高等代数考研复习[多项式]描述课件

高等代数考研复习高等代数考研复习 第五章第五章 多项式多项式 201 2013年年 8月月 第五章第五章 多项式多项式多项式理论是古典代数的主要内容多项式理论是古典代数的主要内容.多项式多项式的研究的研究,源于源于“代数方程求解代数方程求解”,”,是最古老的是最古老的数学问题之一数学问题之一.多项式理论是高等代数中较多项式理论是高等代数中较为独立的部分为独立的部分,本章复习内容分为三个部分：本章复习内容分为三个部分：(1)(1)多项式的整除及最大公因式多项式的整除及最大公因式(2)(2)多项式的因式分解与重因式多项式的因式分解与重因式(3)(3)常见数域上的因式分解问题常见数域上的因式分解问题1.1.多项式的整除及最大公因式多项式的整除及最大公因式1.1 1.1 多项式的有关概念多项式的有关概念形如形如 的表达式的表达式称为系数在数域称为系数在数域P P上的一元上的一元n n次多项式，记次多项式，记 称为多项式的次数称为多项式的次数.当当n=0n=0时且时且 称为零次多项式，当称为零次多项式，当 时称为零时称为零多项式，零多项式不定义次数多项式，零多项式不定义次数.次数公式：次数公式：多项式的相等多项式的相等：两个多项式相等当且仅当它们两个多项式相等当且仅当它们的次数相等，且同次项的系数相等的次数相等，且同次项的系数相等.多项式的运算：多项式的运算：多项式可以进行加法、乘法运多项式可以进行加法、乘法运算并满足交换律、结合律算并满足交换律、结合律.乘法满足消去律即，乘法满足消去律即，若若 则则1.2 1.2 带余除法定理带余除法定理 对任意的对任意的 则一定存在则一定存在使得使得 且且 或或这里这里 称为商式，称为商式，称为余式称为余式.余数定理余数定理：当：当 时有，时有，除除 所得余式为所得余式为1.3 1.3 多项式的整除多项式的整除 (1)(1)定义：对于多项式定义：对于多项式 若存在多项式若存在多项式 使得使得 则称则称 整除整除 记记为为 的充分必要条件为：的充分必要条件为：当当 时称时称 为多项式为多项式 的根的根.(2)(2)性质：性质：a)a)b)b)且且 则则 c)c)且且 则则 d)d)若若 则则多项式的整除与带余除法定理不因系数域的扩多项式的整除与带余除法定理不因系数域的扩大而改变大而改变.题型题型：1)1)带余除法方法与综合除法带余除法方法与综合除法例例1 1 设设求求 除除 的商及余式的商及余式.例例2 2 求求 除以除以 的余式的余式.例例3 3 将将 按按 的方幂的方幂展开展开.2 2）整除的应用）整除的应用例例4 4 确定确定m m、p p的值的值，使 例例5 5 证明：证明：例例6 6 如果如果 证明：证明：例例7 7 若若 问是否有问是否有例例8 8 证明：如果证明：如果 则则 的根只能是的根只能是零或单位根零或单位根.1.4 1.4 最大公因式最大公因式 1)1)定义定义:对任意多项式对任意多项式 称称 为为 的一个最大公因式，的一个最大公因式，如果：如果：a)a)b)b)若若 是是 的任意公因式，的任意公因式，都有都有 表示首项系数为表示首项系数为1 1的的 的最大的最大公因式公因式.2)2)最大公因式存在定理最大公因式存在定理:对任意多项式对任意多项式一定存在他们的最大公因式一定存在他们的最大公因式 并且并且3)3)最大公因式求法最大公因式求法-辗转相除法辗转相除法依据：依据：当最后余数为零时，上一次除法的余式为最大当最后余数为零时，上一次除法的余式为最大公因式公因式.例例 求多项式求多项式的最大公因式的最大公因式,并且将最大公因式表示为并且将最大公因式表示为的一个组合的一个组合.1.5 1.5 多项式的互素多项式的互素 1)1)定义：若定义：若 则称则称 是互素是互素的的.2)2)互素的判别定理：互素的判别定理：互素的充分必要条互素的充分必要条件是：存在多项式件是：存在多项式 使得使得 3)3)互素的性质互素的性质:a)a)若若 且且 则则 b)b)若若 且且 则则 c)c)若若 则则推论：若推论：若例例1 1 证明：证明：例例2 2 设设且且 证明：证明：例例3 3 设设 不全为零，证明：不全为零，证明：例例4 4 如果如果 证明：证明：例例5 5 证明：证明：能整除能整除的充分必要条件是：的充分必要条件是：n n是偶数是偶数.2.2.多项式的因式分解与重因式多项式的因式分解与重因式2.12.1不可约多项式不可约多项式1)1)定义：数域定义：数域P P上一个次数上一个次数 的多项式的多项式 如如果不能表成数域果不能表成数域P P上的两个次数比上的两个次数比 次数低的次数低的多项式的乘积，称多项式的乘积，称 为为P P上的不可约多项式上的不可约多项式.2)2)性质：性质：a)a)一次多项式一定是不可约多项式一次多项式一定是不可约多项式.b)b)是不可约多项式，则它的因式只有非是不可约多项式，则它的因式只有非零常数和零常数和 c)c)若若 是是P P上的不可约多项式，对任意的上的不可约多项式，对任意的必有必有 或或 d)d)是是P P上的不可约多项式，若上的不可约多项式，若 则则 或或3)3)不同数域上的不可约多项式类型不同数域上的不可约多项式类型 a)a)在复数域上，不可约多项式只能是一次多在复数域上，不可约多项式只能是一次多项式项式.b)b)在实数域上，不可约多项式只能是一次多在实数域上，不可约多项式只能是一次多项式或判别式小于零的二次多项式项式或判别式小于零的二次多项式.c)c)在有理数域上存在任意次的不可约多项式，在有理数域上存在任意次的不可约多项式，如如 在有理数域上不可约在有理数域上不可约.2.2 2.2 多项式因式分解定理多项式因式分解定理1)1)数域数域P P上每个次数上每个次数 的多项式的多项式 都可以唯都可以唯一地分解成数域一地分解成数域P P上一些不可约多项式的乘积上一些不可约多项式的乘积.(定理只具有理论意义！定理只具有理论意义！)标准分解式标准分解式:数域数域P P上每个次数上每个次数 的多项式的多项式 都可以分解成都可以分解成2 2）利用标准分解式可求两个多项式的最大公因）利用标准分解式可求两个多项式的最大公因式式.例例 已知已知 ，求求2.3 2.3 重因式及多项式的根重因式及多项式的根 1)1)重因式的定义：设重因式的定义：设 是数域是数域P P上上的不可约多项式，如果的不可约多项式，如果 但是但是则称则称 是是 的一个的一个k k重因式重因式.当当k=1k=1时，称为单因式，时，称为单因式，k1k1时，称为重因式时，称为重因式.2)2)重根：若重根：若 但但 则则称称 是是 的的k k重根重根.重因式依赖于数域重因式依赖于数域.多项式有多项式有k k重因式，不一重因式，不一定有定有k k重根；反之，多项式有重根；反之，多项式有k k重根必有重根必有k k重因式重因式！3)3)重因式的性质重因式的性质 a)a)如果不可约多项式如果不可约多项式 是是 的的k k重因式，重因式，那么那么 也是也是 的的k-1k-1重因式重因式.反之不真，且反之不真，且 的单因式不是的单因式不是 的因式的因式.例如例如 b)b)如果如果 是是 的的k k重因式，那么重因式，那么 也是也是 的因式，但不是的因式，但不是 的因的因式式.c)c)是是 的重因式的充分必要条件是的重因式的充分必要条件是：是是 的公因式的公因式.即即 d)d)设设 的标准分解式为的标准分解式为则则即它与即它与 有完全相同的不可约因式有完全相同的不可约因式.题型分析：这部分题目主要是对重因式与重根题型分析：这部分题目主要是对重因式与重根概念与性质的应用概念与性质的应用,只有深刻理解概念与性质，只有深刻理解概念与性质，才可能处理好这些问题才可能处理好这些问题!例例1 1 求求 有重因式的条件，并确定重因有重因式的条件，并确定重因式式.例例2 2 已知已知 试确定试确定p p的值，的值，使使 有重根，并求根有重根，并求根.例例3 3 证明：证明：没有重根没有重根.例例4 4 如果如果a a是是的一个的一个k k重因式，证明：重因式，证明：a a是是的一个的一个k+3k+3重因式。重因式。例例5 5证明证明：例例6 6当正整数当正整数n n取何值时，都有取何值时，都有例例7 7设设若若 那么那么例例7 7的应用，设的应用，设为n n次复系数多项式，且次复系数多项式，且证明：证明：有有n+1n+1重零根重零根.例例8 8 证明：证明：设设是首项首项系数为1且次数大于零的多项式零的多项式.那么那么 是某一不可约多项式的方是某一不可约多项式的方幂的充分必要条件是：幂的充分必要条件是：必有必有或对某一正整数或对某一正整数m m，有，有例例9 9 设设都是次数不大于都是次数不大于n-2的式系数多项式，证明：对任意数的式系数多项式，证明：对任意数都有都有3 常见数域上多项式的因式分解问题常见数域上多项式的因式分解问题3.13.1复数域上的因式分解问题复数域上的因式分解问题1)1)代数学基本定理：每个次数大于等于代数学基本定理：每个次数大于等于1 1的的复系数多项式在复数域上有一根复系数多项式在复数域上有一根.2)2)复系数多项式因式分解定理：每个次数大复系数多项式因式分解定理：每个次数大于等于于等于1 1的的复多项式在的的复多项式在C C上可以唯一地分解上可以唯一地分解为一次因式的乘积为一次因式的乘积.3.2 3.2 实数域上的因式分解问题实数域上的因式分解问题1)实系数多项式虚根成对定理：实系数一元实系数多项式虚根成对定理：实系数一元多项式如果有虚根多项式如果有虚根 则则 也是这个多项式的根也是这个多项式的根.2)实系数多项式因式分解定理：每个次数大于实系数多项式因式分解定理：每个次数大于等于等于1 1的的实多项式在的的实多项式在R R上可以唯一地分解为一上可以唯一地分解为一次因式与二次不可约因式的乘积次因式与二次不可约因式的乘积.3.3 3.3 有理数域上的因式分解有理数域上的因式分解2)2)本原多项式本原多项式:系数没有异于系数没有异于 的整系数多的整系数多项式项式.1)任一有理系数多项式总可以表示成一个有任一有理系数多项式总可以表示成一个有理数域一个整系数多项式的乘积理数域一个整系数多项式的乘积.3)如果一个非零的整系数多项式能够分解成两如果一个非零的整系数多项式能够分解成两个有理系数多项式的乘积，那么它一定能分解个有理系数多项式的乘积，那么它一定能分解成两个整系数多项式的乘积成两个整系数多项式的乘积.4)整多项式有理根存在判别定理：设整系数多整多项式有理根存在判别定理：设整系数多项式项式有有理根有理根则则特别特别，若则多项式只有整数多项式只有整数根根.5)5)整多项式不可约判别法：（艾森斯坦因判整多项式不可约判别法：（艾森斯坦因判别法别法)设设是整系数多项式是整系数多项式如果存在一个素数如果存在一个素数p p，使得，使得a)b)c)则多项式在则多项式在Q Q上不可约上不可约.题型分析题型分析:1):1)特殊多项式的因式分解；特殊多项式的因式分解；2)有理根判定；有理根判定；3)可约性判定可约性判定。例例1 1(1)将将分别在分别在C C与与R R上因式分解上因式分解.(2)2)求求在在C C与与R R上的上的标准分解式标准分解式.例例2 2 设设a a为实数，证明为实数，证明：最多只有一个实根最多只有一个实根(重根只算一个重根只算一个).).例例3 3 设设其中其中a,ba,b是整数，试求全部的是整数，试求全部的a,ba,b使得使得有公共的有理根，并求出相应的有理根有公共的有理根，并求出相应的有理根.例例4 4 设设是整系数多项式是整系数多项式，如果如果均为奇数均为奇数，且且至少有一个至少有一个奇数，证明奇数，证明 无有理根无有理根.例例5 5 判别判别在在Q Q上的可上的可约性约性.例例6 6 判别判别在在Q Q上的可上的可约性约性.例例7 7 求所有整数求所有整数m m，使得，使得在在Q Q上可约上可约。例例8 8 设是不同的整数是不同的整数.证明：证明：(1)在在Q Q上不可约上不可约.(2)在在Q Q上不可上不可约约.例例9 9 设其中其中p p是素数是素数.证明：不存在整数证明：不存在整数m m，使得，使得泛函微分方程解的零点分泛函微分方程解的零点分布研究布研究20122012院级专项课题申请报告院级专项课题申请报告数学系数学系 郭忠海郭忠海泛函微分方程解的零点分泛函微分方程解的零点分布研究布研究20122012院级专项课题申请报告院级专项课题申请报告数学系数学系 郭忠海郭忠海