利用两点之间线段最短课件

1、如图，在一个广场上的点、如图，在一个广场上的点A和点和点B处，分处，分别有一只小狗和一块骨头，小狗想要最快吃到骨别有一只小狗和一块骨头，小狗想要最快吃到骨头，它应该沿哪条路线跑？头，它应该沿哪条路线跑？BA依据是依据是_两点之间两点之间,线段最短线段最短 1、如图，在一个广场上的点A和点B处，分别有一只1 2、直线、直线l是一条公路，公路的两侧有是一条公路，公路的两侧有C、D两个村子，现在想在公路边建一个车站，使两个村子，现在想在公路边建一个车站，使这两个村子的人到车站的路线之和最短这两个村子的人到车站的路线之和最短.车站车站应建在什么位置，请画一画应建在什么位置，请画一画 lCD依据是依据是_两点之间两点之间,线段最短线段最短P 2、直线l是一条公路，公路的两侧有C、D两个村子，现2 3 3、爷爷要从、爷爷要从A A处的家中出发到河边处的家中出发到河边l去钓鱼，去钓鱼，他怎样走路程最短？请把最近的路线画出来他怎样走路程最短？请把最近的路线画出来 Al依据是依据是_垂线段最短垂线段最短P 3、爷爷要从A处的家中出发到河边l去钓鱼，他怎样走路程最3AlPBAlCDP实实际际问问题题求求A、B的最短路线的最短路线.数数学学问问题题在在l上取一点上取一点P，使，使PC+PD最短最短.在在l上取一点上取一点P，使，使PA最短最短转化转化AlPBAlCDP实际问题求A、B的最短路线.数学问题4lCDPlCDP13.4课题学习5线段公理：线段公理：两点之间，线段最短两点之间，线段最短垂线段性质：垂线段性质：垂线段最短垂线段最短AB最短最短路径路径问题问题BAl线段公理：垂线段性质：AB最短BAl整理旧知，内化己有6ABl问题问题1 相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，叫海伦。有一天，一位将军专久负盛名的学者，叫海伦。有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：如图，牧马人从如图，牧马人从A地出发，到一条笔直的河边地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到饮马，然后到B地，牧马人到河边什么地方饮地，牧马人到河边什么地方饮马，可使他所走的路径最短？马，可使他所走的路径最短？精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对轴对称称的知识回答了这个问题，这个问题后来被称的知识回答了这个问题，这个问题后来被称为为“将军饮马问题将军饮马问题”。你能将这个问题抽象为数学问题吗？你能将这个问题抽象为数学问题吗？ABl迁移旧知，解决新疑问题1 相传，古希腊亚历山大里亚7lABCC在直线在直线 l 上取一点上取一点C，使，使AC+BC最短？最短？ABl转化为数学问题转化为数学问题lABCC在直线 l 上取一点C，使AC+BC最短？ABl转8（1）这两个问题之间，有什么相同点和不同点？）这两个问题之间，有什么相同点和不同点？（2）我们能否把）我们能否把A、B两点转化到直线两点转化到直线l 的异侧呢的异侧呢？转化需要遵循的原则是什么？转化需要遵循的原则是什么？（3）利用什么知识可以实现转化目标？）利用什么知识可以实现转化目标？lCDPlABC（1）这两个问题之间，有什么相同点和不同点？lCDPlABC9lABCB 如下左图，作点如下左图，作点B关于直线关于直线 l 的对称点的对称点B.当点当点C在直线在直线 l 的什么位置时，的什么位置时，AC+CB最小？最小？如上右图如上右图,在连接在连接AB两点的线中两点的线中,线段线段AB最短最短.因此因此,线段线段AB与直线与直线 l 的交点的交点C的位置即为所求的位置即为所求lABCB lABCB 如下左图，作点B关于直线 l 的对称点B.10在直线在直线 l 上任取另一点上任取另一点P，AC+CB=AC+CB=ABlABCBP证明：如图证明：如图.你能用所学的知识证明你能用所学的知识证明AC+CB最短吗？最短吗？直线直线 l 是点是点B、B的对称轴，的对称轴，CB=CB连接连接AP、PB、PB 则则PB=PBAP+PB=AP+PB在在ABP中，中，AB AP+PB，AC+CB AP+PB，即即AC+BC最小最小在直线 l 上任取另一点P，AC+CB=AC+CB=A11问题问题1 归纳归纳lABClABCBlABC抽象为数学问题抽象为数学问题用旧知解决新知用旧知解决新知联想旧知联想旧知解决实解决实际问题际问题ABl问题1 归纳lABClABCBlABC抽象为数学问题用旧121.1.如图，如图，RtABCRtABC中，中，ACB=90ACB=90，点，点D D是是ABAB边上的中点，点边上的中点，点E E是是BCBC边上的动点，请问点边上的动点，请问点E E在在BCBC的什么位置的什么位置,可使可使AE+DEAE+DE的值最小的值最小.新知运用新知运用DABC1.如图，RtABC中，ACB=90，点D是AB边上的132.2.如图，在正方形如图，在正方形ABCDABCD中，点中，点E E是是BCBC边上的边上的一点，点一点，点P P是对角线是对角线ACAC上一动点，请问点上一动点，请问点P P在什么位置在什么位置,可使可使EP+BPEP+BP的值最小的值最小.你能找到你能找到吗吗?新知运用新知运用-考点链接考点链接ABCDE2.如图，在正方形ABCD中，点E是BC边上的一点，点P是143.如图，如图，A为马厩，牧马人某一天要从马厩为马厩，牧马人某一天要从马厩牵出马，先到草地边某一处牧马，再到河边牵出马，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到马厩饮马，然后回到马厩.请你帮他画出这一天请你帮他画出这一天的最短路线的最短路线.草 地小 河A课堂练习3.如图，A为马厩，牧马人某一天要从马厩牵出马，先到草地边15已知：如图，在已知：如图，在l1、l2之间有一点之间有一点A.求作：分别在求作：分别在l1、l2上确定一点上确定一点M、N，使使AM+MN+NA最小最小.l1l2AMN已知：如图，在l1、l2之间有一点A.求作：分别在l1、l216l1l2 如图，作点如图，作点A关于关于l1和和l2的对称点的对称点A1、A2，连接连接A1A2，交交l1于于M点，交点，交l2于于N点点.连接连接AM和和AN，则，则AM+MN+NA最小最小.因此，那天这样走路线最短因此，那天这样走路线最短.MNA1AA2l1l2 如图，作点A关于l1和l2的对称点A17书书P93第第15题题4.如图，牧马人从如图，牧马人从A地出发，先到草地边某地出发，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到一处牧马，再到河边饮马，然后回到B处，处，请画出最短路径。请画出最短路径。ABMNlABPQA P Q B为最短路线为最短路线书P93第15题4.如图，牧马人从A地出发，先到草地边某一处18问题问题2 （造桥选址问题）如图，（造桥选址问题）如图，A和和B两地在同一两地在同一条河的两岸，现要在河上造一座桥条河的两岸，现要在河上造一座桥MN桥造桥造在何处可使从在何处可使从A到到B的路径的路径AMNB最短？（假定最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直.）思考：思考：你能把这个问题转化你能把这个问题转化为数学问题吗？为数学问题吗？问题2 （造桥选址问题）如图，A和B两地在同一条河19 如图假定任选位置造桥如图假定任选位置造桥MN，连接，连接AM和和BN，从，从A到到B的路径是的路径是AM+MN+BN，那，那么折线么折线AMNB在什么情况下在什么情况下最短呢？最短呢？分析：分析：aBAbMN 由于河宽是固定的，因此当由于河宽是固定的，因此当AM+NB最小时，最小时，AM+MN+NB最小最小.如图假定任选位置造桥MN，连接AM和BN，20lABCaBAbMNA 如左图，如果将点如左图，如果将点A沿与河岸垂直的方沿与河岸垂直的方向平移到点向平移到点A，使，使AA等于河宽，则等于河宽，则AA=MN，AM=AN，问题转化为：当点，问题转化为：当点N在直线在直线b的的什么位置时，什么位置时，AN+NB最小？最小？参考右图，利用参考右图，利用“两点之间，线段最短两点之间，线段最短”可以解决可以解决.lABCaBAbMNA 如左图，如果将点A沿21 如图，沿垂直于河岸的方向平移如图，沿垂直于河岸的方向平移A到到A，使，使AA等于河宽，连接等于河宽，连接AB交河岸交河岸于点于点N，在点，在点N处造桥处造桥MN，此时路径，此时路径AM+MN+BN最短最短.aBAbMNA解：解：如图，沿垂直于河岸的方向平移A到A，使AA22另任意造桥另任意造桥MN，连接连接AM、BN、AN.由平移性质可知，由平移性质可知，AMAN，AMAN，AAMNM N.AM+MN+BNAA+AB，AM+MN+BNAA+AN+BN.在在ANB中，由线段公理知中，由线段公理知AN+BN AB，AM+MN+BN AM+MN+BN.证明：证明：aBAbMNANM另任意造桥MN，由平移性质可知，AM+MN+BNAA23问题问题2 归纳归纳抽象为数学问题抽象为数学问题用旧知解决新知用旧知解决新知联想旧知联想旧知解决实解决实际问题际问题lABC问题2 归纳抽象为数学问题用旧知解决新知联想旧知解决实lA24小结归纳小结归纳lABClABCB轴对称轴对称变换变换平移平移变换变换两点之间，线段最短两点之间，线段最短.小结归纳lABClABCB转化轴对称平移两点之间，线段最短25特别感谢你们的合作特别感谢你们的合作!快乐源于探索特别感谢你们的合作!26课堂小结AB线段公理：两点之间，线段最短.最短路径问题垂线段性质：垂线段最短.BAl课堂小结AB线段公理：最短垂线段性质：BAl27