三角形的内角和与外角性质课件

2.1.3 2.1.3 三角形的内角和三角形的内角和与三角形的外角与三角形的外角2.1.3 三角形的内角和与三角形的外角学习指导学习指导1、三角形的内角和等于多少？、三角形的内角和等于多少？2、三角形按角分类可分为哪几类？、三角形按角分类可分为哪几类？3、什么叫三角形的外角？、什么叫三角形的外角？4、三角形的一个外角与它相邻的角有、三角形的一个外角与它相邻的角有什么关系？与它不相邻的角呢？什么关系？与它不相邻的角呢？学习指导三角形的三个内角和是三角形的三个内角和是180180用我们所学的数学知识怎么推理它呢？用我们所学的数学知识怎么推理它呢？你有什么办法可以验证呢你有什么办法可以验证呢?预习反馈一预习反馈一三角形的内角和等于多少？三角形的内角和等于多少？三角形的三个内角和是180用我们所学的数学知识怎么推理它呢证明证明:延长延长BCBC到到D D，过，过C C作作CEBACEBA，A=1 A=1(两直线平行，内错角相等两直线平行，内错角相等)B=2 B=2(两直线平行，同位角相等两直线平行，同位角相等)又又1+2+ACB=1801+2+ACB=180A+B+ACB=180A+B+ACB=18021EDCBA三角形的内角和等于三角形的内角和等于1800.证明:延长BC到D，过C作CEBA，21EDCBA三角形的证明证明:过过A A作作EFBCEFBC，B=2 B=2(两直线平行两直线平行,内错角相等内错角相等)C=1 C=1(两直线平行两直线平行,内错角相等内错角相等)又又2+1+BAC=1802+1+BAC=180B+C+BAC=180B+C+BAC=180F21ECBA三角形的内角和等于三角形的内角和等于1800.证明:过A作EFBC，F21ECBA三角形的内角和等于18（1）一个三角形中最多有一个三角形中最多有 个直角？为什么？个直角？为什么？（2）一个三角形中最多有）一个三角形中最多有 个钝角？为什么？个钝角？为什么？（3）一个三角形中至少有）一个三角形中至少有 个锐角？为什么？个锐角？为什么？（4）任意）任意 一个三角形中，最大的一个角的度数至一个三角形中，最大的一个角的度数至少为少为 .60211（1）一个三角形中最多有 个直角？为什么？60三角形中，三个角都是三角形中，三个角都是锐角锐角的三角形叫的三角形叫锐角三角形锐角三角形，有一个角是有一个角是直角直角的三角形叫的三角形叫直角三角形直角三角形，有一个角是有一个角是钝角钝角的三角形叫的三角形叫钝角三角形钝角三角形.三角形按角分类可分为哪几类？三角形按角分类可分为哪几类？三角形中，三个角都是锐角的三角形叫锐角三角形，三角形按角分类ABCD三角形的外角三角形的外角：三角形的一边与另一三角形的一边与另一边的延长线组成的角，边的延长线组成的角，叫做三角形的叫做三角形的外角外角ZxxkABCD三角形的外角：三角形的一边与另一边的延长观察观察 BCA1DACB1DACB1D外角定义：外角定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角三角形的一边与另一边的延长线组成的角 叫做三角形的外角叫做三角形的外角.三个特征三个特征:1.1.1 1的的顶点在三角形的一个顶点上顶点在三角形的一个顶点上;2.2.1 1的的一条边是三角形的一条边一条边是三角形的一条边;3.3.1 1的的另一条边是三角形的某条边的延长线另一条边是三角形的某条边的延长线 观察 BCA1DACB1DACB1D外角定义：三角画图并思考：画图并思考：画一个画一个ABC，你能画出它的所有，你能画出它的所有外角来吗？请动手外角来吗？请动手试一试试一试同时同时想一想想一想ABC的外角共有几个呢？的外角共有几个呢？归纳：归纳：每一个三角形都有每一个三角形都有个个外角外角每一个顶点相对应的外角都有每一个顶点相对应的外角都有个个每个外角与相邻的内角是每个外角与相邻的内角是邻补角邻补角画图并思考：画一个ABC，你能画出它的所有外角来吗？请1 2 4 三角形的外角与三角形的内三角形的外角与三角形的内角之间有怎样的数量关系角之间有怎样的数量关系?外角A 3B CD相邻内角不相邻 内 角相邻的内角：相邻的内角：zxxk不相邻的两内角：不相邻的两内角：1 2 4 三角形的外角与三角形的内三角形的外角与内角的关系：如图ABC中，则 ACB+ACD180 ABCD？结论：结论：三角形的外角三角形的外角与它相邻的内角互为邻与它相邻的内角互为邻补角补角1、即三角形的外角与它、即三角形的外角与它 相邻内角的和为相邻内角的和为180探究？三角形的外角与内角的关系：如图ABC中，则 AC结论结论1 1、三角形的一个三角形的一个外角外角等于与它等于与它不不相邻相邻的的两个内角两个内角的和。的和。ACBD2、如图,ACD 是ABC的一个外角,试说明ACD=B+A你能说出三角形的你能说出三角形的外角外角与每与每一个一个不相邻的内角不相邻的内角之间的关之间的关系吗系吗?Zxxk ACD=B+A ACDA,ACD B结论结论2、三角形的一个、三角形的一个外角大于外角大于任何一个任何一个与它与它不相邻不相邻的内角。的内角。结论1、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。ACBABCD证明：证明：ABC中中A+B+ACB=180（三角形内角和定理）（三角形内角和定理）ACB+ACD=180（平角（平角定义）定义）ACD=A+B（等量代（等量代换）换）证明外角定理：证明外角定理：ACD=A+BABCD证明：ABC中证明外角定理：ACD=A+D解：过解：过C C作作CECE平行于平行于ABABABC12 1=B（两直线平行，同位角相等）（两直线平行，同位角相等）2=A （两直线平行，内错角相等）（两直线平行，内错角相等）ACD=1+2=A+BE三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和D解：过C作CE平行于ABABC12 1=、三角形的一个外角等于与它、三角形的一个外角等于与它不相邻不相邻的两个内角的和。的两个内角的和。、三角形的一个外角大于任何、三角形的一个外角大于任何一个与他一个与他不相邻不相邻的内角。的内角。、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。三角形外角3、三角形的一个外角、三角形的一个外角大于大于任何任何一个与它一个与它不相不相邻邻的内角。的内角。2 2、三角形的一个外角、三角形的一个外角等于等于与它与它不相邻不相邻的的两个内角的两个内角的和和；1 1、三角形的一个外角与它、三角形的一个外角与它相邻相邻的内角的内角互补互补；三角形的外角与内角的关系：三角形的外角与内角的关系：3、三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。2、三角形 3 32 21ABC564思考思考 已知：如图，已知：如图，1、2、3是是ABC的三个外角的三个外角 求证：求证：1+2+3=360结论：三角形的外角和等于结论：三角形的外角和等于360通常把一个三角形每通常把一个三角形每一个顶点处的一个顶点处的一个一个外外角的和叫做角的和叫做三角形的三角形的外角和外角和。321ABC564思考 已知：如图，1、2、3是ABC123三角形的外角和三角形的外角和36036012 3?从哪些途径探究这个结果从哪些途径探究这个结果三角形的外角和三角形的外角和 对于三角形的每个内角，对于三角形的每个内角，从与它相邻的两个外角中取从与它相邻的两个外角中取一个，这样取得的三个外角一个，这样取得的三个外角相加所得的和，叫做相加所得的和，叫做三角形三角形的外角和的外角和。ABC123三角形的外角和36012 3 ABC123 2 ABC=180 3 ACB=180三个式子相加得到三个式子相加得到 1 2 3 BAC ABC ACB=540而而 BAC ABC ACB=180 1 2 3360 1 BAC=180解：解：ABC1232 ABC=1803 ACB=18解：过解：过解：过解：过A A作作作作ADAD平行于平行于平行于平行于BCBC 3 3 4 4BC1234A 2 2 BADBAD 1 1 2 2 3 3 1 1 4 4 BAD=360BAD=360两直线平行，两直线平行，两直线平行，两直线平行，同位角相等同位角相等同位角相等同位角相等D 2 2 3 4 BADBAD解：过A作AD平行于BC3 4BC1234A2 判断题：判断题：1 1、三角形的外角和是指三角形所有外角的和。（、三角形的外角和是指三角形所有外角的和。（）2 2、三角形的外角和等于它内角和的、三角形的外角和等于它内角和的2 2倍。（倍。（）3 3、三角形的一个外角等于两个内角的和。（、三角形的一个外角等于两个内角的和。（）4 4、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。（）5 5、三角形的一个外角大于任何一个内角。（、三角形的一个外角大于任何一个内角。（）6 6、三角形的一个内角小于任何一个与它不相邻的外角。、三角形的一个内角小于任何一个与它不相邻的外角。（）判断题：1、三角形的外角和是指三角形所有外角的和。（160110练一练练一练：1、求下列各图中、求下列各图中1的度数。的度数。50 45 1 1 35 120 1 1 160110练一练：1、求下列各图中1的度数。160 55练习：练习：求各图中求各图中1 1的度数的度数100 o60 o1 160 55练习：求各图中1的度数100 o6 探究探究2 2 如图如图,A=50,B=40,C=30,A=50,B=40,C=30,求求BPCBPC的度数。的度数。解：连接解：连接APAP并延长到点并延长到点E E BPE BPEB+BAPB+BAP，CPECPEC+CAPC+CAP 又又BPCBPCBPE+CPEBPE+CPE BPC BPCB+BAP+C+CAPB+BAP+C+CAP BAC+B+CBAC+B+C 50+40+3050+40+30 120120 探究2 如图,A=50,B=40,C=30,试比较试比较1、A的大小关系？的大小关系？你能比较你能比较2、A的关系么？再试试看。的关系么？再试试看。2PABCD1试比较1、A的大小关系？你能比较2、A的关系么练一练：练一练：2、把图中把图中1、2、3按从按从大到小的顺序排列，并说明理由。大到小的顺序排列，并说明理由。3 32 21ABCDE练一练：2、把图中1、2、3按从大到小的顺序排列，3 32 21ABCDE解：1是BDE的外角，2是ADC的外角12,2 3 123 321ABCDE解：1是BDE的外角，2是【练习练习2】如图，如图，CE是是ABC 的外角的外角ACD 的平分线，且的平分线，且CE 交交BA 的延长线于点的延长线于点E.证明证明BACB 拓展延伸，灵活运用拓展延伸，灵活运用 EDCBA【练习2】如图，CE是ABC 的外角ACD拓展延伸，灵ABCDE(3)求求 A+B+C+D+E的度数的度数FG B+B+D=D=EGFEGF EGF+EGF+EFGEFG+E E=180 A+A+C=C=EFGEFG解：因为解：因为解：因为解：因为所以所以所以所以 A+A+B+B+C+C+D+D+E=E=180ABCDE(3)求A+B+C+D+E的度数ABCDE(1)若若C=30,求求A+B+D+E的的值ABCDE(1)若C=30,求A+B+D+第四个第四个第五个第五个第六个第六个第一个第一个第二个第二个第三个第三个砸金蛋做练习砸金蛋做练习第四个第五个第六个第一个第二个第三个砸金蛋做练习1、在、在ABC中，若中，若A+B=2 C，则，则C=。600预习反馈练习预习反馈练习1、在ABC中，若A+B=2C，则C=2、若一个三角形的三个内角之比、若一个三角形的三个内角之比为为2：3：4，则这三个内角的，则这三个内角的度度 。400，600，800预习反馈练习预习反馈练习2、若一个三角形的三个内角之比400，600，800预习反馈3、如图：、如图：=。320440480360预习反馈练习预习反馈练习3、如图：=。320441 14 4、如图、如图BCDBCD的外角是的外角是_1 1B BC C2 2D DA AE E预习反馈练习预习反馈练习14、如图BCD的外角是_1BC2DAE预习反馈1 1B BC C2 2D DA AE E5 5、如图、如图2 2是是_的外角，的外角，又是又是_的外角的外角ADEADEADCADC预习反馈练习预习反馈练习1BC2DAE5、如图2是_的外角，又是_1 1B BC C2 2D DA AE E6、如图如果、如图如果AED=800，EAC+ECA=_.800预习反馈练习预习反馈练习1BC2DAE6、如图如果AED=800，EAC+EC当堂检测当堂检测 1 1、在在ABCABC中中,A=80,B=C,A=80,B=C,求求C C的度数，并说明它是什么三角形？的度数，并说明它是什么三角形？ABC2、如图，在、如图，在ABC中，中，D是是BC延长线上一点，延长线上一点，B=40，ACD=120，求，求A的度数的度数.DCBA当堂检测 1、在ABC中,A=80,B=C,求 1 1、在在ABCABC中中,A=80,B=C,A=80,B=C,求求C C的度数，并说明它是什么三角形？的度数，并说明它是什么三角形？解：解：在在ABCABC中中,A=80 ,A=80 A+B+C=180 A+B+C=180，B+C=100 B+C=100 B=C B=C B=C=50 B=C=500 0 是是锐角三角形锐角三角形ABC 1、在ABC中,A=80,B=C,求C的度2 2、如图，在如图，在ABC中，中，D是是BC延长线上一延长线上一点，点，B=40，ACD=120，求，求A的度数的度数.DCBA解解:ACD=A+B,ACD=1200，B=400A=ACD-B =1200-400 =8002、如图，在ABC中，D是BC延长线上一点，B=40，如图如图,在在ABCABC中中,延长延长BCBC至至D,BED,BE、CECE分别平分分别平分ABCABC和和ACD.ACD.(1).(1).若若A=80,A=80,求求EE的度数的度数.(2).(2).根据根据(1)(1)猜测猜测E E 与与AA的关系的关系,并并说明理由说明理由.拓展提升拓展提升如图,在ABC中,延长BC至D,BE、CE分别平分ab如图如图,在在ABCABC中中,延长延长BCBC至至D,D,BEBE、CECE分别平分分别平分ABCABC和和ACD.ACD.(1).(1).若若A=80,A=80,求求EE的度数的度数.解：解：设设EBA=a,ECD=b BEBE、CECE分别平分分别平分ABCABC和和ACD.ACD.b=E+a 2b=A+2a A=2E E=400ab如图,在ABC中,延长BC至D,BE、CE分别平如图如图,在在ABCABC中中,延长延长BCBC至至D,BED,BE、CECE分别平分分别平分ABCABC和和ACD.ACD.(1).(1).若若A=80,A=80,求求EE的度数的度数.(2).(2).根据根据(1)(1)猜测猜测E E 与与AA的关系的关系,并并说明理由说明理由.ab解：解：设设EBA=a,ECD=b BEBE、CECE分别平分分别平分ABCABC和和ACD.ACD.b=E+a 2b=A+2a A=2E如图,在ABC中,延长BC至D,BE、CE分别平分