刘徽割圆术课件

刘徽割圆术1（一）刘徽简介（一）刘徽简介（二）（二）“割圆术割圆术”的含义的含义（三）刘徽割圆术的主要内容和根据（三）刘徽割圆术的主要内容和根据（四）刘徽（四）刘徽“割圆术割圆术”的意义的意义（一）刘徽简介（二）“割圆术”的含义（三）刘徽割圆术的主要内2（一）刘徽简介（一）刘徽简介 刘徽（约公元刘徽（约公元225年年295年），汉族，山年），汉族，山东临淄人，魏晋期间伟大的数学家，中国古典东临淄人，魏晋期间伟大的数学家，中国古典数学数学理论的奠基者之一。是中国数学史上一个理论的奠基者之一。是中国数学史上一个非常伟大的数学家，他的杰作九章算术注非常伟大的数学家，他的杰作九章算术注和海岛算经，是中国最宝贵的数学遗产。和海岛算经，是中国最宝贵的数学遗产。刘徽思想敏捷，方法灵活，既提倡推理又主张刘徽思想敏捷，方法灵活，既提倡推理又主张直观他是中国最早明确主张用逻辑推理的方直观他是中国最早明确主张用逻辑推理的方式来论证数学命题的人刘徽的一生是为数学式来论证数学命题的人刘徽的一生是为数学刻苦探求的一生他虽然地位低下，但人格高刻苦探求的一生他虽然地位低下，但人格高尚他不是沽名钓誉的庸人，而是学而不厌的尚他不是沽名钓誉的庸人，而是学而不厌的伟人，他给我们中华民族留下了宝贵的财富。伟人，他给我们中华民族留下了宝贵的财富。（一）刘徽简介 刘徽（约公元225年2953（二）（二）“割圆术割圆术”的含义的含义所谓所谓“割圆术割圆术”，是用圆内接正多边形，是用圆内接正多边形的周长去无限逼近圆周并以此求取圆周率的的周长去无限逼近圆周并以此求取圆周率的方法。这个方法，是刘徽在批判总结了数学方法。这个方法，是刘徽在批判总结了数学史上各种旧的计算方法之后，经过深思熟虑史上各种旧的计算方法之后，经过深思熟虑才创造出来的一种崭新的方法。才创造出来的一种崭新的方法。（二）“割圆术”的含义 所谓“割圆术”，是用圆内4（三）刘徽（三）刘徽“割圆术割圆术”的主要的主要内容和根据内容和根据第一，圆内接正六边形每边的长等于半径。第一，圆内接正六边形每边的长等于半径。（三）刘徽“割圆术”的主要内容和根据第一，圆内接正六边形每边5第二，作正十二边形，从勾股定理出第二，作正十二边形，从勾股定理出发，求得正十二边形的边长。根据勾股发，求得正十二边形的边长。根据勾股定理，从圆内接正定理，从圆内接正n边形每边的长，可以边形每边的长，可以求出圆内接正求出圆内接正2n边形每边的长。边形每边的长。第二，作正十二边形，从勾股定理出发，求得正十二边形的6第三，从圆内接正第三，从圆内接正n边形每边的长，边形每边的长，可以直接求出圆内接正可以直接求出圆内接正2n边形面积。如边形面积。如图所示，四边形图所示，四边形OADB的面积等于半径的面积等于半径OD和正和正n边形边长边形边长AB乘积的一半。乘积的一半。第三，从圆内接正n边形每边的长，可以直接求出7第四，圆面积第四，圆面积S满足不等式满足不等式S2nSS2n（S2nSn）。）。如图所示，四边形如图所示，四边形OADB的面积和的面积和OAB的面积的差等于以的面积的差等于以AD和和DB为弦的两个直角三角为弦的两个直角三角形面积，而形面积，而OADB的面的面积再加上这样两个直角积再加上这样两个直角三角形的面积，就有一三角形的面积，就有一部分超出圆周了。部分超出圆周了。第四，圆面积S满足不等式 如图所示，四边形OAD8第五，刘徽指出：第五，刘徽指出：“割之弥细，所失割之弥细，所失弥少。割之又割，以至于不可割，则与弥少。割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣。圆周合体而无所失矣。”（九章算术（九章算术方田章圆田术刘徽注）这就是说，圆方田章圆田术刘徽注）这就是说，圆内接正多边形的边数无限增加的时候，内接正多边形的边数无限增加的时候，它的周长的极限是圆周长，它的面积的它的周长的极限是圆周长，它的面积的极限是圆面积。极限是圆面积。第五，刘徽指出：“割之弥细，所失弥少。割之又割，9刘徽根据割圆术从圆内接正六边形刘徽根据割圆术从圆内接正六边形算起，边数逐渐加倍，相继算出正十二边算起，边数逐渐加倍，相继算出正十二边形，正二十四边形，形，正二十四边形，以至于正九十六以至于正九十六边形每边的长，并且求出正一百九十二边边形每边的长，并且求出正一百九十二边形的面积。形的面积。这相当于求得这相当于求得=3.141024。他在实际计算中，采用了。他在实际计算中，采用了=157/50=3.14，不仅这样，刘徽还继续求到圆内不仅这样，刘徽还继续求到圆内接正接正三千零七十二边形的面积，验证了前面的三千零七十二边形的面积，验证了前面的结果，并且得出更精确的圆周率值结果，并且得出更精确的圆周率值=3927/1250=3.1416 刘徽根据割圆术从圆内接正六边形算起，边数10（四）（四）刘徽刘徽“割圆术割圆术”的意义的意义刘徽的割圆术，为圆周率研究工作奠定了刘徽的割圆术，为圆周率研究工作奠定了坚实可靠的理论基础，在数学史上占有十分重坚实可靠的理论基础，在数学史上占有十分重要的地位。他所得到的结果在当时世界上也是要的地位。他所得到的结果在当时世界上也是很先进的。刘徽的计算方法只用圆内接多边形很先进的。刘徽的计算方法只用圆内接多边形面积，而无须外切形面积，这比古希腊数学家面积，而无须外切形面积，这比古希腊数学家阿基米德（前阿基米德（前287前前212）用圆内接和外切正）用圆内接和外切正多边形计算，在程序上要简便得多，可以收到多边形计算，在程序上要简便得多，可以收到事半功倍的效果。同时，为解决圆周率问题，事半功倍的效果。同时，为解决圆周率问题，刘徽所运用的初步的极限概念和直曲转化思想，刘徽所运用的初步的极限概念和直曲转化思想，这在一千五百年前的古代，也是非常难能可贵这在一千五百年前的古代，也是非常难能可贵的。的。（四）刘徽“割圆术”的意义 刘徽的割圆术，为圆11祖冲之的圆周率12 祖冲之（公元祖冲之（公元年）年）字文远，范阳郡遒县（今河北省保定市涞字文远，范阳郡遒县（今河北省保定市涞水县）人，是我国南北朝时代一位成绩卓水县）人，是我国南北朝时代一位成绩卓著的科学家。他不仅在天文、数学等方面著的科学家。他不仅在天文、数学等方面有过闻名世界的贡献，而且在机械制造等有过闻名世界的贡献，而且在机械制造等方面也有许多发明创造。他的发明为促进方面也有许多发明创造。他的发明为促进社会生产的发展，建立了不可磨灭的功绩，社会生产的发展，建立了不可磨灭的功绩，受到了中国人民和世界人民的尊敬。受到了中国人民和世界人民的尊敬。（一）祖冲之简介（一）祖冲之简介 祖冲之（公元年）字文远，范13 指平面上圆的周长与直径之比。指平面上圆的周长与直径之比。早在一千四百多年以前，我国古代著早在一千四百多年以前，我国古代著名的数学家祖冲之，就精密地计算出名的数学家祖冲之，就精密地计算出圆的周长是它直径的圆的周长是它直径的3.1415926-3.1415926-3.14159273.1415927倍之间。这是当时世界上算倍之间。这是当时世界上算得最精确的数值得最精确的数值-圆周率。圆周率。（二）圆周率的定义（二）圆周率的定义 指平面上圆的周长与直径之比。早在一千四百多年以前，我14 “圆周率圆周率”是说一个圆的周长同它的直径有一是说一个圆的周长同它的直径有一个固定的比例。我们的祖先很早就有个固定的比例。我们的祖先很早就有“径一周三径一周三”的说法，就是说，假如一个圆的直径是的说法，就是说，假如一个圆的直径是1尺，那它尺，那它的周长就是的周长就是3尺。后来，人们发现这个说法并不准尺。后来，人们发现这个说法并不准确。东汉的大科学家张衡认为应该是确。东汉的大科学家张衡认为应该是3.162。三国。三国到西晋时期的数学家刘徽经过计算，求出了到西晋时期的数学家刘徽经过计算，求出了3.14159的圆周率，这在当时是最先进的，但是刘徽的圆周率，这在当时是最先进的，但是刘徽只算到这里就没有继续算。祖冲打算采用刘徽只算到这里就没有继续算。祖冲打算采用刘徽“割割圆术圆术”（在圆内做正（在圆内做正6边形，边形，6边形的周长刚好是直边形的周长刚好是直径的径的3倍，然后再做倍，然后再做12边形、边形、24边形边形边数越多，边数越多，它的周长就和圆的周长越接近）的方法算下去。它的周长就和圆的周长越接近）的方法算下去。（三）圆周率的发展（三）圆周率的发展 “圆周率”是说一个圆的周长同它的直径有一个固定的15在当时的情况下，不但没有计算机，也没有笔算，只能用长在当时的情况下，不但没有计算机，也没有笔算，只能用长4寸，方寸，方3寸的小竹棍来计算。工作是艰巨的，这时祖冲之的儿子也寸的小竹棍来计算。工作是艰巨的，这时祖冲之的儿子也能帮助他了。能帮助他了。父子俩算了一天又一天，眼睛熬红了，人也渐渐瘦了下来，父子俩算了一天又一天，眼睛熬红了，人也渐渐瘦了下来，可大圆里的边形却越画越多，可大圆里的边形却越画越多，3072边、边、6144边边边数越多，边边数越多，边长越短。父子俩蹲在地上，一个认真地画，一个细心地算，谁也长越短。父子俩蹲在地上，一个认真地画，一个细心地算，谁也不敢走神。不敢走神。最后，他们在那个大圆里画出了最后，他们在那个大圆里画出了24576边形，并计算出它的周边形，并计算出它的周长是长是3.1415926。俩人看看摆在地上密密麻麻的小木棍，再看看画在地上的大圆里俩人看看摆在地上密密麻麻的小木棍，再看看画在地上的大圆里的图形，高兴地笑了。的图形，高兴地笑了。后来，祖冲之推算出，后来，祖冲之推算出，49152边形的周长不会超过边形的周长不会超过3.1415927。所以，他得出结论，圆周率是在所以，他得出结论，圆周率是在3.1415926和和3.1415927这两个数这两个数之间。之间。祖冲之是世界上第一个计算圆周率精确到小数点后祖冲之是世界上第一个计算圆周率精确到小数点后7位的人，位的人，比欧洲人早了比欧洲人早了1000多年，这是多么了不起的贡献啊！多年，这是多么了不起的贡献啊！在当时的情况下，不但没有计算机，也没有笔算，只16祖率（密率）是圆周率十分精确的近似值，且又很好祖率（密率）是圆周率十分精确的近似值，且又很好记，只要将记，只要将113355一分为二，便是它的分母和分子了。一分为二，便是它的分母和分子了。张景中院士在数学家的眼光一书中指出：它与张景中院士在数学家的眼光一书中指出：它与精精确值的误差不超过确值的误差不超过0.000000267。在数学家看来，好的。在数学家看来，好的近似分数，既要精确，分母最好又不太大。现今数学近似分数，既要精确，分母最好又不太大。现今数学上己不难证明，在所有分母不超过上己不难证明，在所有分母不超过16500的分数中，密的分数中，密率率355/113是当之无愧的冠军。是当之无愧的冠军。因为缀术失传了，祖冲之究竟是用什么方法将因为缀术失传了，祖冲之究竟是用什么方法将算算到小数点后第七位，又是怎样找到既精确又方便的密到小数点后第七位，又是怎样找到既精确又方便的密率的呢？这至今仍是困惑数学家的一个谜。率的呢？这至今仍是困惑数学家的一个谜。祖率（密率）是圆周率十分精确的近似值，且又很好记，只要将1117祖冲之曾写过一本数学著作缀术，记录了他祖冲之曾写过一本数学著作缀术，记录了他对圆周率的研究和成果。但当时对圆周率的研究和成果。但当时“学官莫能究其学官莫能究其深奥，是故废而不理深奥，是故废而不理”，以致后来失传。，以致后来失传。很多人都知道用密率很多人都知道用密率355/113表示表示的近似值，是的近似值，是一项了不起的贡献。密率一项了不起的贡献。密率355113传到了日本后，传到了日本后，1913年日本数学史家三上一夫建议将祖冲之圆周年日本数学史家三上一夫建议将祖冲之圆周率的密率数值命名为率的密率数值命名为“祖率祖率”，得到一致赞同。，得到一致赞同。祖冲之对圆周率的求索，超过了世界水平整整祖冲之对圆周率的求索，超过了世界水平整整1000年！直到年！直到16世纪德国人世纪德国人V奥托和荷兰人奥托和荷兰人A安安托尼斯才发现了圆周率的密率托尼斯才发现了圆周率的密率355/113。但是但是“祖祖率率”的妙处，和给今人留下的困惑，不少人却说的妙处，和给今人留下的困惑，不少人却说不出来。不出来。祖冲之曾写过一本数学著作缀术，记录了他对圆周率的研究和成18