，你知道，你知道“？”表示的数字是几吗？表示的数字是几吗？练习二练习二2 2、7 719981998表示表示19981998个个7 7连乘，它的结果末位上的数字是几？连乘，它的结果末位上的数字是几？7、9、3、1、7、9、3、1、.19984=499(组组).2(个个).91 下面是一个8位数，每3个相邻数字之和都是14，你知道“例题例题3 3 2012年年6月月1日是星期五，那么，日是星期五，那么，9月月1日是日是星期几？星期几？分析分析 一个星期是一个星期是7天，因此天，因此7天为一个周期。天为一个周期。6月月1日是日是星期五，题中说从星期五，题中说从2012年年6月月1日到日到2012年年9月月1日，要日，要经过经过92天，天，927=131，余，余1天就是从星期五往天就是从星期五往后数后数一天一天，即星期六。，即星期六。例题3 分析 一个星期是7天，因此7天为一个周期。6月11，2015年年1月月1日是星期四，日是星期四，2015年的六月一日年的六月一日是星期几？是星期几？2，如果今天是星期五，再过，如果今天是星期五，再过80天是星期几？天是星期几？1527=21(周）周）.5(天天)星期一星期一817=11(周）周）.4(天天)星期一星期一 练习三练习三1，2015年1月1日是星期四，2015年的六月一日是星期几 例题例题4 4 将奇数如下图排列，各列分别用将奇数如下图排列，各列分别用A、B、C、D、E为为代表，问：代表，问：2001所在的列以哪个字母为代表？所在的列以哪个字母为代表？A B C D E 1 3 5 715 13 11 9 17 19 21 2331 29 27 25 分析 这列数按每8个数一组有规律排列着。2001是这一列数中的第1001个数，10018=1251，即2001是这列数中第126组的第一个数，所以它所在的那一列是以字母B为代表的。例题4 分析 这列数按每8个数一组有规律排列着。2001 练练习习四四1，将偶数，将偶数2、4、6、8、按下图依次排，按下图依次排，2014出现在哪一列？出现在哪一列？A B C D E8 6 4 2 10 12 14 1624 22 20 18 26 28 30 32 201428=125(组).7个 (D组)练习四1，将偶数2、4、6、8、按下图依次排，20142 2，把自然数按下列规律排列，把自然数按下列规律排列，865865排在哪排在哪一列？一列？A B C DA B C D1 2 31 2 3 6 5 4 6 5 47 8 97 8 9 12 11 10 12 11 10 8656=114.(组组).1(个个)A列列2，把自然数按下列规律排列，865排在哪一列？8656=1例题例题5 5 88888881008100个个8787，当商是整数时，余数是几，当商是整数时，余数是几？分析从竖式中可以看出，被除数除以分析从竖式中可以看出，被除数除以7 7，每次除得的，每次除得的余数余数以以1 1、4 4、6 6、5 5、2 2、0 0不断重复出现。我们可以用不断重复出现。我们可以用100100除以除以6 6，观察余数就知道所求问题了。观察余数就知道所求问题了。1006=161006=164 4余数是余数是4 4说明当商是整数时，余数是说明当商是整数时，余数是1 1、4 4、6 6、5 5、2 2、0 0中的中的第第4 4个数个数，即，即5 5。分析从竖式中可以看出，被除数除以7，每次除得的余数以1、4、练习五练习五1 1，44444441004100个个4343当商是整数时，余数当商是整数时，余数是几？是几？2 2，3 3，1111111100011000个个1717当商是整数时，当商是整数时，余数是几？余数是几？1、2、0、1、2、0.1003=33.1 .14、2、0、4、2、0.1003=33.1 .41、2、0、1、2、0.4、2、0、4、2、1、有有47盏灯，按二盏红灯、四盏蓝灯、三盏黄灯的顺序排盏灯，按二盏红灯、四盏蓝灯、三盏黄灯的顺序排列着。最后一盏灯是什么颜色的？三种颜色的灯各占总数的列着。最后一盏灯是什么颜色的？三种颜色的灯各占总数的几分之几？几分之几？2、下面是一个、下面是一个11位数，每位数，每3个相邻数字之和个相邻数字之和 都是都是15，你知，你知道道“？”表示的数字是几吗？表示的数字是几吗？3 3、下表中，将每列上下两个字组成一组，如第一组为（小、下表中，将每列上下两个字组成一组，如第一组为（小热），第二组为（学爱）。求第热），第二组为（学爱）。求第460460组是什么组是什么4 4、44444441004100个个4646当商是整数时，余数是几？当商是整数时，余数是几？综合练习综合练习1、有47盏灯，按二盏红灯、四盏蓝灯、三盏黄灯的顺序排列着。第五讲第五讲 -倍数问题（一）倍数问题（一）第五讲倍数问题是数学竞赛中的重要内容之一，它是指已知几个数的和或差以及这几个数之间的倍数关系，求这几个数的应用题。解答倍数问题，必须先确定一个数（通常选用较小的数）作为标准数，即1倍数，再根据其它几个数与这个1倍数的关系，确定“和”或“差”相当于这样的几倍，最后用除法求出1倍数。专题简析专题简析：专题简析：例例 两根同样长的铁丝，第一根剪去两根同样长的铁丝，第一根剪去1818厘厘米，第二根剪去米，第二根剪去26厘米，余下的铁丝第一根厘米，余下的铁丝第一根是第二根的是第二根的3倍。原来两根铁丝各长多少厘米倍。原来两根铁丝各长多少厘米？分析：分析：由于第二根比第一根多剪去由于第二根比第一根多剪去2618=8厘米，所以剩下的铁丝第一根就比第二根多（厘米，所以剩下的铁丝第一根就比第二根多（31）倍。因此，）倍。因此，8（31）=4（厘米）。就（厘米）。就是现在第二根铁丝的长度，它原来长是现在第二根铁丝的长度，它原来长426=30厘米。厘米。例 两根同样长的铁丝，第一根剪去18厘米，第二根剪去261 1，两个数的和是，两个数的和是682，其中一个加数的个位是，其中一个加数的个位是0，如果，如果把这个把这个0去掉，就得到另一个加数。这两个加数各是多去掉，就得到另一个加数。这两个加数各是多少？少？2 2，两根绳子一样长，第一根用去，两根绳子一样长，第一根用去6.5米，第二根用去米，第二根用去0.9米，剩下部分第二根是第一根的米，剩下部分第二根是第一根的3倍。两根绳子原来各倍。两根绳子原来各长多少米？长多少米？练习一练习一682(10+1)=62-一个6210=620 另一个（6.5-0.9）（3-1）=2.8 2.8+6.5=9.31，两个数的和是682，其中一个加数的个位是0，如果把这个0例例2 2：甲组有图书是乙组的：甲组有图书是乙组的3 3倍，若乙组给甲倍，若乙组给甲组组6 6本，则甲组的图书是乙组的本，则甲组的图书是乙组的5 5倍。原来甲倍。原来甲组有图书多少本？组有图书多少本？分析：分析：甲组的图书是乙组的甲组的图书是乙组的3 3倍，倍，若乙组拿出若乙组拿出6本，本，甲组相应的也拿出甲组相应的也拿出63=1863=18本，则甲组仍是乙组的本，则甲组仍是乙组的3 3倍。倍。事实上甲组不但没有拿出事实上甲组不但没有拿出1818本，反而接受了乙组的本，反而接受了乙组的6 6本本，18186 6就正好对应着后来乙组的就正好对应着后来乙组的（5 53 3）倍。因此，后倍。因此，后来乙组有图书（来乙组有图书（18186 6）（5 53 3）=12=12本，乙组原来本，乙组原来有有12126=186=18本，甲组原来有本，甲组原来有183=54183=54本。本。例2：甲组有图书是乙组的3倍，若乙组给甲组6本，则甲组的图书1 1，一个书架分上、下两层，上层的书的本数是，一个书架分上、下两层，上层的书的本数是下层的下层的4倍。从下层拿倍。从下层拿5本放入上层后，上层的本放入上层后，上层的本数正好是下层的本数正好是下层的5倍。原来下层有多少本书？倍。原来下层有多少本书？练习二练习二45+5=25（本）（本）25（5-4）=25（本）（本）25+5=30（本）（本）下层下层1，一个书架分上、下两层，上层的书的本数是下层的4倍。从下层2 2，幼儿园买来的苹果的个数是梨的，幼儿园买来的苹果的个数是梨的3倍，吃倍，吃掉掉10个梨和个梨和6个苹果后，剩下的苹果个数正个苹果后，剩下的苹果个数正好是梨的好是梨的5倍。原来买来苹果和梨共多少个倍。原来买来苹果和梨共多少个？103-6=24（个）（个）24（5-3）=12（个）（个）12+10=22（个）（个）梨梨223=66（个）苹果（个）苹果 22+66=88（个）（个）2，幼儿园买来的苹果的个数是梨的3倍，吃掉10个梨和6个苹果例例3 3 幼儿园买来苹果的个数是梨的幼儿园买来苹果的个数是梨的2 2倍。大班倍。大班的同学每的同学每7 7人一组，每组领人一组，每组领3 3个梨和个梨和4 4个苹果，个苹果，结果梨正好分完，苹果还剩下结果梨正好分完，苹果还剩下1616个。大班共有个。大班共有多少个同学？多少个同学？分析分析 因为苹果是梨的因为苹果是梨的2 2倍，每组分倍，每组分3个梨和个梨和32=632=6个苹果最后就一起分完。可每组分个苹果最后就一起分完。可每组分4 4个苹果，少分个苹果，少分6 64=24=2个，所以有个，所以有8 8组同学，组同学，全班有全班有78=5678=56人。人。例3 幼儿园买来苹果的个数是梨的2倍。大班的同学每7人一组1 1，高年级同学分，高年级同学分7 7人一组植树，已知杨树的棵树正好人一组植树，已知杨树的棵树正好是杉树苗的是杉树苗的2 2倍。如果每个小组分给杉树苗倍。如果每个小组分给杉树苗6棵，杨树棵，杨树苗苗8棵，那么，杉树苗正好分完，杨树苗还剩棵，那么，杉树苗正好分完，杨树苗还剩20棵。参棵。参加植树的一共有多少人？加植树的一共有多少人？2 2，甲粮库的存粮是乙粮库的，甲粮库的存粮是乙粮库的2 2倍，甲粮库每天运出粮倍，甲粮库每天运出粮食食4040吨，乙吨，乙粮库每天运出粮食粮库每天运出粮食3030吨，若干天后，乙粮吨，若干天后，乙粮库的粮食全部运完，而甲粮库还有库的粮食全部运完，而甲粮库还有8080吨。甲、乙两个吨。甲、乙两个粮库原来各有粮食多少吨粮库原来各有粮食多少吨？3，l练习三62-8=4（棵）（棵）204=5（组）（组）57=35（人）（人）80（302-40）=4（次）（次）430=120（吨）乙（吨）乙1202=240（吨）甲（吨）甲l练习三62-8=4（棵）204=5（组）80例例4 4 有两筐桔子，如果从甲筐拿出有两筐桔子，如果从甲筐拿出8个放进个放进乙筐，两筐的桔子就同样多；如果从乙筐拿乙筐，两筐的桔子就同样多；如果从乙筐拿出出13个放到甲筐，甲筐的桔子是乙筐的个放到甲筐，甲筐的桔子是乙筐的2倍。倍。甲、乙两筐原来各有多少个桔子？甲、乙两筐原来各有多少个桔子？分析分析 根据根据“从甲筐拿出从甲筐拿出8个放进乙筐，两筐的橘子个放进乙筐，两筐的橘子就同样多就同样多
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