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第七章平面向量7.平面向量的概念及线性运算第七章平面向量7.平面向量的概念及线性运算1创设情境兴趣导入创设情境兴趣导入如图所示，用100N的力，按照不同的方向拉一辆车，效果一样吗？创设情境兴趣导入如图所示，用100N的力，按照不同的方向拉2动脑思考探索新知动脑思考探索新知aAB如力、速度、位移等加箭头，记作 的向量记作在数学与物理学中，有两种量只有大小，没有方向的量量做数量（标量）数量（标量），例如质量、时间、温度、面积、密度等既有大小，又有方向的量叫做向量（矢量）向量（矢量），平面上带有指向的线段（有向线段）叫做平面向量，指向就是向量的方向，线段的长度表示向量的大小如右图所示，有向线段的起点叫做平面向量的起点，有向线段的终点叫做平面向量的终点以A为起点，B为终点也可以使用小写英文字母，印刷用黑体表示，记作a；手写时应在字母上面动脑思考探索新知aAB如力、速度、位移等加箭头，记作 3动脑思考探索新知动脑思考探索新知aAB向量的大小叫做向量的模模向量a,的模依次记作模为零的向量叫做零向量零向量记作0，零向量的方向是不确定的模为1的向量叫做单位向量单位向量如力、速度、位移等在数学与物理学中，有两种量只有大小，没有方向的量做数量（标量）数量（标量），例如质量、时间、温度、面积、密度等既有大小，又有方向的量叫做向量（矢量）向量（矢量），动脑思考探索新知aAB向量的大小叫做向量的模向量a,的模4例例1一架飞机从A处向正南方向飞行200km，另一架飞机从A处朝北偏东45方向飞行200km，两架飞机的位移相同吗？分别用有向线段表示两架飞机的位移 解解位移是向量虽然这两个向量的模相等，但是它们的方向不同，所以两架飞机的位移不相同两架飞机位移的有向线段表示分别为图中的有向线段a 与b abA东南100km.巩固知识典型例题巩固知识典型例题例1一架飞机从A处向正南方向飞行200km，另一架飞机5巩固知识典型例题巩固知识典型例题KK 图7ABCDEFHGMNQPLZ说出下图中各向量的模，并指出其中的单位向量(小方格边长为1)想一想巩固知识典型例题KK 图7ABCDEF6动脑思考探索新知动脑思考探索新知KK 图74ABCDEFHGMNQPLZ观察图74中的向量与，所在的直线平行，两个向量的与所在的直线平行，两个向量的方向相反 方向相同；向量方向相同或相反的两个非零向量叫做互相平平行的向量行的向量 向量a与向量b平行记作a/b规定：规定：零向量与任何一个向量平行 由于任意一组平行向量都可以平移到同一条直线上，因此相互平行的向量又叫做共线向量共线向量 动脑思考探索新知KK 图74ABCDEFHGM7动脑思考探索新知动脑思考探索新知KTK 图74ABCDEFHGMNQPLZ方向相同或相反的两个非零向量叫做互相平平行的向量行的向量 向量a与向量b平行记作a/b规定：规定：零向量与任何一个向量平行 由于任意一组平行向量都可以平移到同一条直线上，因此相互平行的向量又叫做共线向量共线向量 下图中，哪些向量是共线向量？动脑思考探索新知KTK 图74ABCDEFHG8动脑思考探索新知动脑思考探索新知KK 图74ABCDEFHGMNQPLZ图74中的平行向量与，方向相同，模相等；平行与，方向相反，模相等 向量向量只有大小与方向两个要素当向量a与向量b的模相等并且方向相同时，称向量a与向量b相等相等，记作a=b 与非零向量的模相等，且方向相反的向量叫做向量的负向量，记作 a规定：规定：零向量的负向量仍为零向量 动脑思考探索新知KK 图74ABCDEFHGM9例例2在平行四边形ABCD中（图75），O为对角线交点 巩固知识典型例题巩固知识典型例题ADCB图75O（1）找出与向量相等的向量；（2）找出向量的负向量；（3）找出与向量平行的向量 要结合平行四边形的性质进行分析两个向量相等，它们必须是方向相同，模相等；两个向量互为负向量，它们必须是方向相反，模相等；两个平行向量的方向相同或相反 例2在平行四边形ABCD中（图75），O为对角线交点10例例2在平行四边形ABCD中（图74），O为对角线交点 巩固知识典型例题巩固知识典型例题ADCB图74O（1）找出与向量相等的向量；（2）找出向量的负向量；（3）找出与向量平行的向量 解解 由平行四边形的性质，得（1）（2）（3）例2在平行四边形ABCD中（图74），O为对角线交点11运用知识强化练习运用知识强化练习1 如图，中，D、E、F分别是三边的中点，试写出（1）与相等的向量；（2）与共线的向量FADBEC 第1题图EFABCDO第2题图2如图，O点是正六边形ABCDEF的中心，试写出（1）与相等的向量；（2）的负向量；共线的向量（3）与运用知识强化练习1 如图，中，D、E、F分别是三边的中点12创设情境兴趣导入创设情境兴趣导入王涛同学从家中（A处）出发，向正南方向行走500 m到达超市（B处），买了文具后，又沿着北偏东60角方向行走200 m到达学校（C处）（如总效果是从家（A处）到达了学AC500m200m位移叫做位移与位移的和，和，记作图）王涛同学这两次位移的校（C处）创设情境兴趣导入王涛同学从家中（A处）出发，向正南方向行走13动脑思考探索新知动脑思考探索新知ACBaba+bab一般地，设向量a与向量b不共线，在平面上任取一点A叫做向量a与向量b的和和，则向量依次作记作ab，即（71）求向量的和的运算叫做向量的加法向量的加法上述求向量的和的方法叫做向量加法的三角形法则三角形法则 动脑思考探索新知ACBaba+bab一般地，设向量a与向量14动脑思考探索新知动脑思考探索新知（1）ab与ba相等吗？请画出图来说明（2）如果向量a和向量b共线，如何画出它们的和向量？动脑思考探索新知（1）ab与ba相等吗？请画出图来说明15动脑思考探索新知动脑思考探索新知ADCB如图所示，ABCD为平行四边形，由于根据三角形法则得 这说明，在平行四边形ABCD中，所表示的向量就是与的和这种求和方法叫做向量加法的平行四边形法则平行四边形法则 平行四边形法则不适用于共线向量，可以验证，向量的加法具有以下的性质：(1)a0=0a=a；a（a）=0；(2)ab=ba；(3)（ab）c=a（bc）动脑思考探索新知ADCB如图所示，ABCD为平行四边形，由16巩固知识典型例题巩固知识典型例题 例例3 一艘船以12 km/h的速度航行，方向垂直于河岸，已知水流速度为5 km/h，求该船的实际航行速度 ABDC速度，由向量加法的平行四边形法则，是船的实际航行速度，显然 解解 如图所示，表示船速，为水流=13 利用计算器求得 即船的实际航行速度大小是13km/h，其方向与河岸线的夹角约巩固知识典型例题 例3 一艘船以12 km/17巩固知识典型例题巩固知识典型例题例例4 用两条同样的绳子挂一个物体,设物体的重力为k，两条，求物体受到沿两条绳子的方向的拉力与的大小 绳子的方向与垂线的夹角为f1f2k解解 利用平行四边形法则，可以得到所以巩固知识典型例题例4 用两条同样的绳子挂一个物体,设物体18动脑思考探索新知动脑思考探索新知根据例题4的分析，判断在单杠上悬挂身体时，两臂成什么角度时，双臂受力最小？动脑思考探索新知想一想根据例题4的分析，判断在单杠上悬挂身19运用知识强化练习运用知识强化练习计算：运用知识强化练习计算：20动脑思考探索新知动脑思考探索新知与数的运算相类似，可以将向量a与向量b的负向量的和定义为向量a与向量b的差差即 a b=a(b)即 （72）观察图可以得到：起点相同的个向量，其起点是减向量b的终点，两个向量a、b，其差a b仍然是一终点是被减向量a的终点 aAabBbO设a ，b，则 动脑思考探索新知与数的运算相类似，可以将向量a与向量b的负21a巩固知识典型例题巩固知识典型例题例例5 已知如图所示向量a、b，请画出向量a b BbOAba解解 如图所示，以平面上任一点O=b，连接BA，=a，为起点，作为所求，即 则向量=a b a巩固知识典型例题例5 已知如图所示向量a、b，请画22运用知识强化练习运用知识强化练习计算：运用知识强化练习计算：23创设情境兴趣导入创设情境兴趣导入aaaaOABC3a是一个向量，其方向与a的方向相同,其模是a的模的3倍，即|3a|=3|a|观察下图可以看出向量 与向量a共线，并且 a创设情境兴趣导入aaaaOABC3a是一个向量，其方向与a24动脑思考探索新知动脑思考探索新知一般地，实数与向量a的积是一个向量，记作 a，它的模为（73）（74）由上面定义可以得到，对于非零向量a、b，当 时，有 若0，则当 时,a的方向与a的方向相同，当 时，a的方向与a的方向相反 动脑思考探索新知一般地，实数与向量a的积是一个向量，记作a25动脑思考探索新知动脑思考探索新知一般地，有 0a=0,0=0 数与向量的乘法运算叫做向量的数乘运算向量的数乘运算，容易验证，对于，向量数乘运算满足如下的法则：任意向量a,b及任意实数 向量加法及数乘运算在形式上与实数的有关运算规律相类似，因此，实数运算中的去括号、移项、合并同类项等变形，可直接应用于向量的运算中但是，要注意向量的运算与数的运算的意义是不同的 请画出图形来，分别验证这些法则动脑思考探索新知一般地，有 0a=0,0=0 26巩固知识典型例题巩固知识典型例题例例6在平行四边形ABCD中，O为两对角线交点如图，a，b，试用a,b表示向量、解解 ab，b a，因为O分别为AC，BD的中点，所以（ab）ab，（b a）ab，ab和 ab 都叫做向量a，b的线性组合线性组合，或者说，可以用向量a，b线性表示 巩固知识典型例题例6在平行四边形ABCD中，O为两对角线27巩固知识典型例题巩固知识典型例题一般地，ab叫做a,b的一个线性组合（其中均为实数），如果l a b，则称l可以用a，b线性表示线性表示 向量的加法、减法、数乘运算都叫做向量的线性运算向量的线性运算 巩固知识典型例题一般地，ab叫做a,b的一个线性组合（28运用知识强化练习运用知识强化练习计算：（1）3(a 2 b)2(2 ab)；（2）3 a 2(3 a 4 b)3(a b)（1）a 8b；（2）5b 运用知识强化练习计算：（1）3(a 2 b)229当一种量既有大小，又有方向，例如力、速度、当一种量既有大小，又有方向，例如力、速度、位移等，这种量叫做向量（矢量）位移等，这种量叫做向量（矢量）向量的大小叫做向量的模向量向量的大小叫做向量的模向量a,的模依次的模依次记作，记作，向量向量a与向量与向量b的模相等并且方向相同时，称向量的模相等并且方向相同时，称向量a与向量与向量b相等，记作相等，记作a=b 向量、向量的模、向量相等是如何定义的？向量、向量的模、向量相等是如何定义的？自我反思目标检测自我反思目标检测当一种量既有大小，又有方向，例如力、速度、位移等，这种量30 学习行为学习行为 学习效果学习效果 学习方法学习方法 自我反思目标检测自我反思目标检测 学习行为 学习效果 学习方法 自我反思目31作作 业业读书部分：阅读教材相关章节 实践调查：试着用向量的观点解释书面作业：教材习题.1组（必做）生活中的一些问题 教材习题.1组（选做）继续探索活动探究继续探索活动探究作 业读书部分：阅读教材相关章节 实践调查：试着用向量的观点32平面向量的线性运算平面向量的线性运算平面向量的线性运算平面向量的线性运算平面向量的线性运算33创创设设情情境境兴兴趣趣导导入入王静同学从家中（A处）出发，向正南方向行走500 m到达超市（B处），买了文具后，又沿着北偏东60角方向行走200 m到达学校（C处）（如总效果是从家（A处）到达了学位移叫做位移与位移的和，和，记作图）王静同学这两次位移的校（C处）一、平面向量的加法一、平面向量的加法AC500m200mB创设情境兴趣导入王静同学从家中（A处）出发，向正南方向行走34动动脑脑思思考考探探索索新新知知ACB求向量的和的运算求向量的和的运算叫做向量的加法向量的加法上述求向量的和的方法 叫做向量加法的三角形法则三角形法则 1 1、向量加法的三角形法则向量加法的三角形法则abab记作ab。一般地，设向量 与向量 不共线，在平面上任取一点Aab叫做向量向量 与向量与向量 的的和和，则向量依次依次作aba+b两向量的和仍然是一个向量，简称和向量两向量的和仍然是一个向量，简称和向量首尾相接，结果为首尾相接，结果为“首尾首尾”（1 1）图示：图示：动脑思考探索新知ACB求向量的和的运算叫做向量的加法上述35例题例题1、如图，已知向量如图，已知向量 与向量与向量 ，求作：，求作：abababABCaba+b作法：作法：1、在平面内任取一点在平面内任取一点A；2、作作 3、则则 =a+b试一试：教材试一试：教材P29页第页第1、2题题根据教材根据教材P29页第页第2题的图示，请画图验证下列式子是否成立？题的图示，请画图验证下列式子是否成立？例题1、如图，已知向量 与向量 ，求作：a36如果向量如果向量 和向量和向量 共线，如何画出它们的和向量？共线，如何画出它们的和向量？ab归纳：三角形法则适用于两向量的任意位置关系归纳：三角形法则适用于两向量的任意位置关系可以验证，向量的加法具有以下的性质向量的加法具有以下的性质：如果向量 和向量 共线，如何画出它们的和向量37试一试试一试：（：（1）求下列各和向量：求下列各和向量：（2）教材教材P29页第页第3题、第题、第32页第页第2题题（2 2）算式：算式：探究：看图填空探究：看图填空BACDO字母相连，结果为字母相连，结果为“首尾首尾”试一试：（1）求下列各和向量：（2）算式：探究：看图填空BA38ADCB如图所示，ABCD为平行四边形，由于根据三角形法则得 这说明，在平行四边形ABCD中，所表示的向量就是与的和这种求和方法叫做向量加法的平行四边形法则平行四边形法则 平行四边形法则不适用于共线向量不适用于共线向量。2 2、向量加法的平行四边形法则向量加法的平行四边形法则特点：两向量与和向量共起点ADCB如图所示，ABCD为平行四边形，由于根据三角形法则得39 例例2 2 一艘船以一艘船以12 km/h12 km/h的速度航行，方向垂直于河岸，已知水流的速度航行，方向垂直于河岸，已知水流速度为速度为5 km/h5 km/h，求该船的实际航行速度，求该船的实际航行速度 例2 一艘船以12 km/h的速度航行，方向40巩巩固固知知识识典典型型例例题题ABDC速度，由向量加法的平行四边形法则，是船的实际航行速度，显然 解解 如图所示，表示船速，为水流=13 利用计算器求得 即船的实际航行速度大小是13km/h，其方向与河岸线的夹角约巩固知识典型例题ABDC速度，由向量加法的平行四边形法则，41判断在单杠上悬挂身体时，判断在单杠上悬挂身体时，两臂成什么角度时，两臂成什么角度时，双臂受力最小？双臂受力最小？f1f2k解解 利用平行四边形法则，可以得到利用平行四边形法则，可以得到所以判断在单杠上悬挂身体时，f1f2k解 利用平行四边形法则，可42当a,b不共线时，a+b的方向与a、b都不同向，且|a+b|b|时，a+b的方向与a相同，且|a+b|=|a|-|b|；当|a|b|时，a+b的方向与b相同，且|a+b|=|b|-|a|.归归 纳纳当a,b不共线时，a+b的方向与a、b都不同向，且|a+b|43 减去一个数等于加上这个数的相反数，向量的减法是否也有类似的法则？减去一个数等于加上这个数的相反数，向量的减法是否44动动脑脑思思考考探探索索新新知知为向量 与向量 的差差即 =即 （72）试一试：试一试：:教材第教材第30页练习页练习7.1.3第第1、2题。题。二、平面向量的减法二、平面向量的减法与数的运算相类似，可以将向量 与向量 的负向量的和定义abbaa-ba+（-b）设 ，则 ab两向量的差仍然是一个向量，简称差向量两向量的差仍然是一个向量，简称差向量（1 1）算式：算式：起点相同，结果为起点相同，结果为“尾尾尾尾”动脑思考探索新知为向量 与向量 的45aBbOAba解解 如图所示，以平面上任一点O=b，连接BA，=a，为起点，作为所求，即 则向量=a b 试一试：试一试：:练习册第练习册第22页第页第3题；第题；第24页第页第3题。题。例例4 已知如图所示向量a、b，请画出向量a b（2 2）图示：图示：观察图可以得到：起点相同的个向量，其起点是减向量 的终点，两个向量 ，其差 仍然是一终点是被减向量 的终点 a-bbbaa思考：思考：当当a,b共线时，如何画出共线时，如何画出a-b?共起点，连终点共起点，连终点aBbOAba解 如图所示，以平面上任一点O=b，连接BA4647复习复习复习复习1:1:向量的加法向量的加法向量的加法向量的加法BA如如如如图图,已知向量已知向量已知向量已知向量a a和向量和向量和向量和向量b,b,作向量作向量作向量作向量a+b.a+b.bao.OO.C Ca+bbaABba+ba1.1.向量向量加法加法三角形法则三角形法则:特点特点:首尾顺次连，起点首尾顺次连，起点指终点指终点2.2.向量向量加法加法平行四边形法则平行四边形法则:特点特点:起点相同起点相同,对角为和对角为和47复习1:向量的加法BA如图,已知向量a和向量b,作向量a4748复习复习复习复习2:2:向量的减法向量的减法向量的减法向量的减法o.BAa-b如如如如图图,已知向量已知向量已知向量已知向量a a和向量和向量和向量和向量b,b,作向量作向量作向量作向量a-b.a-b.abab向量向量减法减法三角形法则三角形法则:特点：平移同起点，方向指被减特点：平移同起点，方向指被减48复习2:向量的减法o.BAa-b如图,已知向量a和向量b4849已知非零向量已知非零向量 ,作出作出 ,你能发现什么？你能发现什么？类比上述结论，类比上述结论，又如何呢？又如何呢？OABCPQMN与与 方向相同方向相同与与 方向相反方向相反探究新知探究新知:49已知非零向量 ,作出 ,你4950 一般地，我们规定一般地，我们规定实数实数与与向量向量 的的积积是一个是一个向量向量，这种运算叫做这种运算叫做向量的数乘向量的数乘，记作，记作 ，它的长度和方向，它的长度和方向规定如下：规定如下：（1 1）（2 2）当）当 时，时，的方向与的方向与 的方向的方向相同相同；当当 时，时，的方向与的方向与 的方向的方向相反相反。特别的，当特别的，当 时，时，一、向量数乘一、向量数乘:50 一般地，我们规定实数与向量 的积是一个向量，5051(1)根据定义，求作向量根据定义，求作向量3(2a)和和(6a)(a为非零向量为非零向量)，并进行比较。，并进行比较。=(2)已知向量已知向量 a,b，求作向量，求作向量2(a+b)和和2a+2b，并进行比较。并进行比较。探探 究究 新新 知知 51(1)根据定义，求作向量3(2a)和(6a)5152二、向量的数乘运算运算律：向量的加、减、数乘运算统称为向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算向量的线性运算52二、向量的数乘运算运算律：向量的加、减、数乘运算统称为向52例例1、化简下列各式、化简下列各式提示：向量式的化简要依照性质进行，可考虑首提示：向量式的化简要依照性质进行，可考虑首先去括号再将共线的向量进行合并。先去括号再将共线的向量进行合并。试一试：教材试一试：教材P31P31页练习页练习7.1.47.1.4第第1 1题题例1、化简下列各式提示：向量式的化简要依照性质进行，可考虑首53三、向量的线性组合及线性表示三、向量的线性组合及线性表示：三、向量的线性组合及线性表示：54试一试：教材试一试：教材P32P32页习题页习题7.1.7.1.第第5 5题题试一试：教材P32页习题7.1.第5题5556成立成立四、向量共线的充要条件四、向量共线的充要条件：探究新知探究新知:56成立四、向量共线的充要条件：探究新知:56
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