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高等数学考研辅导主讲教师主讲教师:王升瑞王升瑞 第一讲1唯有奋斗最风流!惜时如金2科技人才中具有独特的、不可替代的重要作用。数学不仅是一种工具，而且是一种思维模式；不仅是一种知识，而且是一种素养；不仅是一种科学，而且是一种文化，能否运用数学观念定量思维是衡量民族科学文化的一个重要标志，数学教育在培养高素质3培根培根说说：历史使人聪明，诗歌使人机智，数学使人精细。马克思马克思：一门科学只有当它达到了能够成功地运用数学，才算真正发展了。伽利略认为伽利略认为：宇宙像一本用数学语言写成的大书，如果不掌握数学的语言，就像在黑暗的迷宫里游荡，华罗庚华罗庚：数学是最宝贵的研究精神之一。科学家语录科学家语录什么也看不清。勤能补拙是良训，一分辛苦一分才。4此刻打盹，你将做梦，学习时的痛苦是暂时的，未学到的痛苦是终身的；学习这件事，不是缺乏时间，学习不是人生的全部，请享受无法回避的痛苦；哈佛图书馆的训诫哈佛图书馆的训诫但是人生的一部分;只有比别人更早，更勤奋的努力，此刻学习，你将圆梦；而是缺乏努力；学习也无法征服，还能做什么呢？才能尝到成功的滋味；5谁也不能随随便便成功，狗一样地学习，绅士一样地玩；今天不走，明天要跑；教育程度代表收入；哈佛图书馆的训诫哈佛图书馆的训诫没有艰辛，便无所获。它来自彻底的自我管理和毅力；即使现在，对手也不停地翻动书页；6一提到数学，很多人首先想到的是复杂的公式、大量的计算、漫天的数字数据、还有百思不得其解数学题。对数学产生畏惧、反弹心理。这与中国的高中教育偏重于对于知识的灌输，而非对于知识的掌握密切相关。基于应试的压力，数学教育尤其容易演变为固定类型的题海战术，某种意义上的死记硬背，而非激发学生的创造性思维，这在根本上就是与数学教育相背道而驰的。甚至成为这样使学生7其实数学背后的思想，精髓。数学的证明方法证明方法才是数学的都是约定俗成、极少歧义的概念。数学学习关注的是逻辑推演能力。数学是一种表述简洁、清晰、歧义较少的逻辑体系。在数学中，不仅各种数字、函数，就连加、减、乘、除，大于、小于、等于，以及指数、导数、积分等符号本身，也用清晰、直观的坐标或图形表达比较复杂的逻辑关系。而几何方法，更是能学习的目的是得到某种确定感和安全感，8科学方法是打开科学殿堂大门的科学方法是打开科学殿堂大门的钥匙钥匙,是由必然王国通向自由王国的是由必然王国通向自由王国的桥梁桥梁。数学方法是数学的数学方法是数学的灵魂灵魂高等数学方法高等数学方法（上）（上）9目目 录录第一讲第一讲 高等数学中的分析问题和解决问题 方法第二讲第二讲 研究函数与极限的基本方法第三讲第三讲 导数的计算方法及微分中值定理应用第四讲第四讲 导数应用的方法第五讲第五讲 积分学的概念、性质和不定积分的 计算法第六讲第六讲 定积分的计算、证明和解应用问题 的方法第七讲第七讲 试题类型及解题方法分析10前言一一.为什么要学为什么要学“高等数学方法高等数学方法”1.科学方法的重要性科学方法的重要性科学科学是什么,为什么:技术技术做什么,怎么做:科学方法科学方法桥梁与钥匙。反映自然、社会、思维的客观规律的分科的知识体系。进行物资资料生产所凭借的方法和能力。11数学数学思维的体操科学的语言生活的需要(思路思路)(表达表达)(应用应用)数学方法数学方法对数学规律的认识对数学规律的认识思维方法解题方法(是数学的灵魂是数学的灵魂)2.数学方法的含义数学方法的含义12二二.“高等数学方法高等数学方法”的学习方法的学习方法1.掌握数学内容和数学方法相结合；2.重视分析问题和解决问题的方法；3.学习要纵横结合,着眼于提高数学素养。13第一讲第一讲 高等数学高等数学中的中的 分析问题分析问题 和和 解决问题解决问题 方法方法14一一.数学模型及数学建模方法数学模型及数学建模方法数学模型数学模型客观实际问题内在规律性的数学具有形式化形式化、符号化符号化、简洁化简洁化的特点.是一种高度抽象的模型.有狭义狭义和广义广义两种解释.数学建模方法数学建模方法 实验归纳法 理论分析法物理模型数学模型求解和分析结构.许多物理中的概念都要借助于高等数学中的数学结构才能说的清楚。15可无限逼近可无限逼近例如例如 ,为什么用为什么用及语言定义极限语言定义极限?用圆内接正多边形面积逼近圆面积用圆内接正多边形面积逼近圆面积A .圆内接正n边形的面积为(正整数),当时,有记作记作精度要求精度要求边数足够多边数足够多找出找出利用极限知识可求出:16 测量圆面积测量圆面积直接观测量为r间接观测量为A.半径真值为面积真值为测量圆半径得计算圆面积为任给精度要使寻找精度让记作17再如再如,椅子稳定问题椅子稳定问题假设假设:四条腿一样长;地面为连续曲面.建模建模:设 A,C 两脚与地面的距离之和为B,D 两脚与地面的距离之和为不妨设且对任意有证明存在使18证明证明:设又由连续函数零点定理可知,存在使即又知所以思考思考:对长方形板凳的稳定问题如何考虑?不妨设且对任意有证明存在使（转后，对角线互换）。19二二.几种常用的分析问题的方法几种常用的分析问题的方法1.简化方法简化方法 2.直观分析法直观分析法3.逆向分析法逆向分析法 4.类比法类比法1.简化方法简化方法复杂问题 简单问题分解法分解法变换法变换法换元法换元法递推法递推法转化法转化法20常用几个的初等函数公式常用几个的初等函数公式2122单调递减。提示提示:令则转化为讨论下述函数在 t 0 时单调递减.注意说明说明 1.与具有相同的极值点,故可用后者代替前者讨论极值 2.有些复合函数的单调性问题,可利用组成它的简单例例1.证明问题与单调性问题.函数链的单调性传递得出.23 设,求提示：将函数化为提示：将函数化为则例例2.242.直观分析法直观分析法 通过特例或图形，寻找规律、方法和结论.与几何形体有关的问题应尽量画图寻求启示.有关几何应用画出图形找几何关系.填空题和选择题可用增强条件的方法找结论.25拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理(1)在区间 a,b 上连续满足:(2)在区间(a,b)内可导至少存在一点使思路思路:利用逆向思维逆向思维找出一个满足罗尔定理条件的函数作辅助函数显然,在 a,b 上连续,在(a,b)内可导,且证证:问题转化为证由罗尔定理知至少存在一点即定理结论成立.证毕26渐近线渐近线若则有水平渐近线若则有垂直渐近线若则有斜渐近线27例例1.1.如何求函数的斜渐近线分析分析:由图可知,若曲线有斜渐近线则必有从而28例例2 求曲线的斜渐近线。解解:所以曲线有斜渐近线29的斜渐近线方程。解解 所求 斜渐近线方程为 例例3 3、求曲线2005考研考研30例例4 4 曲线渐近线的条数（）；A、1；B、2；C、D、3.则为垂直渐近线；，则为水平渐近线，解解2012考研考研故没有斜渐近线。31例例5.解解:下列曲线有渐近线的是（）B、C、D、所以 存在斜渐近线 A、C(2014考研考研1)32在上连续,在内存在,连接两点的直线交曲线于且试证至少存在一点使提示提示:如图所示,有在上应用Rolle定理。C对（P118 题题7）例例6.6.已知33逆向思维反推 执果溯因反证 利用正命题与逆否命题等价，反例 找反例说明原命题不正确3.逆向分析法逆向分析法多用于否命题。34设函数 在 0,1 上二阶可导,且证明至少存在一点 ,使 提示提示:设辅助函数在0,1上满足 Rolle 定理,可知有 ,再对 F(x)在从结论入手,注意到利用上用 Rolle 定理.例例1.35在 上连续,在 内可导,且,试证存在 使得提示提示:转化为证上满足 拉格朗日定理条件,使则只需证明可见只要对上用 Cauchy 中值定理.(考研考研1998)由于在则有及在例例2.设函数36无实根.(P451 例例7)提示提示:用反证法.假设有实根代入上式两边异号上式两边异号,矛盾,假设不真!利用显然则有例例3.证明方程37高等数学方法主讲教师主讲教师:王升瑞王升瑞 第二讲38 类比是找相似性,是发现问题和解决问题的重要方法。4.类比方法类比方法计算极限提示提示:类比下列极限例例 1(P453 例例9)39计算极限提示提示:类比下列极限例例 1(P453 例例9)40三三.几种常用的证题方法几种常用的证题方法1.分析综合法分析综合法2.设辅助函数法设辅助函数法3.反证法反证法 证明题是考核基本理论、基本运算掌握情况和逻辑推理能力的重要题型通过“执果溯因”寻找证明的途径,利用“由因导果”写出证明过程.1.分析综合法分析综合法41设 为正实数,试证提示提示:为上的上凹函数在 上，(P473 例例12)例例1.满足42设 ,求证提示提示:方法方法1.设设证明它在单调增增;方法方法2.设设证明它在单调减减。例例2.43在 上可导,且 ,证明至少存在一点 使提示提示:因为可考虑对函数在区间 a,b 上用 Cauchy 中值定理.(P81 例例10)例例3 设44利用辅助函数证明等式或不等式是一种重要的证明方法.如:寻找辅助函数一般用逆向分析法.通过设辅助函数,利用微分或积分中值定理 证明等式或方程零点的存在.通过讨论辅助函数的单调性或最值,证明 相关不等式.2.设辅助函数方法设辅助函数方法45例例1.设在 上连续且可导,并有 n 个不同的零点，证明证明:对任意常数 a,在 上至少有 提示提示:设辅助函数在上用 Rolle 定理.n-1 个不同的零点.46设函数 和 在 上二阶可导,且提示提示:只要证且依据乘积导数法则想到设辅助函数(用反证法)再证明 上满足 Rolle 定理条件试证至少存在一点使(P475 例例15,考研考研95)例例 2.即473.反证法反证法反证法是一种逆向分析方法,是通过否定命题的结论,引导出与题设条件或已知结论矛盾的结果来证明明原命题的正确性.反证法多适用于直接推证时已有知识点较少或比较困难的命题.如果所证结论中含有“不可能不可能”、“不存在不存在”、“至多至多”、“至少至少”、“唯一唯一”、“大于大于”或或“小于小于”等字眼时,一般多考虑用反证法.48例例1.证明 不存在(为自然数).提示提示:假设则矛盾(P474 例例13)49设 在 上存在二阶导数,且又试证在 内提示提示:假设存在使则由 R0lle 定理,有 使再对在上用 Rolle 定理,就有使矛盾矛盾!(P474 例例14)例例2.50
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