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3 3 利用极坐标、柱坐标和球坐标求重积分利用极坐标、柱坐标和球坐标求重积分一、重积分的换元积分法一、重积分的换元积分法二、利用极坐标系计算二重积分二、利用极坐标系计算二重积分三、利用三、利用柱坐标和球坐标求重积分柱坐标和球坐标求重积分一、重积分的换元积分法一、重积分的换元积分法 定理定理1 设设f（x，y）在有界闭区域在有界闭区域D连连续，在续，在D上具有一阶连续偏导数的函数上具有一阶连续偏导数的函数把把D映射为映射为uv平面的区域平面的区域D，其逆变换记成，其逆变换记成又设又设 行列式行列式 例例1 f（x，y）在闭区域在闭区域Dxy连续，则极坐标变换连续，则极坐标变换则则它把它把 变成变成 ，行列式行列式一、重积分的换元积分法一、重积分的换元积分法定理定理2：设设f（x，y，z）在空间有界区域在空间有界区域连续，连续，函数函数u=u（x，y，z），），v=v（x，y，z），），w=w（x，y，z）在在上具有一阶连续偏导数，并把上具有一阶连续偏导数，并把映射到映射到Ouvw空间的区域空间的区域。其逆映射为。其逆映射为故故若若Jacobi行列式：行列式：一、重积分的换元积分法一、重积分的换元积分法一、重积分的换元积分法一、重积分的换元积分法则成立换元积分公式：则成立换元积分公式：例例2 设空间一点设空间一点M（x,y,z）在在xoy平面的平面的投影投影P（x，y），），如果如果P（x，y）的极坐的极坐标为标为变换的变换的Jacobi行列式为行列式为即即 则则 称为点称为点M 的柱坐标。它与直的柱坐标。它与直角坐标的变换关系为角坐标的变换关系为 ：一、重积分的换元积分法一、重积分的换元积分法，故成立换元积分公式，故成立换元积分公式一、重积分的换元积分法一、重积分的换元积分法 柱坐标中，柱坐标中，是点是点M到到Oz轴的距离，轴的距离，是是面面OPM和面和面xOz的交角。三族坐标面为的交角。三族坐标面为:若若=常数，它是以常数，它是以z z轴为轴的轴为轴的r=的圆柱面；的圆柱面；若若z=常数，是过常数，是过（0,0,z）平行与面平行与面xoy的面的面.若若 =常数，是过常数，是过OzOz轴的半平面；轴的半平面；体积元素体积元素一、重积分的换元积分法一、重积分的换元积分法为常数为常数平平 面。面。圆柱面；圆柱面；为常数为常数半平面；半平面；为常数为常数三族坐标面见下页如图：三族坐标面见下页如图：一、重积分的换元积分法一、重积分的换元积分法例例3 3 设空间一点设空间一点 在在xoyxoy面的投影为面的投影为 向径向径 的长度的长度 ，与与OZ 轴正向的交角为轴正向的交角为 ,过过OZ轴和点轴和点M M的半平的半平面的交角面的交角 。故球坐标与直角坐标的变换关系：故球坐标与直角坐标的变换关系：则则 称为称为M的球坐标，注意到的球坐标，注意到 一、重积分的换元积分法一、重积分的换元积分法一、重积分的换元积分法一、重积分的换元积分法故成立换元积分公式故成立换元积分公式:故，球坐标系中体积微元故，球坐标系中体积微元一、重积分的换元积分法一、重积分的换元积分法二、利用极坐标系计算二重积分二、利用极坐标系计算二重积分极坐标系下化二重积分为二次积分极坐标系下化二重积分为二次积分设积分区域设积分区域D的点的极角的点的极角 变化的范围在变化的范围在 和和 之间，射线之间，射线 和和 把区域把区域D的变化分成内侧边界的变化分成内侧边界 和外侧边界和外侧边界 设它们都是单值函数，极角设它们都是单值函数，极角 的射线的射线从极坐标为从极坐标为 的点进入区域的点进入区域D，从，从极坐标为极坐标为 的点穿出。的点穿出。满足满足因此在极坐标系下区域因此在极坐标系下区域D有如下不等式有如下不等式:此时有此时有:这条射线落这条射线落D内的部分其极坐标内的部分其极坐标二、利用极坐标系计算二重积分二、利用极坐标系计算二重积分此时此时,见下页见下页图图8-5(a).8-5(a).当当D D包含极点包含极点O O在内在内D D 的边界通过极点的边界通过极点O O 时时,此时见下页图此时见下页图8-5(b)(c).8-5(b)(c).取取二、利用极坐标系计算二重积分二、利用极坐标系计算二重积分二、利用极坐标系计算二重积分二、利用极坐标系计算二重积分二、利用极坐标系计算二重积分二、利用极坐标系计算二重积分 例例6 平面上到两定点平面上到两定点（-a，0）和和（a，0）的距离之积为的距离之积为 的点的轨距称双钮线，求的点的轨距称双钮线，求 双钮线所围图形的面积。双钮线所围图形的面积。设动点坐标设动点坐标为为(x,yx,y),则则 解解:二、利用极坐标系计算二重积分二、利用极坐标系计算二重积分如右图所示如右图所示得到得到由此可知双钮线关于坐标轴及坐标原点对称由此可知双钮线关于坐标轴及坐标原点对称令令得双钮线的极坐标方程得双钮线的极坐标方程二、利用极坐标系计算二重积分二、利用极坐标系计算二重积分在第一象限部分区域在第一象限部分区域D二、利用极坐标系计算二重积分二、利用极坐标系计算二重积分二、利用极坐标系计算二重积分二、利用极坐标系计算二重积分例例10 计算积分计算积分(1),其中其中D为圆域为圆域 .(2)解解 (1)在极坐标系下在极坐标系下,积分区域积分区域D可表示为可表示为则则二、利用极坐标系计算二重积分二、利用极坐标系计算二重积分三、利用三、利用柱坐标和球坐标求重积分柱坐标和球坐标求重积分若空间区域若空间区域 在球坐标系下的不等式表示为在球坐标系下的不等式表示为则则三、利用三、利用柱坐标和球坐标求重积分柱坐标和球坐标求重积分则三重积分则三重积分若一空间区域若一空间区域 在柱坐标系下的不等式表示为在柱坐标系下的不等式表示为例例14.求三重积分求三重积分 其中其中V是球面是球面 与抛物面与抛物面 所围部分。所围部分。三、利用三、利用柱坐标和球坐标求重积分柱坐标和球坐标求重积分解法解法1在在xoy面上的投影曲线面上的投影曲线因此因此V在在 平面的投影平面的投影 ，三、利用三、利用柱坐标和球坐标求重积分柱坐标和球坐标求重积分 曲线曲线在柱面坐标系下边界的两张曲面分别为在柱面坐标系下边界的两张曲面分别为投影区域表示为投影区域表示为故故V在柱坐标系下可表示为：在柱坐标系下可表示为：三、利用三、利用柱坐标和球坐标求重积分柱坐标和球坐标求重积分三、利用三、利用柱坐标和球坐标求重积分柱坐标和球坐标求重积分三、利用三、利用柱坐标和球坐标求重积分柱坐标和球坐标求重积分例例 16 计算三重积分计算三重积分其中其中 为半球面为半球面 解解 在柱坐标在柱坐标系下可表示为：系下可表示为：故故三、利用三、利用柱坐标和球坐标求重积分柱坐标和球坐标求重积分三、利用三、利用柱坐标和球坐标求重积分柱坐标和球坐标求重积分又解又解 在球坐标系可表示为在球坐标系可表示为故故三、利用三、利用柱坐标和球坐标求重积分柱坐标和球坐标求重积分 例例17.求半径为求半径为a 的球面与半顶角为的球面与半顶角为 的内接的内接圆锥所围立体体积。圆锥所围立体体积。解解 选坐标系使球选坐标系使球面过原点，球心在面过原点，球心在z轴上与直角坐标为轴上与直角坐标为 处，其方程为处，其方程为锥面顶点在原点，锥面顶点在原点，其轴与其轴与 轴重合，轴重合，三、利用三、利用柱坐标和球坐标求重积分柱坐标和球坐标求重积分在球坐标系下，球面方程和锥面方程为在球坐标系下，球面方程和锥面方程为：它们所围立体可用球坐标表示为；它们所围立体可用球坐标表示为；所以，所求体积所以，所求体积：三、利用三、利用柱坐标和球坐标求重积分柱坐标和球坐标求重积分三、利用三、利用柱坐标和球坐标求重积分柱坐标和球坐标求重积分三、利用三、利用柱坐标和球坐标求重积分柱坐标和球坐标求重积分 例例22 计算积分计算积分 ，其中其中 为椭球体为椭球体解解 利用椭球坐标变换利用椭球坐标变换其其Jacobi行列式行列式三、利用三、利用柱坐标和球坐标求重积分柱坐标和球坐标求重积分三、利用三、利用柱坐标和球坐标求重积分柱坐标和球坐标求重积分在椭球坐标系在椭球坐标系 可表示为可表示为故故三、利用三、利用柱坐标和球坐标求重积分柱坐标和球坐标求重积分三、利用三、利用柱坐标和球坐标求重积分柱坐标和球坐标求重积分解法解法1p经常不断地学习,你就什么都知道。你知道得越多,你就越有力量pStudyConstantly,AndYouWillKnowEverything.TheMoreYouKnow,TheMorePowerfulYouWillBe学习总结结束语当你尽了自己的最大努力时，失败也是伟大的，所以不要放弃，坚持就是正确的。When You Do Your Best,Failure Is Great,So DonT Give Up,Stick To The End演讲人：XXXXXX 时 间：XX年XX月XX日
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