高等数学多媒体30课件

高等数学多媒体课件高等数学多媒体课件第八章第八章 常微分方程初步常微分方程初步第二节第二节 二阶常系数微分方程二阶常系数微分方程2024/7/313一、二阶线性微分方程解的结构一、二阶线性微分方程解的结构一、二阶线性微分方程解的结构一、二阶线性微分方程解的结构二阶微分方程的如下形式二阶微分方程的如下形式y +p(x)y +q(x)y=f(x)称为二阶线性微分方程称为二阶线性微分方程，简称简称二阶线性方程二阶线性方程.f(x)称称为为自自由由项项，当当 f(x)0 时时，称称为为二二阶阶线线性性非非齐齐次次微分方程微分方程，简称简称二阶线性非齐次方程二阶线性非齐次方程.当当 f(x)恒恒为为 0 时时，称为称为二阶线性齐次微分方程二阶线性齐次微分方程，简简称称二二阶阶线线性性齐次方程齐次方程.方方程程中中 p(x)、q(x)和和 f(x)都都是是自自变变量量的已知连续函数的已知连续函数.这这类类方方程程的的特特点点是是：右右边边是是已已知知函数或零，左边每一项含函数或零，左边每一项含 y 或或 y 或或 y，且且每每项项均均为为 y 或或 y 或或 y 的一次项，的一次项，例例如如 y +xy +y=x2 就就是是二阶线性非齐次方程二阶线性非齐次方程.而而 y +x(y)2+y=x2 就就不不是是二阶线性方程二阶线性方程.2024/7/314定定理理 1如如果果函函数数 y1 与与 y2 是是线线性性齐齐次次方方程程的的两个解，两个解，y=C1 y1+C2 y2仍为该方程的解仍为该方程的解，证证因因为为 y1 与与 y2 是是方方程程 y +p(x)y +q(x)y=0 的两个解，的两个解，与与所以有所以有其中其中 C1，C2 是任意常数是任意常数.则函数则函数2024/7/315于是有于是有y +p(x)y +q(x)y=0所以所以 y=C1y1+C2y2 是是 y +p(x)y +q(x)y=0 的解的解.2024/7/316定定义义设设函函数数 y1(x)和和 y2(x)是是定定义义在在某某区区间间 I 上上的两个函数，的两个函数，k1 y1(x)+k2 y2(x)=0不失一般性，不失一般性，考察两个函数是否线性相关，考察两个函数是否线性相关，我们往往采用另一种我们往往采用另一种简单易行的方法，即看它们的比是否为常数，简单易行的方法，即看它们的比是否为常数，事事实实上上，当当 y1(x)与与 y2(x)线性相关时，有线性相关时，有 k1 y1+k2 y2=0，其其中中 k1,k2 不全为不全为 0，如果存在两个不全为如果存在两个不全为 0 的常数的常数 k1和和 k2，使使在区间在区间 I 上恒成立上恒成立.则称函数则称函数 y1(x)与与 y2(x)在区间在区间 上上是是线性相关线性相关的，否则称为的，否则称为线性无关线性无关.2024/7/317即即 y1 与与 y2 之比为常数之比为常数.反反之之，若若y1 与与 y2 之之比比为为常常数数，则则 y1=l l y2，即，即 y1-l l y2=0.所以所以 y1 与与 y2 线性相关线性相关.因因此此，如如果果两两个个函函数数的的比比是是常常数数，则则它它们们线性相关；线性相关；例例如如函函数数 y1=ex，y2=e-x，所以，它们是线所以，它们是线性无关的性无关的.如果不是常数，则它们线性无关如果不是常数，则它们线性无关.2024/7/318定定理理 2如如果果函函数数 y1 与与 y2 是是二二阶阶线线性性齐齐次次方方程程 y +p(x)y +q(x)y=0 的两个线性无关的特解，的两个线性无关的特解，y=C1 y1+C2 y2是该方程的通解，是该方程的通解，证证因因为为 y1 与与 y2 是是方方程程 y +p(x)y +q(x)y=0 的解，的解，所以，由定理所以，由定理 1 知知 y=C1 y1+C2 y2 也是该方程的解也是该方程的解.又因为又因为 y1 与与 y2 线性无关，即线性无关，即 y1 与与 y2 之比不为常数，之比不为常数，故故C1 与与C2不能合并为一个任意常数，不能合并为一个任意常数，因此因此 y=C1 y1+C2 y2 是二阶线性齐次方程的通解是二阶线性齐次方程的通解.则则其中其中 C1,C2为任意常数为任意常数.所所以以它它们们中中任任一一个个都都不不能能用用另另一一个个(形形如如 y1=ky2 或或 y2=k1 y)来表示来表示.2024/7/319定理定理 3如果函数如果函数 y*是线性非齐次方程的一个是线性非齐次方程的一个特解，特解，y=Y+y*，是线性非齐次方程的通解是线性非齐次方程的通解.证证因为因为 y*与与 Y 分别是线性非齐次方程分别是线性非齐次方程 y +p(x)y +q(x)y=f(x)和线性齐次方程和线性齐次方程 y +p(x)y +q(x)y=0 的解，的解，所以有所以有y*+p(x)y*+q(x)y*=f(x)，Y +p(x)Y +q(x)Y=0.Y 是该方程所对应的线性齐次方程的通解，是该方程所对应的线性齐次方程的通解，则则2024/7/3110又因为又因为 y =Y +y*，y =Y +y*，所以所以y +p(x)y +q(x)y =(Y +y*)+p(x)(Y +y*)+q(x)(Y+y*)=(Y +p(x)Y +q(x)Y)+(y*+p(x)y*+q(x)y*)=f(x).2024/7/3111求二阶线性非齐次方程通解的一般步骤为：求二阶线性非齐次方程通解的一般步骤为：(1)求求线线性性齐齐次次方方程程 y +p(x)y +q(x)y=0 的的线线性无关的两个特解性无关的两个特解 y1 与与 y2，得该方程的通解得该方程的通解 Y=C1 y1+C2 y2.(2)求求线线性性非非齐齐次次方方程程 y +p(x)y +q(x)y=f(x)的一个特解的一个特解 y*.那么，线性非齐次方程的通解为那么，线性非齐次方程的通解为 y=Y+y*.又又 Y 是二阶线性齐次方程的通解，它含有两个任意常是二阶线性齐次方程的通解，它含有两个任意常数，数，故故 y=Y+y*中含有两个任意常数中含有两个任意常数.即即 y=Y+y*是线性非齐次方程是线性非齐次方程 y +p(x)y +q(x)y=f(x)的通解的通解.这说明函数这说明函数 y=Y+y*是线性非齐次方程的解，是线性非齐次方程的解，2024/7/3112y +p(x)y +q(x)y=f1(x)+f2(x)，y +p(x)y +q(x)y=f1(x)，和和y +p(x)y +q(x)y=f2(x)则则是方程是方程 的特解的特解.定理定理 4设二阶线性非齐次方程为设二阶线性非齐次方程为的特解，的特解，2024/7/3113证证因为因为 y1*与与 y2*分别是分别是 与与 的特解，的特解，y1*+p(x)y1*+q(x)y1*=f 1(x)，与与y2*+p(x)y2*+q(x)y2*=f 2(x).于是有于是有=f 1(x)+f 2(x)，所以有所以有=y1*+p(x)y1*+q(x)y1*+y2*+p(x)y2*+q(x)y2*即即 y1*+y2*满足方程满足方程，2024/7/3114二、二阶常系数线性微分方程的解法二、二阶常系数线性微分方程的解法二、二阶常系数线性微分方程的解法二、二阶常系数线性微分方程的解法如果二阶线性微分方程为如果二阶线性微分方程为y +py +qy=f(x)，其中其中 p、q 均为常数，均为常数，则则称称该该方方程程为为二二阶阶常常系系数数线线性微分方程性微分方程.2024/7/31151 特征方程具有两个不相等的实根特征方程具有两个不相等的实根 r1 与与 r2，2 特征方程具有两个相等的实根，特征方程具有两个相等的实根，这时，由特征根可得到常系数线性齐次方程的一个这时，由特征根可得到常系数线性齐次方程的一个特解特解 y1=erx.还还需需再再找找一一个个与与 y1 线线性性无无关关的的特特解解 y2，为此，设为此，设 y2=u(x)y1，其中其中 u(x)为待定函数为待定函数.将将 y2 及及其其一一阶阶、二二阶阶导导数数 y 2=(uerx)=erx(u(x)+ru(x)，y 2=erx(u(x)+2ru(x)+r2u(x)，代代入入方方程程 y+py +qy=0 中，得中，得因而它的通解为因而它的通解为所所以以 y1 与与 y2 线线性性无无关关，都都是是 的解，的解，即即 r1 r2.那么，这时函数那么，这时函数即即2024/7/3116注注意意到到 是是特特征征方方程程的的重重根根，所所以以有有 r2+pr+q=0及及 2r+p =0.且且 er x 0，因此只要因此只要 u(x)满足满足则则 y2=uerx就是就是 式的解，式的解，为为简简便便起起见见，取取方方程程 u(x)=0 的一个解的一个解 u=x，于是得到方程于是得到方程 且与且与 y1=erx 线性无关的解线性无关的解 y2=xerx.因此，因此，式的通式的通解为解为2024/7/31173 特特征征方方程程具具有有一一对对共共轭轭复复根根 r1=+ib b 与与 r2=ib.b.这时有两个线性无关的特解这时有两个线性无关的特解 y1=e(+ib b)x 与与 y2=e(-ib b)x.这是两个复数解，这是两个复数解，为为了了便便于于在在实实数数范围内讨论问题，范围内讨论问题，我们再找两个线性无关的实数解我们再找两个线性无关的实数解.由欧拉公式由欧拉公式(这公式我们将在无穷级数章中补证这公式我们将在无穷级数章中补证)，可得，可得2024/7/3118于是有于是有由由定定理理 1 知知，以以上上两两个个函函数数 e x cosb bx 与与 e x sinb bx均为均为 式的解，式的解，且它们线性无关且它们线性无关.因此，这时方程因此，这时方程的通解为的通解为2024/7/3119 上上述述求求二二阶阶常常系系数数线线性性齐齐次次方方程程通通解解的的方方法法称称为特征根法，其步骤是：为特征根法，其步骤是：(1)写出所给方程的特征方程；写出所给方程的特征方程；(2)求出特征根；求出特征根；(3)根根据据特特征征根根的的三三种种不不同同情情况况，写写出出对对应应的的特解，并写出其通解特解，并写出其通解.特征根方程的通解 一对共轭复根r1,2=i两个不等的实根r1,r2两个相等的实根r1=r2=r(0)2024/7/3121例例 1求方程求方程 y -2y -3y=0 的通的通解解.解解该方程的特征方程为该方程的特征方程为 r2-2r 3=0,它有两它有两个不等的实根个不等的实根 r1=-1，r2=3,其其对对应应的的两两个个线线性性无无关的特解为关的特解为 y1=e-x 与与 y2=e3x,所所以以方方程程的的通通解解为为2024/7/3122例例 2求求方方程程 y -4y +4y=0 的的满满足足初初始始条条件件 y(0)=1，y(0)=4 的特解的特解.解解该方程的特征方程为该方程的特征方程为 r2-4r+4=0，求得求得求得求得将将 y(0)=1，y(0)=4 代入上两式，得代入上两式，得 C1=1，C2=2，y=(1+2x)e2x.其其对对应应的的两两个个线线性性无无关关的的特特解解为为 y1=e2x 与与 y2=xe2x，所以通解为所以通解为所以通解为所以通解为因此，所求特解为因此，所求特解为 它它有有重根重根 r=2.2024/7/3123例例 3求方程求方程 2y +2y +3y=0 的通的通解解.解解该该方方程程的的特特征征方方程程为为 2r2+2r+3=0，它它有共轭复根有共轭复根对对应应的的两两个个线线性性无无关关的的解解为为所以方程的通解为所以方程的通解为所以方程的通解为所以方程的通解为2024/7/3124例例 4求方程求方程 y +4y=0 的通解的通解.解解该该方方程程的的特特征征方方程程为为 r2+4=0，它它有有共共轭轭复根复根 r1,2=2i.即即 =0，b b=2.对对应应的的两两个个线线性性无关的解无关的解 y1=cos 2x.y2=sin 2x.所以方程的通解为所以方程的通解为2024/7/3125 2 2.二阶常系数线性非齐次方程的解法二阶常系数线性非齐次方程的解法二阶常系数线性非齐次方程的解法二阶常系数线性非齐次方程的解法1 自自由由项项 f(x)为为多多项项式式 Pn(x).设二阶常系数线性非齐次方程为设二阶常系数线性非齐次方程为y +py +qy=Pn(x),其中其中 Pn(x)为为 x 的的 n 次多项式次多项式.当原方程当原方程 中中 y 项的系数项的系数 q 0 时时，k 取取 0；当当 q=0，但但 p 0 时时，k 取取 1；当当 p=0，q=0 时，时，k 取取 2.因为方程中因为方程中 p、q 均为均为常数且多项式的导数仍为多项式，常数且多项式的导数仍为多项式，所以可设所以可设 式的式的特解为特解为其中其中 Qn(x)与与 Pn(x)是同次多项式，是同次多项式，2024/7/3126例例 5求方程求方程 y -2y +y=x2 的一个特解的一个特解.解解因为自由项因为自由项 f(x)=x2 是是 x 的二次多项式，的二次多项式，则则代入原方程后，有代入原方程后，有且且 y 的系数的系数 q=1 0，取，取 k=0.所以设特解为所以设特解为2024/7/3127比较两端比较两端 x 同次幂的系数，有同次幂的系数，有解得解得A=1，B=4，C=6.故所求特解为故所求特解为2024/7/3128例例 6求方程求方程 y +y =x3 x+1 的一个特的一个特解解.解解因为自由项因为自由项 f(x)=x3 x+1 是一个是一个 x 的三的三次多项式，次多项式，则则代入原方程后，有代入原方程后，有且且 y 的的系系数数 q=0，p=1 0，取取 k=1.所以设方程的特解为所以设方程的特解为2024/7/3129比较两端比较两端 x 同次幂的系数：同次幂的系数：解得解得故所求特解为故所求特解为2024/7/31302 自由项自由项 f(x)为为 Ae x 型型设二阶常系数线性非齐次方程为设二阶常系数线性非齐次方程为y +py +qy=Ae x，其中其中 ，A 均为常数均为常数.由于由于 p，q 为常数，且指数函数的导数仍为指为常数，且指数函数的导数仍为指数函数，数函数，其中其中 B 为待定常数，为待定常数，当当 不是不是 式所对应的线性齐式所对应的线性齐次方程的特征方程次方程的特征方程 r2+pr+q=0 的根时的根时，取取 k=0；当当 是其特征方程单根时是其特征方程单根时，取取 k=1；当当 是其特征是其特征方程重根时方程重根时，取取 k=2.因此，我们可以设因此，我们可以设 的特解的特解2024/7/3131例例 7求方程求方程 y +y +y=2e2x 的通解的通解.解解 =2 它它不不是是特特征征方方程程 r2+r+1=0 的的根根，取取 k=0，则则代入方程，得代入方程，得故原方程的特解为故原方程的特解为所以，设特解为所以，设特解为.B72=2024/7/3132例例 8求方程求方程 y +2y -3y=ex 的特解的特解.解解 =1 是是特特征征方方程程 r2+2r-3=0 的的单单根根，取取 k=1，则则代入方程，得代入方程，得故原方程的特解为故原方程的特解为所以，设特解为所以，设特解为,41=B2024/7/31333 自由项自由项 f(x)为为 e x(Acos w wx+Bsin w wx)型型设二阶常系数线性非齐次方程为设二阶常系数线性非齐次方程为y +py +qy=e x(Acos w wx+Bsin w wx)，其中其中 ，A，B 均为常数均为常数.由由于于 p，q 为为常常数数，且且指指数数函函数数的的各各阶阶导导数数仍仍为指数函数，为指数函数，正正弦弦函函数数与与余余弦弦函函数数的的导导数数也也总总是是余弦函数与正弦函数，余弦函数与正弦函数，因此因此,我们可以设我们可以设 有特解有特解其中其中 C，D 为待定常数为待定常数.取取 k=0，是根时是根时，取取 k=1，代入代入 式，求得式，求得 C 及及 D.当当 +w wi 不是不是 式所对式所对应的齐次方程的特征方程的根时应的齐次方程的特征方程的根时，2024/7/3134例例 9求方程求方程 y +3y -y=ex cos 2x 的一个特的一个特解解.解解自自由由项项 f(x)=ex cos 2x 为为 e x(Acosw wx+Bsinw wx)型的函数，型的函数，则则 且且 +w wi=1+2i，它不是对应的，它不是对应的常系数线性齐次方程的特征方程常系数线性齐次方程的特征方程 r2+3r 1=0 的根，的根，取取 k=0，所以设特解为，所以设特解为2024/7/3135代入原方程，得代入原方程，得比较两端比较两端 cos 2x 与与 sin 2x 的系数，得的系数，得解此方程组，得解此方程组，得故所求特解为故所求特解为2024/7/3136例例 10求方程求方程 y +y=sin x 的一个特解的一个特解.解解自由项自由项 f(x)=sin x 为为 e x(Acosw wx+Bsinw wx)型的函数，型的函数，且且 =0，w w=1，则则代入原方程，得代入原方程，得 且且 +w wi=i 是是特特征征方程方程 r2+1=0 的根，的根，取取 k=1，所以，设特解为，所以，设特解为2024/7/3137比较两端比较两端 sinx 与与 cosx 的系数，得的系数，得故原方程的特解为故原方程的特解为而对应齐次方程而对应齐次方程 y +y=0 的通解为的通解为Y=C1cosx+C2sinx.故原方程的通解为故原方程的通解为2024/7/3138例例 11方程方程 y +4y=x+1+sinx 的通解的通解.解解自由项自由项 f(x)=x+1+sinx可以看成可以看成 f1(x)=x+1 和和 f2(x)=sin x 之和，之和，y +4y=x+1，y +4y=sin x.和和方程方程 的特解易求得，的特解易求得，设方程设方程 的特解为的特解为的特解的特解.所以分别求方程所以分别求方程2024/7/3139代入代入，得得3Asin x=sin x.所以所以得原方程的特解得原方程的特解2024/7/3140原方程所对应的线性齐次方程为原方程所对应的线性齐次方程为 y +4y=0，其通解为，其通解为Y=C1cos 2x+C2sin 2x，故原方程的通解为故原方程的通解为2024/7/3141三、应用举例三、应用举例三、应用举例三、应用举例例例 12 弹簧振动问题弹簧振动问题设有一个弹簧上端固定，下端挂着一个质量为设有一个弹簧上端固定，下端挂着一个质量为 m 的物体，的物体，当弹簧处于平衡位置时，物体所受的重力与当弹簧处于平衡位置时，物体所受的重力与弹性恢复力大小相等，方向相反，弹性恢复力大小相等，方向相反，设设给给物物体体一一个个初初始始位位移移 x0 初初速速度度 v0，则则物物体体便便在在其其平平衡衡位位置置附附近上下振动近上下振动.已已知知阻阻力力与与其其速速度度成正比，成正比，O 试试求求振振动动过过程程中中位位移移 x 的变化规律的变化规律.2024/7/3142物体在振动过程中，受到两个力的作用：物体在振动过程中，受到两个力的作用：ma=-kx m mv,其中其中 a 为加速度，为加速度，v 为速度，为速度，解解 建建立立坐坐标标系系，平平衡衡位位置置为为原原点点,铅铅垂垂方方向向为为 x 轴的正向，则物体位移轴的正向，则物体位移 x 是时间是时间 t 的函数的函数 x=x(t).根根据据牛牛顿顿第第二二定定律律 F=ma，知知 负负号号表表示示阻阻力力 f2 与速度与速度 v 方向相反，方向相反，其其中中 m m 为为比例系数大于比例系数大于 0(或称阻尼系数或称阻尼系数)，阻力阻力 f2 与速度与速度 v 成正比，成正比，f2=-m mv,负负号号表表示示弹弹性性恢恢复复力力与与位位移移 x 方方向向相反；相反；其中其中 k 为为弹性系数大于弹性系数大于 0，由胡克定律知，由胡克定律知，f1=-kx，弹性恢弹性恢复力复力 f1 与阻力与阻力 f2，2024/7/3143则则 上上式方程可表示为式方程可表示为称为振动的微分方程，称为振动的微分方程，是一个二阶常系数线性齐次是一个二阶常系数线性齐次方程，方程，它的特征方程为它的特征方程为 r2+2nr+w w2=0，其根为其根为那么，上式变为那么，上式变为这里这里 n，w w 为正常数，为正常数，2024/7/3144由题意列出初始条件由题意列出初始条件于是，上述问题化为初值问题：于是，上述问题化为初值问题：2024/7/3145下面分三种情况来讨论下面分三种情况来讨论1 大阻尼情形，即大阻尼情形，即 n w w.是两个不相等的实根是两个不相等的实根.所以方程的通解为所以方程的通解为2 临界阻尼情形，即临界阻尼情形，即 n=w w.这时，特征根这时，特征根 r1=r2=-n，所以方程的通解为，所以方程的通解为2024/7/31463 小阻尼情形，即小阻尼情形，即 n w w.这时，特征根为共轭复数这时，特征根为共轭复数所以方程的通解为所以方程的通解为上式也可写成上式也可写成2024/7/3147对于对于 1，2 情情形形，x(t)都都不不是是振振荡荡函函数数，且当且当 t +时，时，x(t)0，即即物物体体随随时时间间 t 的增大而趋于平衡位置的增大而趋于平衡位置.对于对于 3 的情形，虽的情形，虽然物体的运动是振荡的，然物体的运动是振荡的，但它仍随时间但它仍随时间 t 的增的增大而趋于平衡位置，大而趋于平衡位置，总之，这一类振动问题均总之，这一类振动问题均会因阻尼的作用而停止，会因阻尼的作用而停止，称为弹簧的阻尼自由称为弹簧的阻尼自由振动振动.p经常不断地学习,你就什么都知道。你知道得越多,你就越有力量pStudyConstantly,AndYouWillKnowEverything.TheMoreYouKnow,TheMorePowerfulYouWillBe写在最后感谢聆听不足之处请大家批评指导Please Criticize And Guide The Shortcomings结束语讲师：XXXXXX XX年XX月XX日