高等数学BCH2-习题课用课件

第五节 函数的微分 问题的提出问题的提出 微分的定义微分的定义 微分的几何意义微分的几何意义 微分公式与微分运算法则微分公式与微分运算法则 微分在近似计算中的应用微分在近似计算中的应用 小结小结CH2 导数与微分导数与微分1上页上页 下页下页 返回返回 函数的变化率问题函数的变化率问题函数的增量问题函数的增量问题微分的概念微分的概念导数的概念导数的概念求导数与微分的方法求导数与微分的方法,叫做叫做微分法微分法.研究微分法与导数理论及其应用的科学研究微分法与导数理论及其应用的科学,叫做叫做微分学微分学.微分学所要解决的两类问题微分学所要解决的两类问题:导数、微分与连续性的联系导数、微分与连续性的联系:可导可导可微可微连续连续内容回顾内容回顾2上页上页 下页下页 返回返回 说法不对说法不对.从概念上讲，微分是从求函数增量引从概念上讲，微分是从求函数增量引出线性主部而得到的，导数是从函数变化出线性主部而得到的，导数是从函数变化率问题归纳出函数增量与自变量增量之比率问题归纳出函数增量与自变量增量之比的极限，它们是完全不同的概念的极限，它们是完全不同的概念.定理定理3上页上页 下页下页 返回返回 导数与微分的区别导数与微分的区别:4上页上页 下页下页 返回返回 例例8解解5上页上页 下页下页 返回返回 五、微分在近似计算中的应用五、微分在近似计算中的应用6上页上页 下页下页 返回返回 例例9解解7上页上页 下页下页 返回返回 例例10解：解：2 2、计算函数的近似值、计算函数的近似值8上页上页 下页下页 返回返回 解解:例例119上页上页 下页下页 返回返回 常用近似公式：常用近似公式：（1）（2）（3）（4）（5）10上页上页 下页下页 返回返回 解解 例例12 11第二章 导数与微分 习题课 内容回顾内容回顾 典型例题典型例题 作业点评作业点评 巩固练习巩固练习12上页上页 下页下页 返回返回 （一）主要内容（一）主要内容一、内容回顾一、内容回顾1 1、导数的定义、导数的定义实质实质:增量比的极限增量比的极限;3 3、导数的几何意义、导数的几何意义:切线的斜率切线的斜率;导数与导函数的区别与联系导数与导函数的区别与联系;4 4、求导四则运算法则、求导四则运算法则注注:2）分段函数求导时）分段函数求导时,分段点处的导数必须用定义（左分段点处的导数必须用定义（左右导数）求右导数）求.13上页上页 下页下页 返回返回 5 5、反函数的求导法则、反函数的求导法则即反函数的导数等于直接函数导数的倒数即反函数的导数等于直接函数导数的倒数.6 6、复合函数的求导法则、复合函数的求导法则注意函数的复合过程注意函数的复合过程,合理分解，正确使用链式法则合理分解，正确使用链式法则7 7、高阶导数的定义及运算法则、高阶导数的定义及运算法则;n阶导数的求法阶导数的求法;1）直接法）直接法;2）间接法）间接法.8 8、隐函数求导法则、隐函数求导法则直接对方程两边求导，求导过程中注意函数的复合关系直接对方程两边求导，求导过程中注意函数的复合关系先在方程两边取对数先在方程两边取对数,然后利用隐函数的求导方法求出导数然后利用隐函数的求导方法求出导数.9 9、对数求导法（注意适用范围）、对数求导法（注意适用范围）14上页上页 下页下页 返回返回 1010、由参数方程所确定的函数的导数、由参数方程所确定的函数的导数实质上是利用复合函数求导法则（始终以实质上是利用复合函数求导法则（始终以t为中间变量，为中间变量，x为自变量）为自变量）1111、相关相关变化率化率:通过函数关系确定两个相互依赖的变化率通过函数关系确定两个相互依赖的变化率;解法解法:通过建立两者之间的关系通过建立两者之间的关系,用链式求导法求解用链式求导法求解.15上页上页 下页下页 返回返回 1212、微分的定义及求法、微分的定义及求法求法求法:计算函数的导数计算函数的导数,乘以自变量的微分乘以自变量的微分.微分形式的不变性微分形式的不变性1313、微分的基本运算法则、微分的基本运算法则1414、导数、微分与连续的关系、导数、微分与连续的关系16上页上页 下页下页 返回返回 可微可微 几个重要概念之间的关系几个重要概念之间的关系可导可导 有极限有极限 连续连续 你能举出反例吗？17上页上页 下页下页 返回返回 理解理解导数与微分概念，了解导数的几何意义、导数与微分概念，了解导数的几何意义、可导（可微）与连续的关系，会用定义求导数；可导（可微）与连续的关系，会用定义求导数；掌握掌握隐函数和参数方程所确定的函数的一阶、隐函数和参数方程所确定的函数的一阶、二阶导数的求法。二阶导数的求法。n 熟练掌握熟练掌握导数的运算法则及求导公式，能熟练导数的运算法则及求导公式，能熟练 地求初等函数的一阶、二阶导数与微分，了解地求初等函数的一阶、二阶导数与微分，了解 高阶导数的概念；高阶导数的概念；（二）大纲要求（二）大纲要求18上页上页 下页下页 返回返回 重点：重点：导数与微分的概念，熟练掌握求各类函数导数与微分的概念，熟练掌握求各类函数 的导数的方法的导数的方法关键：关键：熟记求导公式和求导法则熟记求导公式和求导法则.本章重点难点本章重点难点19上页上页 下页下页 返回返回 二、典型例题二、典型例题基本题型小结基本题型小结1.可导与连续性的讨论可导与连续性的讨论3.函数的微分函数的微分2.函数的求导问题函数的求导问题4.应用应用分段函数在分段点的导数、可导必连续、导数定义分段函数在分段点的导数、可导必连续、导数定义基本公式；基本公式；导数四则运算；导数四则运算；复合求导；复合求导；*导数的应用导数的应用微分的应用微分的应用反函数求导、隐函数求导、对数求导、参数方程求导；反函数求导、隐函数求导、对数求导、参数方程求导；高阶导数；高阶导数；函数变化率问题；函数变化率问题；切线、速度切线、速度函数增量问题；函数增量问题；增量与函数近似值增量与函数近似值20上页上页 下页下页 返回返回 二、典型例题二、典型例题例例1 判断下列运算的对错：判断下列运算的对错：21上页上页 下页下页 返回返回 22上页上页 下页下页 返回返回 1.用导数定义求导用导数定义求导例例2解解23上页上页 下页下页 返回返回 右导数右导数例例224上页上页 下页下页 返回返回 解解1解解2分段函数在分段点的导数分段函数在分段点的导数必须用定义必须用定义例例325上页上页 下页下页 返回返回 例例4解解先去掉绝对值先去掉绝对值26上页上页 下页下页 返回返回 解解不能用公式求导不能用公式求导.例例527上页上页 下页下页 返回返回 解：解：典型例题典型例题典型例题典型例题28上页上页 下页下页 返回返回 典型例题典型例题典型例题典型例题29上页上页 下页下页 返回返回 2.根据导数运算法则求导数根据导数运算法则求导数基本初等函数的求导公式基本初等函数的求导公式四则四则运算运算法则法则复合函数运算法则复合函数运算法则隐函数求导法则隐函数求导法则参数方程所确定的参数方程所确定的函数的求导公式函数的求导公式对数求导法则对数求导法则例例7解解30上页上页 下页下页 返回返回 例例8解解31上页上页 下页下页 返回返回 于是于是解解 两边取对数得两边取对数得两边对两边对 求导求导32上页上页 下页下页 返回返回 例例9解解两边取对数两边取对数33上页上页 下页下页 返回返回 直接法直接法 间接法间接法 莱布尼兹公式法莱布尼兹公式法3.3.求高阶导数求高阶导数2.注意总结规律注意总结规律34上页上页 下页下页 返回返回 解解直接法直接法 间接法间接法 莱布尼兹公式法莱布尼兹公式法3.3.求高阶导数求高阶导数35上页上页 下页下页 返回返回 例例12解解36上页上页 下页下页 返回返回 37上页上页 下页下页 返回返回 解：解：(1)连续性连续性可导性可导性类似类似 总习题二（总习题二（P122）738上页上页 下页下页 返回返回 (2)39上页上页 下页下页 返回返回 证：证：分析：分析：习题习题21（P87）T11三、作业点评三、作业点评40上页上页 下页下页 返回返回 习题习题23（P103）T4分析：分析：41上页上页 下页下页 返回返回 反之，不成立反之，不成立总习题二（总习题二（P125）T342上页上页 下页下页 返回返回 4.设有一细棒，取棒的一端作为原点棒上任意点的坐标为设有一细棒，取棒的一端作为原点棒上任意点的坐标为x，于是分布在区间于是分布在区间0，x上细棒的质量上细棒的质量m是是x的函数的函数m m(x)应怎样确定细棒在应怎样确定细棒在x0点处的线密度点处的线密度解：解：Oxx0如图所示：如图所示：所以所以x0点处的线密度为上式极限，即：点处的线密度为上式极限，即：总习题二（总习题二（P125）T443上页上页 下页下页 返回返回 解：解：7.讨论下列函数在原点处的连续性与可导性讨论下列函数在原点处的连续性与可导性.故原点处导数不存在故原点处导数不存在所以该函数原点处是连续的所以该函数原点处是连续的总习题二（总习题二（P125）T744上页上页 下页下页 返回返回 解：解：7.讨论下列函数在原点处的连续性与可导性讨论下列函数在原点处的连续性与可导性.故原点处导数不存在故原点处导数不存在所以该函数原点处是连续的所以该函数原点处是连续的总习题二（总习题二（P125）T7想一想结果如何？想一想结果如何？在在x=0极限不存在，从而不连续极限不存在，从而不连续进而不可导进而不可导可导从而连续。可导从而连续。45上页上页 下页下页 返回返回 16.甲船以甲船以6kmh速率向东行驶，乙船以以速率向东行驶，乙船以以8kmh速率向南行驶，速率向南行驶，在中午十二点正，乙船位于甲船之北在中午十二点正，乙船位于甲船之北16km处，问下午一点正处，问下午一点正两船相离的速率为多少？两船相离的速率为多少？解：解：北北东东乙甲乙相距甲乙相距16km甲建坐标系如图：建坐标系如图：十二点后的十二点后的t t 时刻两船的位置如图：时刻两船的位置如图：此时两船的距离为此时两船的距离为xy0总习题二（总习题二（P126）T1646上页上页 下页下页 返回返回 解：解：由近似公式由近似公式17.用微分求近似值：用微分求近似值：得：得：几个常用的近似公式：几个常用的近似公式：总习题二（总习题二（P127）T1747上页上页 下页下页 返回返回 解：解：18.已知单摆的振动周期为已知单摆的振动周期为 其其 中中 ，l 为为摆长摆长(单位为单位为cm)，设原摆长为，设原摆长为20 cm，为使周期，为使周期T增大增大0.05s，摆长约需加多少？摆长约需加多少？所求问题为已知自变量：所求问题为已知自变量：此时函数增量为：此时函数增量为：由微分学知：由微分学知：求此时的自变量的增量：求此时的自变量的增量：总习题二（总习题二（P127）T1848上页上页 下页下页 返回返回 练习：练习：答案：答案：49作业：第二章大作业作业：第二章大作业 本周五上交本周五上交预习预习3.1 微分中值定理微分中值定理50上页上页 下页下页 返回返回 四、巩固练习四、巩固练习51上页上页 下页下页 返回返回 52上页上页 下页下页 返回返回 53上页上页 下页下页 返回返回 54上页上页 下页下页 返回返回 55上页上页 下页下页 返回返回 56上页上页 下页下页 返回返回 测验题答案测验题答案57p经常不断地学习,你就什么都知道。你知道得越多,你就越有力量pStudyConstantly,AndYouWillKnowEverything.TheMoreYouKnow,TheMorePowerfulYouWillBe写在最后Thank You在别人的演说中思考，在自己的故事里成长Thinking In Other PeopleS Speeches，Growing Up In Your Own Story讲师：XXXXXX XX年XX月XX日