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1作业作业P30 1,2,3(2)(4),4,5,6P56 4(1),(3)提示:4(3)可用数学归纳法证 第三节 预习预习：第三节 函数的极限函数的极限2 第一章 三、收敛数列的性质三、收敛数列的性质 四四*极限存在准则极限存在准则 一、数列（复习）一、数列（复习）二、数列极限的定义二、数列极限的定义第二节第二节数列的极限数列的极限3这个概念贯穿着整个高等数学，并在数学的其它领域中起重要作用.高等数学的许多基本概念都是用极限概念来表示的,如微分、积分等都可用极限来描述,因此掌握极限的概念和运算很重要。极限概念是由求某些实际问题的精确解答而产生的。变量的变化有各种各样的情况，有一类变量是经常遇到，这就是它在变化的过程中逐步趋向于相对也就是说它在变化的过程中无限的接近于某一确定的常数。稳定的状态,极限概念是高等数学中最基本的概念,4“割之弥细，所失弥少，割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无割，则与圆周合体而无所失矣所失矣”播放播放刘徽刘徽正六边形的面积 A 1正十二边形的面积 A 21 1、割圆术：、割圆术：一、数列一、数列52 2、数列的定义、数列的定义依次排列的无穷多个数：称为数列数列，其中每一个数称为数列的项项，第 n 项 xn称为数列的一般项一般项（或通项），下标表示数列的项数。或按照一定的法则，定义定义1数列简记为6可看作一动点在数轴上依次取数列对应着数轴上一个点列,说明：数列是整标函数73、数列的性质数列的性质（1）有界性有界性设已知数列若存在 M 0,对于一切 n 都有则称数列是有界的；否则，称数列是无界的。例如：例如：数列都是有界的，而数列是无界的。8(2）单调性单调性则称此数列是单调减少的。单调增加或单调减少的数列，统称为单调数列,例如:是单调增加数列;是单调减少数列其特点是 数列的点作定向移动：单增向右，单减向左。反之若则称此数列是单调增加的；若的项 xn 随着项数 n 的增大而增大，即满足9 数列 的子列 关于子列的脚标有三点规定:(2)子列的序号不是 ,而是 k,表示是子列的第 k 项,是原数列的第 项;(1)子列序号形成的数列是严格单调上升的,在数列 中依次任意抽出无穷多项:所构成的新数列叫做数列子数列.4.数列的子数列数列的子数列10二、数列极限的定义二、数列极限的定义引例引例1.设有半径为 r 的圆,逼近圆面积 S.如图所示,可知当 n 无限增大时,无限逼近 S (刘徽割圆术刘徽割圆术).用其内接正 n 边形的面积11之半，如此分割下去问：共去棒长多少？解：解：把所去之半排列起来：此是公比为的等比数列引例引例2第一次去其一半,第二次再去所余“一尺之棰，日截其半，万世不竭一尺之棰，日截其半，万世不竭”一尺之棒，共去棰长12注：等比数列的前注：等比数列的前n 项和的公式项和的公式设等比数列前n 项的和为S n,即根据等比数列的通项公式，上式可以写成：上式两边同时乘以q 有：上（1）式两边分别减去（2）式的两边得：当时13引例引例3在1 与 1 之间跳动观察可见：的变化趋势只有两种：不是无限地接近某个确定的常数，就是不接近于任何确定的常数。由此，得到数列极限的定义如下：观察下列数列的变化趋势:14定义定义2若当 时，一般项无限地接近于某个则称 A 为数列的极限，记作或(读作 n 无限变大时,无限接近于常数A）.若当 时，不接近于任何确定常数A,确定的常数 A,则称数列没有极限。15而无极限我们称有极限的数列为收敛数列，收敛数列，无极限的数列为发散数列。发散数列。例如例如16为了精确的反映接近 a 的程度与 n 之间的关系,171819202122232425262728直观上表明：直观上表明：当 n 无限增大时，数列无限接近“1”，但它永远达不到 1。无限增大 无限接近越来越大,即29如要使只要项号 n 满足要使只要项号 n 满足而要使故只要项号 n 满足30只要项号 n 满足 一般地，当取任意小的正数，都能说明可以找到这样的项号N,只要位于N 项以后的一切项 即事实上就 用量化方式说清了 无限接近 a.都满足,31及常数 a 有下列关系:当 n N 时,总有记作此时也称数列收敛,否则称数列发散.即或则称该数列的极限为 a,若数列为精确的反映接近 a 的程度与 n 之间的关系，有定义定义332若不存在这样的定数a,则说数列 没有极限,或说数列 发散，也说 不存在.说明：说明：说明：刻画 与a可以无限接近的程度,1)正数 是“任意给定”的，“可以任意小”；被满足的时刻，指明对给定的正数，2)正整数N=N()“N 不唯一”、“N 依 而定”、“N 可大不可小”.但是一旦给出之后,它就是确定了;333)绝对值不等式 则表明 与a可以无限接近.当n N 所有的点 都将落在内，而此区间外至多只有有限个点即的几何意义:4)即xn有没有极限,主要看“后面”的无穷多项.345）数列极限的定义通常是用来进行推理和证明极限,而不是用来求极限,因为这里需要预先知道极限值是多少.35例例1.已知证明数列的极限为1.证证:欲使即只要因此,取则当时,就有故36例例2.设证明等比数列证证:欲使只要即亦即因此,取,则当 n N 时,就有故的极限为 0.37例例3.已知证明证证:欲使只要即取则当时,就有故故也可取也可由N 与 有关,但不唯一.不一定取最小的 N.说明说明:取38证：证：例例4 4 求证39说明：用定义证明数列极限的步骤 1)化简（必要时适当地放大）2)用倒推法得到与n有关的一系列不等式40三、三、收敛数列的性质收敛数列的性质1.极限的唯一性2.收敛数列的有界性3.收敛数列的保号性4.收敛数列与其子序列间的关系41证证:用反证法.及且取因故存在 N1,从而同理,因故存在 N2,使当 n N2 时,有1.收敛数列的极限惟一收敛数列的极限惟一.使当 n N1 时,假设从而42矛盾.因此收敛数列的极限必唯一.则当 n N 时,故假设不真!满足的不等式43例例5.证明数列是发散的.证证:用反证法.假设数列收敛,则有唯一极限 a 存在.取则存在 N,但因交替取值 1 与1,内,而此二数不可能同时落在长度为 1 的开区间 使当 n N 时,有因此该数列发散.442.收敛数列一定有界收敛数列一定有界.证证:设取则当时,从而有取 则有由此证明收敛数列必有界.说明说明:此性质反过来不一定成立.例如,虽有界但不收敛.有数列453.收敛数列的局部保号性收敛数列的局部保号性若且时,有证证:对 a 0,取推论推论:若数列从某项起(用反证法证明)46*4.收敛数列的任一子数列收敛于同一极限收敛数列的任一子数列收敛于同一极限.证证:设数列是数列的任一子数列.若则当 时,有现取正整数 K,使于是当时,有从而有由此证明*471）若数列有两个子数列收敛于不同的极限,例如，发散!则原数列一定发散.（即原数列不收敛,但可以有收敛的子列）说明说明:由此性质可知 483)定理中的 结论仍成立.则原数列 一定发散.2）若 有一个子列发散,49四、极限存在准则四、极限存在准则(P50)1.夹逼准则;2.单调有界准则;3.柯西准则*501.夹逼准则夹逼准则(准则1)证证:由条件(2),当时,当时,令则当时,有由条件(1)即故 51例例6.证明证证:利用夹逼准则.且由522.单调有界数列必有极限单调有界数列必有极限(准则2)(P52)(证明略)只给出几何解释：只给出几何解释：53例例7.设证明数列极限存在.(P53)证证:利用二项式公式,有54大大 大大 正正又比较可知55根据准则 2 可知数列记此极限为 e,e 为无理数,其值为即有极限.又56故极限存在，例例8 8 设,且求解：解：设则由递推公式有数列单调递减有下界，故利用极限存在准则57例例9.设设证证:显然证明数列有极限.即单调增,又存在“拆项相消拆项相消”法法58内容小结内容小结1.数列极限的“N”定义及应用2.收敛数列的性质:唯一性;有界性;保号性;任一子数列收敛于同一极限3.极限存在准则:夹逼准则;单调有界准则;柯西准则*59思考与练习思考与练习1.如何判断数列极限不存在?方法1.找一个趋于的子数列;方法2.找两个收敛于不同极限的子数列.2.已知,求时,下述作法是否正确?说明理由.设由递推式两边取极限得不对不对!此处
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