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Chap01 函数函数、极限与连续极限与连续 重点内容重点内容:1.极限定义极限定义,极限运算法则极限运算法则,2.极限存在准则极限存在准则,两个重要极限两个重要极限,等价无穷小量等价无穷小量;3.2.函数的连续性函数的连续性,连续函数的运算连续函数的运算,闭区间上连闭区间上连续函数的性质续函数的性质.难点难点:1.极限存在准则极限存在准则,等价无穷小量的使用等价无穷小量的使用;2.函数的间断点函数的间断点,闭区间上连续函数性质的应用闭区间上连续函数性质的应用.今日讲课内容今日讲课内容:数列极限定义数列极限定义 函数极限定义函数极限定义长假后讲课内容长假后讲课内容:极限运算法则极限运算法则 极限存在准则极限存在准则 两个重要极限两个重要极限一.一.概念的引入概念的引入二.二.二二.数列极限的概数列极限的概念念三三.数列极限的性质数列极限的性质数列的极限数列的极限1.如何用渐近的方法求圆的面积如何用渐近的方法求圆的面积A？用圆内接正多边形的面积近似圆的面积用圆内接正多边形的面积近似圆的面积A.A1 A2 A3 A1表示圆内接正表示圆内接正6边形面积边形面积,A2表示圆内接正表示圆内接正12边形面积边形面积,A3表示圆内接正表示圆内接正24边形面积边形面积,An表示圆内接正表示圆内接正6 2n-1边形面积边形面积,显然显然n越大越大,An越接近于越接近于A.因此因此,需要考虑当需要考虑当n时时,An的变化趋势的变化趋势.一、概念的引入一、概念的引入刘徽刘徽割圆术：割圆术：“割之弥细，所失弥割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体不可割，则与圆周合体而无所失矣而无所失矣”刘徽刘徽刘刘徽徽|牟牟合合方方盖盖2.2.曲边三角形的面积问题：曲边三角形的面积问题：与割圆问题与割圆问题 同样的是同样的是 曲边曲边 三角形的三角形的 面积面积 A 如何计算？如何计算？11o oxy我们通常的做法是我们通常的做法是:将区间将区间0,1 n 等份等份,用小用小矩形的面积来近似地表示小曲边梯形的面积矩形的面积来近似地表示小曲边梯形的面积.不足近不足近似似(橘橘色部分色部分)过剩近过剩近似似(橘橘色色 加加蓝蓝色色 部分部分)可以看到，随着可以看到，随着 n 的不断增大，不足近似的不断增大，不足近似不断增加，过剩近似不断减少，越来越接不断增加，过剩近似不断减少，越来越接近于所要求的近于所要求的曲边三角形面积曲边三角形面积 A 的真值。的真值。3.3.截杖问题：截杖问题：“一尺之棰，日截其半，万世不竭一尺之棰，日截其半，万世不竭”例如例如数数列列注意：注意：数列对应着数轴上一个点列数列对应着数轴上一个点列.可看作一动可看作一动点在数轴上依次取点在数轴上依次取问问题题当当 无限增大时无限增大时,是否无限接近于某一是否无限接近于某一确定的数值确定的数值?如果是如果是,如何确定如何确定?问题问题:当当 无限增大时无限增大时,是否无限接近于某一是否无限接近于某一确定的数值确定的数值?如果是如果是,如何确定如何确定?问题问题:“无限接近无限接近”意味着什么意味着什么?如何用数学语言如何用数学语言刻划它刻划它.二二.数列极限的定义数列极限的定义如果数列没有极限如果数列没有极限,就说数列是发散的就说数列是发散的.几何解释几何解释:其中其中数列数列收敛的表述收敛的表述用逻辑符号用逻辑符号:例例1证证所以所以,用定义证数列极限存在时用定义证数列极限存在时,关键是对任意给定关键是对任意给定 的的 寻找寻找N.例例2例例3证证注意：注意：3.改变或去掉数列的有限项改变或去掉数列的有限项,不影响数不影响数列的收敛性和极限列的收敛性和极限.重排不改变数列敛重排不改变数列敛散性散性.*数列数列发散的表述发散的表述用逻辑符号用逻辑符号:三三.数列极限的性质数列极限的性质1.有界性有界性例如例如,有界有界无界无界定理定理1 收敛的数列必定有界收敛的数列必定有界.证证由定义由定义,注意：注意：有界性是数列收敛的有界性是数列收敛的必要条件必要条件.推论推论 无界数列必定发散无界数列必定发散.2.唯一性唯一性定理定理2 收敛的数列收敛的数列极限极限唯一唯一。定理定理2 收敛的数列收敛的数列极限极限唯一唯一。证证 法二法二3#.子数列的收敛性子数列的收敛性注意：注意：例如，例如，定理定理3 收敛数列的任一子数列也收敛，且极限收敛数列的任一子数列也收敛，且极限相同。相同。证明从略证明从略。其实这个结论就是其实这个结论就是 从一般到特殊的必然从一般到特殊的必然。例例4证证小结小结数列数列:研究其取值规律，变化趋势。研究其取值规律，变化趋势。数列极限数列极限:极限思想、精确定义、几何意义极限思想、精确定义、几何意义;收敛数列的性质收敛数列的性质:有界性、唯一性、子数列的收敛性有界性、唯一性、子数列的收敛性.适当放大适当放大例例7 求数列求数列 的极限。的极限。分析分析练习题练习题3.反之是否成立反之是否成立?谢谢
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