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中南大学开放式精品示范课堂高等数学建设组中南大学开放式精品示范课堂高等数学建设组第第1 1章章 函函数与极数与极限限高等数学高等数学A A1.6 1.6 无穷小与无穷大无穷小与无穷大1.6.1 无穷小无穷小 1.6.2 无穷大无穷大 1.6.3 无穷小与无穷大的运算无穷小与无穷大的运算 1.6.4 无穷小的比较无穷小的比较 1.6 1.6 无穷小与无穷大无穷小与无穷大 1.6.3 无穷小与无穷大的运算无穷小与无穷大的运算 1.6.1 无穷小无穷小 无无穷穷小小与与无无穷穷大大有限个无穷小的代数运算有限个无穷小的代数运算 有界函数与无穷小的乘积有界函数与无穷小的乘积 有限个无穷小的乘积有限个无穷小的乘积无穷大的简单运算无穷大的简单运算 无穷小的定义无穷小的定义 无穷小与函数极限的关系无穷小与函数极限的关系 无穷大的定义无穷大的定义 无穷大与无穷小的关系无穷大与无穷小的关系 习例习例1-121.6.2 无穷大无穷大 1.6.4 无穷小的比较无穷小的比较无穷小阶的定义无穷小阶的定义 等价无穷小及性质等价无穷小及性质 定义定义1 注意注意:(1)无穷小并不是一个很小的数无穷小并不是一个很小的数.(2)数数“0”是无穷小量是无穷小量.(3)无穷小是一类特殊函数无穷小是一类特殊函数,是在某一变化过程中极限是在某一变化过程中极限为为0的函数的函数,并且在一个过程中为无穷小的量在另一过并且在一个过程中为无穷小的量在另一过程中可能不是无穷小量程中可能不是无穷小量.1.无穷小的定义无穷小的定义一、无穷小一、无穷小 定理定理1 证明证明:充分性充分性:2.无穷小与函数极限的关系无穷小与函数极限的关系 仅证明仅证明 的情况的情况.必要性必要性:定义定义2 注意注意:(1)无穷大是变量无穷大是变量,不能与很大的数混淆不能与很大的数混淆.(3)无穷大是一种特殊的无界变量无穷大是一种特殊的无界变量,但是无界变量未但是无界变量未必是无穷大必是无穷大.如：如：1.无穷大的定义无穷大的定义 二、无穷大二、无穷大 2.无穷大与无穷小的关系无穷大与无穷小的关系 定理定理2 证明证明:在自变量的同一变化过程中，如果在自变量的同一变化过程中，如果 为无穷大，则为无穷大，则 为无穷小为无穷小.反之，如果反之，如果 为无穷小，且为无穷小，且 ，则，则 为无穷大为无穷大.所以所以 ，即，即 为当为当 时的无穷小时的无穷小.反之，如果反之，如果 为无穷小，且为无穷小，且 .对于对于 ，当，当 时，有时，有即即 所以所以 ,即即 为当为当 时的无穷大时的无穷大.定理定理2也可以叙述为：也可以叙述为：定理定理 3(1)有限个无穷小的代数和仍为无穷小有限个无穷小的代数和仍为无穷小.证明证明:三、无穷小与无穷大的运算三、无穷小与无穷大的运算 注意注意:无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.定理定理4 有界函数与无穷小的乘积是无穷小有界函数与无穷小的乘积是无穷小.证明证明:推论推论1.在同一过程中在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘积有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小是无穷小.推论推论2.常数与无穷小的乘积是无穷小常数与无穷小的乘积是无穷小.推论推论3.有限个无穷小的乘积也是无穷小有限个无穷小的乘积也是无穷小.证明证明:定理定理5 对于自变量相同变化趋势下的无穷大有如下性质对于自变量相同变化趋势下的无穷大有如下性质:注意：注意：两个无穷大的和与差不一定是无穷大；两个无穷大的和与差不一定是无穷大；无穷大与有界函数的乘积也不一定是无穷大无穷大与有界函数的乘积也不一定是无穷大.（1）有限个无穷大的乘积是无穷大）有限个无穷大的乘积是无穷大;（2）无穷大与有界量之和是无穷大）无穷大与有界量之和是无穷大.例如例如,极限不同极限不同,反映了趋向于零的反映了趋向于零的“快慢快慢”程度不程度不同同.不可比不可比.观观察察各各极极限限四、无穷小的比较四、无穷小的比较 1.无穷小阶的定义无穷小阶的定义 定义定义3 定理定理6 6证明：证明：2.等价无穷小的性质等价无穷小的性质定理定理7 7 等价无穷小替换定理等价无穷小替换定理证明证明:证明证明:注意注意:(1)任何无穷小与其本身是等价无穷小任何无穷小与其本身是等价无穷小.(2)等价无穷小代换只适用于乘积中等价无穷小代换只适用于乘积中;对于代数和或复合函数中各无穷小不能分别替换对于代数和或复合函数中各无穷小不能分别替换.(3)熟记一些常用的等价无穷小熟记一些常用的等价无穷小 因为因为 所以有：所以有：五、无穷小与无穷大例题分析五、无穷小与无穷大例题分析例例10.计算下列极限计算下列极限解：解：解：解：解：解：解解:解解:解解:解解:解解:解解:例例10.计算下列极限计算下列极限解解:解解:
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