刚体转动的角速度ω与基点的选取无关课件

刚体：特殊质点组刚体：特殊质点组任意两点间的距离保持不变任意两点间的距离保持不变理想化模型：任何物体在外力作用下理想化模型：任何物体在外力作用下(运动运动)都或多或少发都或多或少发 生一定的形变生一定的形变实际意义：固态物体，在受力不特别大时，形变可略实际意义：固态物体，在受力不特别大时，形变可略关于刚体运动的讨论是力学问题的一个重要方面关于刚体运动的讨论是力学问题的一个重要方面刚体：特殊质点组任意两点间的距离保持不变理想化模型：任何5.1 刚体的运动刚体的运动（一）刚体的运动及其自由度（一）刚体的运动及其自由度N个质点组成的质点组，确定所有质点的位置需要个质点组成的质点组，确定所有质点的位置需要3N个坐标个坐标刚体：构成许多约束条件，刚体：构成许多约束条件，独立独立坐标数相应减少坐标数相应减少自由度：确定研究对象位置所需的自由度：确定研究对象位置所需的独立独立坐标数坐标数刚体的自由度：刚体的自由度：三点：三点：9个坐标个坐标三个约束：三个约束：AB、AC、BC间距不变间距不变自由度：自由度：9-3=6 若刚体运动受到某些约束，若刚体运动受到某些约束，则自由度更少。则自由度更少。5.1 刚体的运动（一）刚体的运动及其自由度N个质点组成的刚体运动的几种形式及其自由度：刚体运动的几种形式及其自由度：1.平动平动定义：任意两点连线方向在运动过定义：任意两点连线方向在运动过 程中保持平行程中保持平行/不变不变特点：各点的运动情况相同，任意点的特点：各点的运动情况相同，任意点的 运动可代表刚体整体的运动运动可代表刚体整体的运动自由度：自由度：3注意：平动不一定是直线运动注意：平动不一定是直线运动2.定轴转动定轴转动定义：绕固定轴线的转动定义：绕固定轴线的转动刚体上如有两点固定不动，则必定是定轴转动刚体上如有两点固定不动，则必定是定轴转动连线：转轴连线：转轴刚体运动的几种形式及其自由度：1.平动定义：任意两点连线方特点：转轴上各点固定不动，其它点作圆周运动，圆心在特点：转轴上各点固定不动，其它点作圆周运动，圆心在 转轴上转轴上自由度：自由度：1 绕轴转动的角度绕轴转动的角度3.平面平行运动平面平行运动定义：刚体内任一点都平行于一固定平面而运动定义：刚体内任一点都平行于一固定平面而运动特点：刚体中垂直于此固定平面的直线上各点，运动状态特点：刚体中垂直于此固定平面的直线上各点，运动状态 相同；任何一个平行于此平面的平面或刚体截面的相同；任何一个平行于此平面的平面或刚体截面的 运动，可用来代表刚体的运动。运动，可用来代表刚体的运动。自由度：自由度：3 刚体的自由度刚体的自由度6-约束条件数约束条件数3刚体上三点到固定平面的距离不变刚体上三点到固定平面的距离不变4.定点转动定点转动刚体上有一点固定不动；刚体上有一点固定不动；自由度：自由度：3 6-定点坐标数定点坐标数3特点：转轴上各点固定不动，其它点作圆周运动，圆心在 自由度：5.一般运动一般运动刚体刚体运动不受任何约束，自由度为运动不受任何约束，自由度为6可看作平动和转动的合成：可看作平动和转动的合成：基点平动基点平动+绕基点的转动绕基点的转动基点可任选基点可任选上述上述14均为一般运动的特例均为一般运动的特例（二）欧拉角（二）欧拉角固定坐标系固定坐标系固着在刚体上，随刚体固着在刚体上，随刚体一起转动一起转动 转动刚转动刚体的抽象代表体的抽象代表交线交线ON5.一般运动刚体运动不受任何约束，自由度为6可看作平动和转欧拉角欧拉角(Euler)刚体转动的描述：刚体转动的描述：z轴的确定：轴的确定：2个独立变量个独立变量刚体绕刚体绕z轴的转动：轴的转动：1个独立变量个独立变量 对某些具体的刚体转动，对某些具体的刚体转动，有时可以灵活地选定角度参有时可以灵活地选定角度参量，不一定拘泥于严格定义量，不一定拘泥于严格定义的欧拉角。如：圆锥体的纯的欧拉角。如：圆锥体的纯滚动滚动 欧拉角(Euler)刚体转动的描述：z轴的确定：2个独立变量与欧拉角定义相同，但在此为固定值与欧拉角定义相同，但在此为固定值与欧拉角定义不同与欧拉角定义不同 Os与与ON不同，不同，Os并非并非 的交线，而是与的交线，而是与 相交的圆锥母线。相交的圆锥母线。与欧拉角定义不同；表示圆锥绕与欧拉角定义不同；表示圆锥绕z轴转过的角度轴转过的角度(在此意义在此意义上与欧拉角相同上与欧拉角相同)仍用来确定仍用来确定z轴的方位；轴的方位；与欧拉角定义相同，但在此为固定值与欧拉角定义不同 Os与（三）角位移和角速度（三）角位移和角速度在此对曾多次应用的角速度给出严格定义和详细讨论在此对曾多次应用的角速度给出严格定义和详细讨论 角位移：角位移：刚体绕某一轴线转过一定角度，取转轴方向作为刚体绕某一轴线转过一定角度，取转轴方向作为转过的角度方向，这种带方向的角度改变量叫角位移。转过的角度方向，这种带方向的角度改变量叫角位移。注意：注意：带有方向的量不一定都是矢量，矢量应遵从交换带有方向的量不一定都是矢量，矢量应遵从交换率和平行四边形率和平行四边形/三角形法则。三角形法则。（三）角位移和角速度在此对曾多次应用的角速度给出严格定义相继两次相继两次有限大小有限大小角位移的合成不满足交换率。角位移的合成不满足交换率。相继两次有限大小角位移的合成不满足交换率。相继两次微小转动相继两次微小转动/两两微小微小角位移的合成满足交换率角位移的合成满足交换率 刚体绕刚体绕en轴转过一微小角度轴转过一微小角度刚体上的刚体上的P点：点：考察刚体相继绕通过考察刚体相继绕通过O点的轴进行两次微小点的轴进行两次微小转动的情形：转动的情形：相继两次微小转动/两微小角位移的合成满足交换率 刚体绕e忽略二阶小量：忽略二阶小量：若两次转动调换次序：若两次转动调换次序：即：相继两次微小转动满足矢量合成的对易规则，从而证明即：相继两次微小转动满足矢量合成的对易规则，从而证明 了了微小角位移是矢量微小角位移是矢量。两线位移矢量是可以交换的：两线位移矢量是可以交换的：有限有限/微小角位移的这种区别的表示：微小角位移的这种区别的表示：忽略二阶小量：若两次转动调换次序：即：相继两次微小转动满足矢角速度：角速度：方方向向沿沿t时时刻刻的的瞬瞬时时转转轴轴的的方方向向。对对定定轴轴转转动动，转转轴轴是是固固定定的的；对对定定点点转转动动，转转轴轴通通过过固固定定点点但但方方向向改改变变，即即不不同同时时刻刻绕绕不不同同瞬时轴转动。瞬时轴转动。以圆锥体在水平面的滚动为例：以圆锥体在水平面的滚动为例：圆锥体的滚动分为两部分：绕几何圆锥体的滚动分为两部分：绕几何轴轴Oz的自转及随的自转及随Oz 绕绕 轴的进动轴的进动 OS与地面接触，其上各点速度为零，必是瞬时转轴，故与地面接触，其上各点速度为零，必是瞬时转轴，故角速度：方向沿t时刻的瞬时转轴的方向。对定轴转动，转轴是固定（四）角速度的欧拉角表示（四）角速度的欧拉角表示角速度角速度与与三个欧拉角间的一般表示关系三个欧拉角间的一般表示关系固定坐标系固定坐标系固着在刚体上固着在刚体上刚体以刚体以ON为轴转动为轴转动刚体以刚体以 为轴转动为轴转动刚体以刚体以Oz 轴转动轴转动 以以后后会会看看到到，即即使使在在固固定定参参考考系系中中处处理理刚刚体体动动力力学学问问题题，许许多多力力学学量量采用活动坐标系表达更为方便。采用活动坐标系表达更为方便。为此，将角速度转变为在活动坐标系中的表示：为此，将角速度转变为在活动坐标系中的表示：（四）角速度的欧拉角表示角速度与三个欧拉角间的一般表示刚体转动的角速度与基点的选取无关课件（五）刚体内任意点的速度和加速度（五）刚体内任意点的速度和加速度P点：刚体内的任意点点：刚体内的任意点A点：刚体内的任意点点：刚体内的任意点,作为基点作为基点大小不变大小不变(5.7)说明说明：基点基点A的的平动速度平动速度绕基点绕基点A的的转动速度转动速度(1)基基点点A可任选可任选(在刚体上或与刚体固着在刚体上或与刚体固着)，基点，基点A不同，不同，不同，但速度不同，但速度 相同。相同。(2)为为刚体刚体转动的角速度，与基点的选取无关。证明转动的角速度，与基点的选取无关。证明（五）刚体内任意点的速度和加速度P点：刚体内的任意点A点：刚在刚体上另取一不同的基点在刚体上另取一不同的基点A，刚刚体绕体绕A以角速度以角速度转动，则转动，则而而即即：刚体转动的角速度：刚体转动的角速度 与基点的选取无关。与基点的选取无关。在刚体上另取一不同的基点A，刚体绕A以角速度转动，则求导得加速度求导得加速度：讨论讨论：(1)平动平动可用可用A点的运动代表刚体整体的运动。点的运动代表刚体整体的运动。(2)定轴转动定轴转动取基点取基点A位于转轴上位于转轴上(作为坐标原点作为坐标原点)，则，则转轴方向转轴方向(3)平面平行运动平面平行运动 可用一个平面的运动代表可用一个平面的运动代表求导得加速度：讨论：(1)平动可用A点的运动代表刚体整(4)定点运动定点运动（六）瞬时转动中心（六）瞬时转动中心 一般，不同瞬间刚体上各点具有不同的速度和加速度。一般，不同瞬间刚体上各点具有不同的速度和加速度。能否在刚体上或与刚体作刚性联结的地方，找到速度为零的能否在刚体上或与刚体作刚性联结的地方，找到速度为零的点？点？设有某点设有某点s速度为零，则：速度为零，则：(4)定点运动（六）瞬时转动中心 一般，不同说明说明：(1)对作一般三维转动的刚体，通常对作一般三维转动的刚体，通常 与与 并不垂直，不满足并不垂直，不满足 此条件，除非基点此条件，除非基点A是定点，此时为定点转动。是定点，此时为定点转动。(2)对平面平行运动的情形，对平面平行运动的情形，满足这一条件，因此，满足这一条件，因此，作平面平行运动的刚体，总可以找到速度为零的点作平面平行运动的刚体，总可以找到速度为零的点s:更正更正说明：(1)对作一般三维转动的刚体，通常 与 (1)在平面平行运动中，刚体上在平面平行运动中，刚体上(或与刚体固连的或与刚体固连的)速度速度为零的点，称为瞬时转动中心，简称瞬心。为零的点，称为瞬时转动中心，简称瞬心。(2)瞬心并非固定点：瞬心并非固定点：(3)瞬瞬心心可可由由几几何何方方法法求求得得：若若已已知知刚刚体体上上任任意意两两点点的的速速度度方方向向，则则通通过过这这两两点点作作速速度度的的垂垂线线，两两垂垂线线的的交交点点即为瞬心。即为瞬心。说明说明：(1)在平面平行运动中，刚体上(或与刚体固例例5.1 椭圆规尺椭圆规尺AB的两端分别沿相互垂直的直线槽的两端分别沿相互垂直的直线槽Ox及及Oy滑动，滑动，已知已知B端以匀速端以匀速u运动，求：运动，求：(i)椭圆规尺上椭圆规尺上M点的速度和加速度；点的速度和加速度；(ii)规尺的瞬心规尺的瞬心S点的位置。点的位置。椭圆规尺作平面平行运动，椭圆规尺作平面平行运动，取取B点为基点，有：点为基点，有：(i)M点的速度和加速度点的速度和加速度？由由B点的已知速度求出：点的已知速度求出：解：解：(1)例5.1 椭圆规尺AB的两端分别沿相互垂直的直线槽Ox及Oy(1)003(1)003(ii)求求瞬心瞬心S的位置的位置几何方法：几何方法：(ii)求瞬心S的位置几何方法：评注：评注：本题与本题与习题习题1.2(要求用质点运动学方法求解要求用质点运动学方法求解)基本相同。基本相同。无论用无论用质点运动学方法质点运动学方法、非惯性系方法非惯性系方法还是本章介绍的还是本章介绍的刚体刚体运动学方法运动学方法，速度和加速度的求法都是基于同样的概念，即，速度和加速度的求法都是基于同样的概念，即分别为位置矢量的一阶和二阶导数，不同的只是对位置矢量分别为位置矢量的一阶和二阶导数，不同的只是对位置矢量作不同的分解处理：作不同的分解处理：对此，学习时应该融会贯通。对此，学习时应该融会贯通。质点运动学方法：质点运动学方法：非惯性系方法：非惯性系方法：活动参考系坐标原点的位矢活动参考系坐标原点的位矢刚体运动学方法刚体运动学方法:基点的位矢基点的位矢质点组运动学方法：质点组运动学方法：C评注：本题与习题1.2(要求用质点运动学方法例例5.2 一一圆圆盘盘形形陀陀螺螺,半半径径为为r，绕绕轴轴线线OC以以恒恒定定角角速速度度1转转动动，轴轴线线则则以以匀匀角角速速度度2绕绕竖竖直直轴轴转转动动。已已知知陀陀螺螺高高为为h，与与铅铅直直线间的倾角为线间的倾角为，求圆盘边缘最低点，求圆盘边缘最低点B处的速度。处的速度。选取活动坐标系选取活动坐标系Cxyz如图如图解：解：Cxyz部分地跟随陀螺转动；部分地跟随陀螺转动；xz平面与平面与 共面：同在铅直面内。共面：同在铅直面内。陀螺绕陀螺绕O点转动的角速度为：点转动的角速度为：B点的位矢为：点的位矢为：法法(i)以定点以定点O为基点为基点0活动坐标系的选取；活动坐标系的选取；基点的选取；基点的选取；角速度。角速度。例5.2 一圆盘形陀螺,半径为r，绕轴线OC以恒定角速度1法法(ii)以以C点为基点点为基点 为刚体转动的为刚体转动的角速度，与基点的选取无关。角速度，与基点的选取无关。h评注：评注：(1)作为运算的工具，坐标系可以任意选择，本题采用部分地作为运算的工具，坐标系可以任意选择，本题采用部分地 跟随刚体运动的活动坐标系。跟随刚体运动的活动坐标系。(2)B点点的的速速度度虽虽然然用用活活动动坐坐标标系系表表示示，但但并并非非相相对对于于活活动动坐坐标系的速度，而是相对于固定的惯性参考系的速度。标系的速度，而是相对于固定的惯性参考系的速度。(3)基点的选择和角速度的确定。基点的选择和角速度的确定。法(ii)以C点为基点 P1635.(1,3),4作业P1635.1 提示提示1 转动角速度的正负转动角速度的正负2 角速度大小的求解角速度大小的求解若以切点为基点表示若以切点为基点表示A点的速度，要注点的速度，要注意：意：切切点的速度是否为零？点的速度是否为零？3 用几何方法画出瞬心位置用几何方法画出瞬心位置5.1 提示1 转动角速度的正负2 角速度大小的求解若5.3 提示：提示：1瞬心瞬心S位置的初步判断位置的初步判断 几何法、解析法都可断定，几何法、解析法都可断定，S一定在一定在M、A连线上。连线上。设设S在在O上或下某一位置，对上或下某一位置，对解析结果无影响。解析结果无影响。2 M点的加速度是否为零？为什么？点的加速度是否为零？为什么？3 M点加速度点加速度的的求解：基点如何选取？求解：基点如何选取？故用最后的公式求解最方便。故用最后的公式求解最方便。转动，向心加速度！转动，向心加速度！5.3 提示：瞬心S位置的初步判断2 M点的加速度是5.4 提示提示(2)圆锥的角速度圆锥的角速度(3)圆锥底面上最高点的速度圆锥底面上最高点的速度(1)图和坐标系图和坐标系(4)圆锥的角加速度圆锥的角加速度5.4 提示(2)圆锥的角速度(3)圆锥底面上最高点（二）刚体的运动及其自由度（二）刚体的运动及其自由度（三）欧拉角（三）欧拉角并入并入/失去部分单位时失去部分单位时间内带走间内带走/并入的动量并入的动量（一）变质量物体的运动（一）变质量物体的运动（二）刚体的运动及其自由度（三）欧拉角复习并入/失去部分单位（一）刚体的运动及其自由度（一）刚体的运动及其自由度（二）欧拉角（二）欧拉角（三）角位移和角速度（三）角位移和角速度（四）角速度的欧拉角表示（四）角速度的欧拉角表示轴向轴向（一）刚体的运动及其自由度（二）欧拉角复习（三）角位移和角速（一）刚体的运动及其自由度（一）刚体的运动及其自由度（二）欧拉角（二）欧拉角（三）角位移和角速度（三）角位移和角速度（四）角速度的欧拉角表示（四）角速度的欧拉角表示（五）刚体内任意点的速度和加速度（五）刚体内任意点的速度和加速度轴向轴向角速度角速度 与基点的选取无关。与基点的选取无关。（一）刚体的运动及其自由度（二）欧拉角复习（三）角位移和角速角速度的欧拉角表示角速度的欧拉角表示:；选定原则选定原则瞬心：平面平行运动瞬心：平面平行运动几何法：几何法：解析法：解析法：基点选取：刚体转动的角速度基点选取：刚体转动的角速度 与基点的选取无关。与基点的选取无关。小结：小结：角位移：角位移：剖面图剖面图；部分跟随刚体运动的活动坐标系。部分跟随刚体运动的活动坐标系。常用公式：常用公式：角速度的欧拉角表示: