不可压缩流体动力学基础课件

第七章第七章 不可压缩流体不可压缩流体 动力学基础动力学基础第七章 不可压缩流体 动力学基础1第七章第七章不可压缩流体动力学基础不可压缩流体动力学基础7.17.17.17.1 流体微团的运动分析流体微团的运动分析7.27.27.27.2 有旋流动有旋流动7.37.37.37.3 不可压缩流体连续性微分方程不可压缩流体连续性微分方程7.47.47.47.4 以应力表示的粘性流体的运动微分方程式以应力表示的粘性流体的运动微分方程式7.57.57.57.5 应力和变形速度的关系应力和变形速度的关系7.67.67.67.6 纳维纳维-斯托克斯方程斯托克斯方程7.77.77.77.7 理想流体运动微分方程及其积分理想流体运动微分方程及其积分 7.87.87.87.8 流体流动的初始条件及边界条件流体流动的初始条件及边界条件7.97.97.97.9 不可压缩粘性流体紊流运动的基本方程及封闭条件不可压缩粘性流体紊流运动的基本方程及封闭条件第七章不可压缩流体动力学基础7.1 流体微团的运动分析2刚体刚体:流体流体:具有流动性，极易变形。具有流动性，极易变形。移动移动（move）线速度线速度 Vx Vy Vz 转动转动(rotation)角速度角速度x y z 移动移动（move）线速度线速度 Vx Vy Vz 转动转动(rotation)角速度角速度x y z 变形变形（reform）线变形线变形 角变形角变形7.1 流体微团运动的分析流体微团运动的分析刚体:流体:具有流动性，极易变形。移动（move）37.1 7.1 流体微团运动的分析流体微团运动的分析 一一.流体微团的概念流体微团的概念 在在连连续续性性介介质质模模型型中中，流流体体质质点点是是宏宏观观上上充充分分小小，可可视视为为只只有有质质量量而而无无体体积积的的“点点”，流流体体微微团团则则是是由由大大量流体质点所组成的具有一定体积的微小流体团。量流体质点所组成的具有一定体积的微小流体团。刚体运动刚体运动:移动、转动移动、转动流体运动流体运动:移动、转动、移动、转动、变形变形7.1 流体微团运动的分析 一.流体微团的概念刚体运动:移4不可压缩流体动力学基础课件5流体运动方式流体运动方式a.平移b.线变形c.角变形d.转动实际流体的流动是这几种运动方式的组合流体运动方式平移实际流体的流动是这几种运动方式的组合6控制体的选取控制体的选取:边长为边长为dx，dy，dz的微元平行六面体。的微元平行六面体。E形心处速度：形心处速度：vx,vy,vzE E点处速度：点处速度：二、流体微团上各点速度的表示二、流体微团上各点速度的表示7.1 7.1 流体微团运动的分析流体微团运动的分析控制体的选取:边长为dx，dy，dz的微元平行六面体。E形心77.1 7.1 流体微团运动的分析流体微团运动的分析各角点处各角点处x x方向速度：方向速度：E7.1 流体微团运动的分析各角点处x方向速度：E8三三.流体微团运动分析与分解：流体微团运动分析与分解：现以二元流动情形为例进行分析。现以二元流动情形为例进行分析。假设流体在平面运动。于时刻假设流体在平面运动。于时刻t，在流场中任意选，在流场中任意选取一个方形平面流体微团取一个方形平面流体微团ABCD，轴向边长分别为，轴向边长分别为dx、dy，设顶点，设顶点A坐标为（坐标为（x,y），流速分量为），流速分量为u,v。利用泰勒级数展开且仅保留一阶小量，可得微团利用泰勒级数展开且仅保留一阶小量，可得微团各顶点的速度分量。各顶点的速度分量。三.流体微团运动分析与分解：97.1 7.1 流体微团运动的分析流体微团运动的分析三、流体微团运动的分析与分解三、流体微团运动的分析与分解以平面运动为例以平面运动为例7.1 流体微团运动的分析三、流体微团运动的分析与分解以平107.1 7.1 流体微团运动的分析流体微团运动的分析三、流体微团运动的分解三、流体微团运动的分解(续续)1.1.移动移动 各角点的速度分量中都包含各角点的速度分量中都包含u,vx方向移动速度：方向移动速度：uz方向移动速度：方向移动速度：wy方向移动速度：方向移动速度：v7.1 流体微团运动的分析三、流体微团运动的分解(续)1.117.1 7.1 流体微团运动的分析流体微团运动的分析三、流体微团运动的分解三、流体微团运动的分解(续续)1.1.移动移动 各角点的速度分量中都包含各角点的速度分量中都包含vx,vyx方向移动速度：方向移动速度：vxz方向移动速度：方向移动速度：vzy方向移动速度：方向移动速度：vy7.1 流体微团运动的分析三、流体微团运动的分解(续)1.127.1 7.1 流体微团运动的分析流体微团运动的分析三、流体微团运动的分解三、流体微团运动的分解(续续)2.2.线变形运动线变形运动A和和D、B和和C间的间的x向向速度分量差速度分量差:x方向线应变速度：方向线应变速度：z方向方向线应变线应变速度：速度：y方向方向线应变线应变速度：速度：C和和D、B和和A间的间的y向向速度分量差速度分量差:7.1 流体微团运动的分析三、流体微团运动的分解(续)2.137.1 7.1 流体微团运动的分析流体微团运动的分析三、流体微团运动的分解三、流体微团运动的分解(续续)3.3.角变形运动和旋转角变形运动和旋转A和和D、B和和C间的间的y向向速度分量差速度分量差:C和和D、B和和A间的间的x向向速度分量差速度分量差:结果结果:(1)AD边和边和BC边逆时针旋转微元角度边逆时针旋转微元角度(2)AB边和边和DC边顺时针旋转微元角度边顺时针旋转微元角度7.1 流体微团运动的分析三、流体微团运动的分解(续)3.147.1 7.1 流体微团运动的分析流体微团运动的分析三、流体微团运动的分解三、流体微团运动的分解(续续)3.3.角变形运动和旋转角变形运动和旋转(续续)(1)(1)角变形运动角变形运动角变形角变形角变形速度角变形速度:每秒内一个直角的角度变化量每秒内一个直角的角度变化量7.1 流体微团运动的分析三、流体微团运动的分解(续)3.157.1 7.1 流体微团运动的分析流体微团运动的分析三、流体微团运动的分解三、流体微团运动的分解(续续)3.3.角变形运动和旋转角变形运动和旋转(续续)(2)(2)旋转运动旋转运动旋转旋转旋转速度旋转速度:每秒内绕同一转轴的两条互相垂每秒内绕同一转轴的两条互相垂直的微元线段旋转角度的平均值直的微元线段旋转角度的平均值7.1 流体微团运动的分析三、流体微团运动的分解(续)3.16 图7-2 微团旋转运动分析不可压缩流体动力学基础课件17液体质点运动的基本形式位置平移线变形角变形角变形旋转运动ux，uy，uz线变形速率角变形速度旋转角速度液体质点运动的基本形式位置平移线变形角变形角变形旋转运动ux187.1 7.1 流体微团运动的分析流体微团运动的分析四、有旋流动四、有旋流动 无旋流动无旋流动流体微团的旋转角速度不等于零的流动流体微团的旋转角速度不等于零的流动 流体微团的旋转角速度等于零的流动流体微团的旋转角速度等于零的流动有旋流动有旋流动:无旋流动无旋流动:无旋流动无旋流动有旋流动有旋流动7.1 流体微团运动的分析四、有旋流动 无旋流动流体微团19有旋流动和无旋流动的定义有旋流动和无旋流动的定义 流体的流动是有旋还是无旋，是由流体微团本身是否旋转来决定的。流体在流动中，如果流场中有若干处流体微团具有绕通过其自身轴线的旋转运动，则称为有旋流动。如果在整个流场中各处的流体微团均不绕自身轴线的旋转运动，则称为无旋流动。这里需要说明的是，判断流体流动是有旋流动还是无旋流动，仅仅由流体微团本身是否绕自身轴线的旋转运动来决定，而与流体微团的运动轨迹无关，在图(a)中，虽然流体微团运动轨迹是圆形，但由于微团本身不旋转，故虽然流体微团运动轨迹是圆形，但由于微团本身不旋转，故它是无旋流动它是无旋流动；在图(b)中，虽然流体微团运动轨迹是直线，虽然流体微团运动轨迹是直线，但微团绕自身轴线旋转，故它是有旋流动。但微团绕自身轴线旋转，故它是有旋流动。在日常生活中也有类似的例子，例如儿童玩的活动转椅，当转轮绕水平轴旋转时，每个儿童坐的椅子都绕水平轴作圆周运动，但是每个儿童始终是头向上，脸朝着一个方向，即儿童对地来说没有旋转。有旋流动和无旋流动的定义 流体的流动是有旋20无旋流动有旋流动无旋流动有旋流动217.2 7.2 有旋流动有旋流动 一、涡线一、涡线 一条曲线，在给定瞬时，这条曲线上每一点的切线与位于该一条曲线，在给定瞬时，这条曲线上每一点的切线与位于该点的流体微团的角速度的方向相平行。点的流体微团的角速度的方向相平行。涡线的微分方程涡线的微分方程7.2 有旋流动 一、涡线 一条曲线，在给定瞬时，这227.2 7.2 7.2 7.2 有旋流动有旋流动 二、涡管二、涡管 在给定瞬时，在涡量场中任取一不是涡线的封闭周线，通在给定瞬时，在涡量场中任取一不是涡线的封闭周线，通过封闭周线上每一点作涡线，这些涡线所形成的管状表面。过封闭周线上每一点作涡线，这些涡线所形成的管状表面。三、涡束三、涡束 涡管中充满着作旋转运动的流体涡管中充满着作旋转运动的流体四、涡通量四、涡通量 旋转角速度的值与垂直于角速度方旋转角速度的值与垂直于角速度方向的微元涡管横截面积的乘积的两倍。向的微元涡管横截面积的乘积的两倍。7.2 有旋流动 二、涡管 在给定瞬时，在涡量场中任237.2 7.2 7.2 7.2 有旋流动有旋流动五、速度环量五、速度环量 速度在某一封闭周线上的线积分。速度在某一封闭周线上的线积分。速度环量是标量，其正负号不仅与速度的方向有速度环量是标量，其正负号不仅与速度的方向有关，而且与线积分的绕行方向有关。规定沿封闭周线关，而且与线积分的绕行方向有关。规定沿封闭周线绕行的绕行的正方向为逆时针方向正方向为逆时针方向。7.2 有旋流动五、速度环量 速度在某一封闭周线上的247.2 7.2 7.2 7.2 有旋流动有旋流动六、斯托克斯定理六、斯托克斯定理 沿空间任一封闭周线的速度环量等于通过该周线上的空间表面沿空间任一封闭周线的速度环量等于通过该周线上的空间表面的涡通量。的涡通量。7.2 有旋流动六、斯托克斯定理 沿空间任一封闭周线25汤姆逊定理、亥姆霍兹旋涡定理汤姆逊定理、亥姆霍兹旋涡定理用来描述旋涡运动特性的两个定理，适用条件为：用来描述旋涡运动特性的两个定理，适用条件为：1.理想流体理想流体 2.正压流体正压流体()3.在有势质量力作用下在有势质量力作用下首先引出流体线的概念。首先引出流体线的概念。流体线流体线：指在流场中任意指定的一段线，该线段指在流场中任意指定的一段线，该线段在运动过程中始终是由同样的流体质点所组成在运动过程中始终是由同样的流体质点所组成。汤姆逊定理、亥姆霍兹旋涡定理用来描述旋涡运动特性的两个定理，267.2 7.2 7.2 7.2 有旋流动有旋流动七、汤姆孙定理七、汤姆孙定理 正压性的理想流体在有势的质量力作用下沿任何由流体质点正压性的理想流体在有势的质量力作用下沿任何由流体质点组成的封闭周线的速度环量不随时间而变化。组成的封闭周线的速度环量不随时间而变化。7.2 有旋流动七、汤姆孙定理 正压性的理想流体在有27不可压缩流体动力学基础课件287.2 7.2 7.2 7.2 有旋流动有旋流动八、亥姆霍兹旋涡定理八、亥姆霍兹旋涡定理 1.1.亥姆霍兹第一定理亥姆霍兹第一定理 在同一瞬间涡管各截面上的涡通量都相同在同一瞬间涡管各截面上的涡通量都相同由由该该定定理理得得到到：涡涡管管（涡涡线线）本本身身首首尾尾相相接接，形形成成一一封封闭闭的的涡涡环环或或涡涡圈圈；涡涡管管（涡涡线线）两两端端可可以以终终止止于于所所研究流体的边壁上（固体壁面或自由面）。研究流体的边壁上（固体壁面或自由面）。7.2 有旋流动八、亥姆霍兹旋涡定理 1.亥姆霍兹第一定理297.2 7.2 7.2 7.2 有旋流动有旋流动八、亥姆霍兹旋涡定理八、亥姆霍兹旋涡定理2.2.亥姆霍兹第二定理（涡管守恒定理）亥姆霍兹第二定理（涡管守恒定理）正压性的理想流体在有势的质量力作用下，涡管永远保持正压性的理想流体在有势的质量力作用下，涡管永远保持为由相同流体质点组成的涡管。为由相同流体质点组成的涡管。7.2 有旋流动八、亥姆霍兹旋涡定理2.亥姆霍兹第二定理（307.2 7.2 7.2 7.2 有旋流动有旋流动八、亥姆霍兹旋涡定理八、亥姆霍兹旋涡定理3.3.亥姆霍兹第三定理涡管（强度守恒定理）亥姆霍兹第三定理涡管（强度守恒定理）在在有有势势的的质质量量力力作作用用下下，正正压压性性的的理理想想流流体体中中任任何何涡涡管管的的强度不随时间而变化，永远保持定值。强度不随时间而变化，永远保持定值。在在实实际际流流体体的的流流场场中中，开开始始并并不不存存在在旋旋涡涡，只只是是流流体体绕绕过过物物体体或或流流体体流流经经特特变变的的边边界界时时才才产产生生旋旋涡涡。这这表表明明，旋旋涡涡既既能能在在流流体体中中产产生生也会在流体中消失。粘性是旋涡产生和消失的根本原因。也会在流体中消失。粘性是旋涡产生和消失的根本原因。7.2 有旋流动八、亥姆霍兹旋涡定理3.亥姆霍兹第三定理涡31无旋流与有旋流无旋流与有旋流按液体质点本身有无旋转无旋流有旋流即有无旋流与有旋流按液体质点本身有无旋转无旋流有旋流即有32区分液体质点的有旋运动与迹线为圆周的旋转运动oo无旋的圆周运动有旋的圆周运动区分液体质点的有旋运动与迹线为圆周的旋转运动oo无旋的圆周运33 例例39 已知流体流动的流速为 ，试判断该流动是无旋流还是有旋流？解解 所以此流动为无旋流。例39 已知流体流动的流速为 347.3 7.3 不可压缩流体连续性微分方程不可压缩流体连续性微分方程控制体的选取控制体的选取:边长为边长为dx，dy，dz的微元平行六面体。的微元平行六面体。形心坐标：形心坐标：x,y,z三方向速度：三方向速度：u,v,w密度：密度：一、微分形式的连续方程一、微分形式的连续方程7.3 不可压缩流体连续性微分方程控制体的选取:边长为dx357.3 7.3 7.3 7.3 不可压缩流体连续性微分方程不可压缩流体连续性微分方程不可压缩流体连续性微分方程不可压缩流体连续性微分方程x轴方向流体质量的流进和流出轴方向流体质量的流进和流出左面微元面积流左面微元面积流入的流体质量：入的流体质量：右面微元面积流右面微元面积流出的流体质量：出的流体质量：x轴方向流体轴方向流体的净流出量：的净流出量：7.3 不可压缩流体连续性微分方程x轴方向流体质量的流进和367.3 7.3 7.3 7.3 不可压缩流体连续性微分方程不可压缩流体连续性微分方程不可压缩流体连续性微分方程不可压缩流体连续性微分方程y轴方向流体轴方向流体的净流出量：的净流出量：同理同理,y、z轴方向流体质量的流进和流出轴方向流体质量的流进和流出z轴方向流体轴方向流体的净流出量：的净流出量：x轴方向流体轴方向流体的净流出量：的净流出量：7.3 不可压缩流体连续性微分方程y轴方向流体的净流出量：377.3 7.3 7.3 7.3 不可压缩流体连续性微分方程不可压缩流体连续性微分方程不可压缩流体连续性微分方程不可压缩流体连续性微分方程每秒流出微元六面体的净流体质量每秒流出微元六面体的净流体质量微元六面体内密度变化引起微元六面体内密度变化引起的每秒的流体质量的变化的每秒的流体质量的变化微分形式的连续方程微分形式的连续方程7.3 不可压缩流体连续性微分方程每秒流出微元六面体的净流387.3 7.3 7.3 7.3 不可压缩流体连续性微分方程不可压缩流体连续性微分方程不可压缩流体连续性微分方程不可压缩流体连续性微分方程二、其它形式的连续方程二、其它形式的连续方程矢量形式：矢量形式：可压缩流体的可压缩流体的定常流动：定常流动：不可压缩流体的定不可压缩流体的定常或非定常流动：常或非定常流动：7.3 不可压缩流体连续性微分方程二、其它形式的连续方程矢397.3 7.3 7.3 7.3 不可压缩流体连续性微分方程不可压缩流体连续性微分方程不可压缩流体连续性微分方程不可压缩流体连续性微分方程二、其它形式的连续方程（续）二、其它形式的连续方程（续）二维可压缩流体二维可压缩流体的定常流动：的定常流动：二维不可压缩流二维不可压缩流体的定常或非定体的定常或非定常流动：常流动：7.3 不可压缩流体连续性微分方程二、其它形式的连续方程（40例0：已知速度场 此流动是否可能出现？解：由连续性方程：满足连续性方程，此流动可能出现例0：已知速度场解：由连续性方程：满足连续性方程，此流动可能41例题例题例题例题1 1 1 1 例例11 已知平面流动的流速分布为 ux=kx uy=-ky其中y0，k为常数。试求：流线方程；迹线方程。解据y0知，流体流动仅限于xy半平面内，因运动要素与时间t无关，故该流动为恒定二元流。流线方程：积分得：该流线为一组等角双曲线。例题1例1 已知平面流动的流速分布为 42例题例题例题例题1 1 1 1迹线方程：积分得：与流线方程相同，表恒定流动时，流线与迹线在几何上完全重合。例题1迹线方程：43例题例题例题例题2 2 2 2 例例例例2222假设不可压缩流体的流速场为假设不可压缩流体的流速场为u ux x=f=f(y,zy,z),u,uy y=u=uz z=0 0 试判断该流动是否存在。试判断该流动是否存在。解解解解 判断流动是否存在，主要看其是否满足连续性微分方程。判断流动是否存在，主要看其是否满足连续性微分方程。本题满足故该流动存在。例题2例2假设不可压缩流体的流速场为44例题例题3 3 例例例例3333 已知变扩管内水流作恒定流动，其突扩前后管段后管径之比已知变扩管内水流作恒定流动，其突扩前后管段后管径之比d d1 1/d/d2 2=0.5=0.5，则突扩前后断面平均流速之比，则突扩前后断面平均流速之比V V1 1/V/V2 2=?解解解解 据恒定不可压缩总流的连续性方程有据恒定不可压缩总流的连续性方程有 V1/V2=(d2/d1)2=4例题3例3 已知变扩管内水流作恒定流动，其突扩前后管段45例4：已知不可压缩流场ux=2x2+y，uy=2y2+z，且在z=0处uz=0，求uz。解：由得积分由z=0，uz=0得c=0例4：已知不可压缩流场ux=2x2+y，uy=2y2+z，且46例题5：某不可压缩液体的速度分量为试判别该流动是否连续（或该流动是否成立）？解：即该液体的速度分量满足连续性方程式，故该流动是连续的（或该流动是成立的）。例题5：某不可压缩液体的速度分量为解：即该液体的速度分量满足47例题6：有一液流，已知 试分析液体运动的特征。解：由所给流速条件可知，流速与时间无关，故液流为恒定流，流线与迹线重合。流线方程式为积分得所以液体质点无线变形。无角变形无旋转所以该流动为恒定平面直线均匀流，液体质点无变形运动。返回例题6：有一液流，已知 48无旋流与有旋流无旋流与有旋流按液体质点本身有无旋转无旋流有旋流区分液体质点的有旋运动与迹线为圆周的旋转运动oo无旋的圆周运动有旋的圆周运动无旋流与有旋流按液体质点本身有无旋转无旋流有旋流区分液体质点49一、一、粘性流体中的应力粘性流体中的应力 粘性流体的法向应力和切向应力都必须同时考虑。粘性流体的法向应力和切向应力都必须同时考虑。在粘性流体表面上任取一点在粘性流体表面上任取一点N，过，过N作微元面积作微元面积A，其外法线方向矢量为其外法线方向矢量为 ，切线方向为，切线方向为 ，N点的表面应力点的表面应力分分为为法法向向应应力力pn和和切切向向应应力力，pn和和随随微微元元面面积积A在在空空间间的的位位置置而而变变化化。在在直直角角坐坐标标系系中中将将pn和和沿沿x，y，z三三个个坐坐标标轴轴分分解解成成9个个应应力力分分量量，即即 。7.4 7.4 以应力表示的粘性流体运动方程式以应力表示的粘性流体运动方程式一、粘性流体中的应力7.4 以应力表示的粘性流体运50不可压缩流体动力学基础课件51（注意：应力符号中的下标，下标第一个字母表示（注意：应力符号中的下标，下标第一个字母表示作用面的法线方向，第二个字母表示应力作用线作用面的法线方向，第二个字母表示应力作用线的指向。）的指向。）在这在这9个分量中，个分量中，因此只有，因此只有6个独立分量。个独立分量。（注意：应力符号中的下标，下标第一个字母表示作用面的法线方向52二二 粘性流体的运动方程粘性流体的运动方程 在粘性流体的任意点在粘性流体的任意点A附近，取一棱边平行附近，取一棱边平行于坐标轴的平行六面体微团，其边长分别为于坐标轴的平行六面体微团，其边长分别为dx、dy、dz，表面应力在，表面应力在y轴上分量如图。轴上分量如图。y轴上合力为：轴上合力为：（1）二 粘性流体的运动方程 在粘性流体的任意点A附53流体微团质量与流体微团质量与y y轴加速度的乘积为轴加速度的乘积为 （2 2）由牛顿第二定律（由牛顿第二定律（1 1）=（2 2），化简），化简流体微团质量与y轴加速度的乘积为 54对于对于x、z轴同理有轴同理有 （3）方程（方程（3）就是以应力表示的粘性流体运动微分方程，通）就是以应力表示的粘性流体运动微分方程，通常常X、Y、Z作为已知量，不可压缩流体作为已知量，不可压缩流体 已知，方程应已知，方程应包含六个应力及三个速度分量，共包含六个应力及三个速度分量，共9个未知数。而方程个未知数。而方程（3）加上连续性方程也只有）加上连续性方程也只有4个方程，无法求解，必须个方程，无法求解，必须找出新的补充关系式。找出新的补充关系式。对于x、z轴同理有55不可压缩流体动力学基础课件567.5 应力与变形速度的关系应力与变形速度的关系由牛顿内摩擦定律知，切应力与速度梯度关系为由牛顿内摩擦定律知，切应力与速度梯度关系为 在在层层流流中中取取正正方方形形流流体体微微元元面面积积abcd，流流层层间间存存在在相相对对速速度度，在在运运动动中中必必然然变变形形，经经时时间间dt后后变变 成成 abcd，ab边边 线线 的的 转转 角角 为为 ，那么角变形速度为，那么角变形速度为 ，牛顿内摩擦定律也可以写成，牛顿内摩擦定律也可以写成 7.5 应力与变形速度的关系由牛顿内摩擦定律知，切应力57流体微团绕流体微团绕z轴的剪切角速度为轴的剪切角速度为 流体微团各表面上的切应力为流体微团各表面上的切应力为 法向应力的大小与其作用面的方位有关，实际问题中，法向应力的大小与其作用面的方位有关，实际问题中，法向应力用平均值法向应力用平均值p作为某点的压力作为某点的压力 可可认为各个方向的法向应力等于这个平均值加上一个附加认为各个方向的法向应力等于这个平均值加上一个附加压应力，即压应力，即 ，流体微团绕z轴的剪切角速度为58附加压应力用牛顿内摩擦定律推导得到附加压应力用牛顿内摩擦定律推导得到:上式称为广义牛顿内摩擦定律。上式称为广义牛顿内摩擦定律。因此因此由由不不可可压压缩缩流流体体的的连连续续性性方方程程，将将该该方方程程中中三三个个式式子子相相加加后平均得到，正好验证了前面的论述。后平均得到，正好验证了前面的论述。附加压应力用牛顿内摩擦定律推导得到:597.6 Navier-Stokes方程方程将将方方程程（5）、(7)代代入入方方程程（3），对对于于x轴轴方方向向的的方方程为：程为：化化简简方方程程右右边边第第三三项项引引入入Laplace算算子子 ，第四项由连续性方程判断应该等于第四项由连续性方程判断应该等于0，最后得到，最后得到7.6 Navier-Stokes方程将方程（560不可压缩流体动力学基础课件61上上 式式 就就 是是 不不 可可 压压 缩缩 流流 体体 的的 Navier-Stokes方方程程，简简称称N-S方方程程。该该方方程程是是一一个个二二阶阶非非线线性性偏偏微微分分方方程程组组，目目前前尚尚无无普普遍遍解解，但但对对于于一一些些简简单单流流动动可化成线性方程求解。可化成线性方程求解。上式就是不可压缩流体的Navier-Stokes方程，简称N627.77.7 理想流体运动微分方程理想流体运动微分方程及其积分及其积分流体为理想流体时，运动粘度，流体为理想流体时，运动粘度，NS方程简化为方程简化为7.7 理想流体运动微分方程及其积分流体为理想流体时，运63如流体处于静止状态，则如流体处于静止状态，则647.7 7.7 理想流体运动微分方程及其积分理想流体运动微分方程及其积分一、两个积分方程式的前提条件一、两个积分方程式的前提条件(1)(1)流动是定常的流动是定常的(2)(2)质量力是有势的质量力是有势的(3)(3)流体不可压缩，流体不可压缩，流体是正压流体流体是正压流体1.1.前提条件前提条件7.7 理想流体运动微分方程及其积分一、两个积分方程式657.7 7.7 7.7 7.7 理想流体运动微分方程及其积分理想流体运动微分方程及其积分理想流体运动微分方程及其积分理想流体运动微分方程及其积分一、两个积分式的前提条件一、两个积分式的前提条件(续续)2.2.常见的正压流体常见的正压流体(1)(1)等温流动的可压缩完全气体等温流动的可压缩完全气体(2)(2)绝热流动的可压缩完全气体绝热流动的可压缩完全气体(3)(3)不可压缩流体不可压缩流体7.7 理想流体运动微分方程及其积分一、两个积分式的前提条667.7 7.7 7.7 7.7 理想流体运动微分方程及其积分理想流体运动微分方程及其积分理想流体运动微分方程及其积分理想流体运动微分方程及其积分一、两个积分式的前提条件一、两个积分式的前提条件(续续)3.3.前提条件下的兰姆方程前提条件下的兰姆方程7.7 理想流体运动微分方程及其积分一、两个积分式的前提条677.7 7.7 7.7 7.7 理想流体运动微分方程及其积分理想流体运动微分方程及其积分理想流体运动微分方程及其积分理想流体运动微分方程及其积分二、欧拉积分式二、欧拉积分式无旋流动无旋流动7.7 理想流体运动微分方程及其积分二、欧拉积分式无旋流动687.7 7.7 7.7 7.7 理想流体运动微分方程及其积分理想流体运动微分方程及其积分理想流体运动微分方程及其积分理想流体运动微分方程及其积分二、欧拉积分式二、欧拉积分式(续续)方程组三式分别乘以任意微元线段的三个轴向分量方程组三式分别乘以任意微元线段的三个轴向分量dx,dy,dz后再相加后再相加欧拉积分式欧拉积分式物理意义：物理意义：非粘性的不可压缩流体和非粘性的不可压缩流体和可压缩的正压流体，在有势的质量力可压缩的正压流体，在有势的质量力作用下作作用下作无旋流动无旋流动，流场中，流场中任一点任一点的的单位质量流体质量力的位势能、压强单位质量流体质量力的位势能、压强势能和动能的总和保持不变，且这三势能和动能的总和保持不变，且这三种机械能可以相互转换。种机械能可以相互转换。7.7 理想流体运动微分方程及其积分二、欧拉积分式(续)69三、伯努利积分式三、伯努利积分式有旋流动有旋流动7.7 7.7 7.7 7.7 理想流体运动微分方程及其积分理想流体运动微分方程及其积分理想流体运动微分方程及其积分理想流体运动微分方程及其积分三、伯努利积分式有旋流动7.7 理想流体运动微分方程及其积707.7 7.7 7.7 7.7 理想流体运动微分方程及其积分理想流体运动微分方程及其积分理想流体运动微分方程及其积分理想流体运动微分方程及其积分三、伯努利积分式三、伯努利积分式(续续)方程组三式分别乘以某一条流线上任一微元线段方程组三式分别乘以某一条流线上任一微元线段的三个的三个轴向分量轴向分量dx,dy,dz三式相加三式相加7.7 理想流体运动微分方程及其积分三、伯努利积分式(续)717.7 7.7 欧拉积分式和伯努利积分式欧拉积分式和伯努利积分式 伯努利方程伯努利方程三、伯努利积分式三、伯努利积分式(续续)伯努利积分式伯努利积分式物理意义：物理意义：非粘性的不可压缩流体和可非粘性的不可压缩流体和可压缩的正压流体，在压缩的正压流体，在 有势的质量力作有势的质量力作用下作用下作有旋流动有旋流动时，时，沿同一条流线沿同一条流线上各上各点单位质量流体质量力的位势能、压强点单位质量流体质量力的位势能、压强势能和动能的总和保持不变，且这三种势能和动能的总和保持不变，且这三种机械能可以相互转换。机械能可以相互转换。7.7 欧拉积分式和伯努利积分式 伯努利方程三、伯努利积分727.7 7.7 7.7 7.7 理想流体运动微分方程及其积分理想流体运动微分方程及其积分理想流体运动微分方程及其积分理想流体运动微分方程及其积分三、伯努利方程三、伯努利方程伯努利方程伯努利方程质量力仅仅是重力质量力仅仅是重力不可压缩流体不可压缩流体物理意义物理意义：在重力作用下不可压缩理想流：在重力作用下不可压缩理想流体作定常流动时，对于体作定常流动时，对于有旋流动，沿同一有旋流动，沿同一条流线条流线单位质量流体的位势能、压强势能单位质量流体的位势能、压强势能和动能的总和保持不变；对于和动能的总和保持不变；对于无旋流动，无旋流动，在整个流场在整个流场中总机械能保持不变中总机械能保持不变.7.7 理想流体运动微分方程及其积分三、伯努利方程伯努利方73初始条件初始条件：给定初始时刻的流动状态参数的：给定初始时刻的流动状态参数的初始值。定常流动不需要。初始值。定常流动不需要。边界条件边界条件：流场边界上物理量满足的条件。：流场边界上物理量满足的条件。1.无穷远处条件无穷远处条件2.固壁处条件固壁处条件3.两种流体的分界面处条件两种流体的分界面处条件4.自由面处条件自由面处条件7.8 理想流体流动的定解条件初始条件：给定初始时刻的流动状态参数的初始值。定常流动不需要74起始条件起始瞬时所给定的流场中每一点的流动参数。定常流动：无需起始条件。非定常流动：必须起始条件。7.8 理想流体流动的定解条件起始条件 定常流动：无需起始条件。7.8 理想流体75边界条件任一瞬时运动流体所占空间的边界上所必须满足的条件。固体壁面静止，举例：固体壁面上的运动学条件：不同流体交界面上的运动学条件：不同流体交界面或固体壁面上的动力学条件：7.8 理想流体流动的定解条件边界条件固体壁面静止，举例：不同流体交界面上的运动学条件767.8 7.8 理想流体流动的定解条件理想流体流动的定解条件表述流动的方程表述流动的方程(4(4个个)方程中的未知量方程中的未知量(5(5个个)补充方程补充方程:或或7.8 理想流体流动的定解条件表述流动的方程(4个)方程中777.8 7.8 理想流体流动的定解条件理想流体流动的定解条件一、初始条件一、初始条件起始瞬时所给定的流场中每一点的流动参数。起始瞬时所给定的流场中每一点的流动参数。定常流动：定常流动：无需初始条件。无需初始条件。非定常流动：非定常流动：必须初始条件。必须初始条件。7.8 理想流体流动的定解条件一、初始条件起始瞬时所给定的787.8 7.8 流体流动的初始条件和边界条件流体流动的初始条件和边界条件二、边界条件二、边界条件任一瞬时运动流体所占空间的边界上所必须满足的条件任一瞬时运动流体所占空间的边界上所必须满足的条件固体壁面上的运动学条件固体壁面上的运动学条件:不同流体交界面上的运动学条件：不同流体交界面上的运动学条件：不同流体交界面或固体壁面上的动力学条件：不同流体交界面或固体壁面上的动力学条件：固体壁面静止固体壁面静止7.8 流体流动的初始条件和边界条件二、边界条件任一瞬时运79