高斯消元法与矩阵的初等变换课件

1.2 1.2 高斯消元法与矩阵的初等变换高斯消元法与矩阵的初等变换高斯消元法与矩阵的初等变换高斯消元法与矩阵的初等变换一、引一、引 入入二、高斯消元法与初等变换二、高斯消元法与初等变换三、初等矩阵三、初等矩阵1一、引入一、引入2齐次齐次方程组方程组：AX=0;非齐次非齐次方程组方程组：AX=b,b 0 (b中至少有一分量不为零中至少有一分量不为零)则称则称X为为AX=b的的解解：使得使得AX=b 成立成立，定义定义3方程组方程组：AX=b问题问题方程组何时有解方程组何时有解？若有解，有多少解？如何求出其全部解若有解，有多少解？如何求出其全部解？4引例引例 用消元法解下列方程组的过程用消元法解下列方程组的过程二、高斯消元法与初等变换二、高斯消元法与初等变换5解解67用用“回代回代”的的方法求出解：方法求出解：于是解得于是解得8故故方程组有无穷多解方程组有无穷多解9小结小结 1 1上述解方程组的方法称为上述解方程组的方法称为消元法消元法 2 2始终把方程组看作一个整体变形，用到如始终把方程组看作一个整体变形，用到如下三种变换（它们是下三种变换（它们是同解变换同解变换）（1 1）两个方程互换；）两个方程互换；（2 2）以不等于的数乘某个方程；）以不等于的数乘某个方程；（3 3）一个方程加上另一个方程的）一个方程加上另一个方程的k倍倍称称以上三种变换为以上三种变换为线性方程组的初等变换线性方程组的初等变换但线性方程组的初等变换，但线性方程组的初等变换，实际上只对实际上只对增广矩阵增广矩阵的系数作了相应的变化，的系数作了相应的变化，称为称为增广矩阵的初等行变换增广矩阵的初等行变换。10定义定义 下面三种变换称为下面三种变换称为矩阵的初等行变换矩阵的初等行变换:对换变换对换变换倍乘变换倍乘变换倍加变换倍加变换11下面三种变换称为下面三种变换称为矩阵的初等列变换矩阵的初等列变换:矩阵的初等变换是矩阵的一种基本运算，应用广泛矩阵的初等变换是矩阵的一种基本运算，应用广泛.对换变换对换变换倍乘变换倍乘变换倍加变换倍加变换矩阵的矩阵的初等变换初等变换初等初等列列变换变换初等初等行行变换变换12用矩阵的用矩阵的初等行变换初等行变换 解方程组解方程组（1）：）：（1）1314方程组的解为：方程组的解为：15（2 2）零行）零行(元素全为元素全为0 0)都在下方。都在下方。（1 1）对于每个非零行）对于每个非零行(元素不全为元素不全为0 0)的非的非0 0首元首元都出现在上一行非都出现在上一行非0 0首元的右边；首元的右边；是是行阶梯形矩阵行阶梯形矩阵不是不是行阶梯形矩阵行阶梯形矩阵满足下列满足下列2 2个条件的矩阵称为个条件的矩阵称为行阶梯形矩阵行阶梯形矩阵16（1 1）是行阶梯形矩阵；）是行阶梯形矩阵；不是不是简化行阶梯形矩阵简化行阶梯形矩阵（2 2）每一非）每一非0 0行的非行的非0 0首元为首元为1 1；（3 3）每一非）每一非0 0首元首元1 1所在的列的其余元素均为所在的列的其余元素均为0 0；是是简化行阶梯形矩阵简化行阶梯形矩阵满足下列满足下列3 3个条件的矩阵称为个条件的矩阵称为简化行阶梯形矩阵简化行阶梯形矩阵17注注 对于任何矩阵，总可以经过有限次初等对于任何矩阵，总可以经过有限次初等行行变换变换把它变为把它变为简化简化行阶梯形矩阵行阶梯形矩阵.高斯消元法高斯消元法解方程组的过程，解方程组的过程，就是对其增广矩阵做就是对其增广矩阵做初等行变换初等行变换的过程，的过程，目标是将增广矩阵化为目标是将增广矩阵化为简化行阶梯形矩阵。简化行阶梯形矩阵。18例例 求解非齐次线性方程组求解非齐次线性方程组解解对增广矩阵进行对增广矩阵进行初等行变换初等行变换，故故方程组无解方程组无解19方程组无解方程组无解这时出现了矛盾方程这时出现了矛盾方程20例例 求解非齐次线性方程组求解非齐次线性方程组解解对增广矩阵进行对增广矩阵进行初等行变换初等行变换，21故故方程组有唯一解方程组有唯一解22方程组有唯一解方程组有唯一解这时这时没出现矛盾方程，且没出现矛盾方程，且行阶梯形矩阵行阶梯形矩阵有有2个非个非0行行（有（有2个非个非0首元）首元）23例例 求解非齐次方程组的通解求解非齐次方程组的通解解解 对增广矩阵进行对增广矩阵进行初等行变换初等行变换24故故方程组有无穷多解方程组有无穷多解25方程组有无穷多解方程组有无穷多解这时这时故故方程组有无穷多解方程组有无穷多解没出现矛盾方程，且没出现矛盾方程，且行阶梯形矩阵行阶梯形矩阵有有2个非个非0行行（有（有2个非个非0首元）首元）26线性方程组线性方程组一般情形一般情形 对对其其增广增广矩阵作矩阵作初等初等行行变换变换，总可以化为如，总可以化为如下形式的下形式的简化行阶梯矩阵简化行阶梯矩阵（必要时交换未知量的（必要时交换未知量的下标）下标）2728这个方程组与原方程组这个方程组与原方程组同解同解,29自由未知量自由未知量.解为解为30当方程为当方程为齐次齐次方程组时，方程组时，齐次齐次方程组方程组至少有一组零解至少有一组零解特别地，特别地，方程个数少于未知量个数的齐次方程组方程个数少于未知量个数的齐次方程组:一定有一定有非零解非零解.31例例 求解齐次线性方程组求解齐次线性方程组解解32由此即得由此即得齐次方程有齐次方程有无穷多解无穷多解，所以有所以有非零解非零解.33解线性方程组解线性方程组解解34简化行阶梯形矩阵简化行阶梯形矩阵对应的方程组为对应的方程组为即即方程组有无穷多解方程组有无穷多解.35例例 设有线性方程组设有线性方程组解解3637其其解解为为38这时又分两种情形这时又分两种情形：39矩阵的等价矩阵的等价初等变换的初等变换的逆变换逆变换仍为初等变换仍为初等变换,且变换类型相同且变换类型相同逆变换逆变换逆变换逆变换逆变换逆变换40矩阵等价关系的性质矩阵等价关系的性质41定义定义 由由单位矩阵单位矩阵 I 经过经过一次一次初等变换得到的方初等变换得到的方 阵称为阵称为初等矩阵初等矩阵.三种初等变换对应着三种初等变换对应着三种初等方阵三种初等方阵.三、初等矩阵三、初等矩阵42第第 列列第第 列列(1)对调对调I中两行或两列，得中两行或两列，得初等初等对换对换矩阵矩阵.43第第 列列(2)以以数数乘乘I 中某中某行或行或某列某列，得得初等初等倍乘倍乘矩阵矩阵.44第第 列列第第 列列得得初等初等倍加倍加矩阵矩阵.45例例464748定理定理 设设A是是m n矩阵，矩阵，对对A施行一次初等施行一次初等列列变换，变换，相当于在相当于在A的的左左边乘一个相应的边乘一个相应的m阶初等矩阵；阶初等矩阵；相当于在相当于在A的的右右边乘一个相应的边乘一个相应的n阶初等矩阵阶初等矩阵对对A施行一次初等施行一次初等行行变换，变换，49对矩阵作一次初等对矩阵作一次初等行行(列列)变换变换在矩阵在矩阵左边左边(右边右边)乘以一个初等矩阵乘以一个初等矩阵同样的行为同样的行为初等变换与初等矩阵的关系初等变换与初等矩阵的关系初等变换与初等矩阵的关系初等变换与初等矩阵的关系矩阵的初等变换可看成矩阵的一种运算矩阵的初等变换可看成矩阵的一种运算.50“左乘行，右乘列左乘行，右乘列”定理的应用：定理的应用：1.1.若矩阵若矩阵B是是A经有限次经有限次行行初等变换得到的，则存在初等变换得到的，则存在 有限个初等矩阵有限个初等矩阵E1,Ek,使得使得2.2.若矩阵若矩阵B是是A经有限次经有限次列列初等变换得到的，则存在初等变换得到的，则存在 有限个初等矩阵有限个初等矩阵E1,Ek,使得使得3.3.若矩阵若矩阵B是是A经有限次初等变换得到的，则存在经有限次初等变换得到的，则存在 有限个初等矩阵有限个初等矩阵P1,Pk,Q1,Qt使得使得51解解例例 52设矩阵设矩阵53小小 结结1.初等行初等行(列列)变换变换3.矩阵等价具有的性质矩阵等价具有的性质2.初等变换初等变换545.利用矩阵的利用矩阵的初等行变换初等行变换解线性方程组解线性方程组.目标为化方程组的增广矩阵为目标为化方程组的增广矩阵为简化简化行阶梯形矩行阶梯形矩阵阵，从而判断方程组是否有解，有解时有唯一，从而判断方程组是否有解，有解时有唯一解还是无穷多解解还是无穷多解.4.单位矩阵单位矩阵I 初等矩阵初等矩阵.一次初等变换一次初等变换55作业作业 P28 1(1)(3)(5)，3，456