资源描述
第六讲第六讲 几类常微分方程的求解方法几类常微分方程的求解方法 7-1 一阶微分方程的解法一阶微分方程的解法(P411)一一.方法指导方法指导1.标准类型方程的解法标准类型方程的解法关键关键:辨别方程类型,掌握求解步骤(1)可分离变量方程解法解法:分离变量,两边积分(2)齐次方程解法解法:令化成可分离变量型1(3)一阶线性方程解法解法:常数变易法常数变易法或代公式(4)贝努力方程解法解法:令化成线性方程.2(5)全微分方程解法解法:求的原函数通解为3二二.非标准类型方程的解法非标准类型方程的解法1、变量代换法转化为标准类型求解例如,方程 若先求的根作变换则原方程化为(齐次方程)若作变换化成可分离变量方程.42、积分因子法不是全微分方程选择积分因子为全微分方程常用的微分倒推式有常用的微分倒推式有53.解微分方程应用问题的方法步骤解微分方程应用问题的方法步骤建立方程问题(数学模型)建立微分方程利用物理规律利用几何关系确定定解条件初始条件边界条件(衔接条件衔接条件)(共性共性)(个性个性)6二二.实例分析实例分析例例1.分别求出以下列各函数为通解的微分方程解解:(1)即(2)通解两边对 x 求导,再求导,得7例例2.变下列方程为标准形式解解:(1)利用三角公式得分离变量型齐次方程贝努里方程线性方程8例例3.设函数可导,且对任意实数有且求解解:等式两边对 y 求导令 y=0即(线性非齐次方程)在原等式中令得因此初始条件为由此得 C=0,故所求函数为9例例4.设且对任意实数有求解解:当时得由此得 C=0,故所求函数为等式两边对 y 求导令 y=1,则有即当时，10例例5.用不同的方法求解方程解法解法1.因方程为齐次方程,则方程变为两边积分,得故原方程通解为(P345 例例1(4)令11例例5.用不同的方法求解方程令将原方程化为可分离变量方程求解.(P345 例例1(4)解法解法2.方程可变形为12解法解法3.将原方程变为微分形式故为全微分方程通解为13解法解法4.用待定函数法求原函数设则由 与 式比较,得因此通解为14解法解法5.用凑微分法求通解原方程即因此通解为15例例6.求一连续可导函数使其满足下列方程:提示提示:令则有利用公式可求出16例例7求一连续函数 f(t)使其满足方程其中(答案:)提示提示:17例例8.设使其满足:解解:显然故有解此关于 f(t)的一阶微分方程定解问题,及求无妨设18例例9.9.设且满足方程求解解：即 求导得：即 从而求得通解 又故所以 19例例10.已知曲线积分与路径无关,其中求由确定的隐函数解解:因与路径无关,故有因此20例例11 求的通解。原方程整理得：此为伯努利方程由公式原方程的通解：解解21例例12.求解解解:这是一个全微分方程.用凑微分法求通解.将方程改写为即故原方程的通解为或解法二解法二：取通解同上。注：22例例13.解方程解解:原方程两边乘以2y得即则有故原方程通解为令.两边积分得23例例14.微分方程的通解是10年考研。年考研。2、微分方程满足的解为 .解解 原方程分离变量两边积分得243、微分方程满足条件的解 ；解解 原方程可写为 即通解为 代入 得,则，因为得 2012考研考研254、若函数满足及，则；对应方程的通解代入得则故 解解 特征方程2012考研26例例1515、已知满足与，（1）求的表达式；的拐点。，得 因此代入，得 所以 2012考研考研（2）求曲线解解（1）联立27例例15 15 已知满足与，（1）求的表达式；的拐点。（2）求曲线解解（2）当 时，当 时，又曲线过，所以曲线可知是的唯一解，唯一的拐点为287-2 两类二阶微分方程的解法两类二阶微分方程的解法一一.方法指导方法指导1.可降阶微分方程的解法降阶法逐次积分令令 给定初始条件求特解,注意边积边定任意常数 遇开方运算,根据题意定正负号.29例例1.求解解解:代入方程得分离变量积分得利用于是有两端再积分得利用因此所求特解为30例例2：求满足的特解。解：解：方程中不含 x 设代入方程得两边积分得注意到初始条件分离变量两边积分所求特解为31例例3.解下列初值问题(P427 例例2)解解:令则代入方程得积分得利用初始条件,得从而但根据积分得再利用得故所求特解为应取32例例4.设函数在内具有二阶导数，且满足等式（1）验证（2）若求函数的表达式。证证（1）(10考研考研)33同理同理代入得则成立。（2）令 则 由由 得 于是。34例例5.已知函数具有连续二阶偏导数,且满足方程1)求证2)在满足上述条件的函数族中求出一个函数,使其图形过点且在此点的切平面平行于 xoy 坐标面.(2000 考研考研)提示提示:1)设利用复合函数求导可证.352)令则一阶线性方程图形过点此点处切平面 xoy 面据曲面在的条件,应有由此可得故所求曲面为362.二阶线性微分方程的解法二阶线性微分方程的解法标准方程通解结构对应齐次方程通解非齐次方程特解(1)常系数线性齐次方程常系数线性齐次方程为常数)特征方程之根:当时,通解为 当时,通解为 当时,通解为37(2)常系数线性非齐次方程常系数线性非齐次方程1、特征方程令：令：令：其中是 x 的 m多项式38 为特征方程的 k(0,1,2)重根,则设特解为为特征方程的 k(0,1)重根,则设特解为4.上述结论也可推广到高阶方程的情形.391.方程的通解为2.方程有特解形式提示提示:对应齐次方程的特征方程为其根 r=1 为二重根.二二.实例分析实例分析40例例1 选择题选择题4.设 a,b,A,均是待定常数,则方程的一个特解具有形式()提示提示:是对应齐次方程的特征根,B故特解形式为41例例2.求求微分方程的通解。10年考研。年考研。解解 特征方程 得 设 代入原方程比较系数得 原方程通解为 42例例3 求微分方程的通解。特征方程特征根设将代入原方程比较系数有解解方程的特解通解43例例4：求一个特解。解：解：设代入方程比较系数可见 通解:整理得44例例5.求微分方程的通解.解解:特征方程有重根故齐次方程通解为设非齐次方程特解为代入方程,比较同类项系数得故所求通解为思考思考:若改为求的通解如何设特解?提示提示:分与两种情况考虑.45例例6.求一个以为特解的 4 阶常系数线性齐次微分方程,并求其通解.解解:根据给定的特解知特征方程有根:因此特征方程为即故所求方程为其通解为46解解：由线性微分方程解的结构理论知，及 是对应齐次方程 的解且它们线性无关，例例7 747例例8.已知二阶常微分方程有特解求微分方程的通解。解解:将特解比较系数得故原方程为对应齐次方程通解:故原方程通解为:(P508 题题70)代入方程得恒等式48对应齐次方程有一特解例例9.设二阶非齐次方程有一特解试求的表达式;(2)原方程的通解。解解:(1)由题意(2)原方程为原方程为令则通解49例例10.将下述积分方程变形为微分方程解解:方程两端对 x 求导,得将(A)变形为由原积分方程得因此(A)两端再对 x 求导,得记,得50例例11.设求解解:两边对 x 求导求解可得51思考思考:设提示提示:对积分换元,则有解初值问题:答案:52例例12(1)验证函数满足微分方程(2)利用(1)的结果求幂级数的和.解解:(1)因53(2).由(1)的结果可知所给级数的和函数满足所以其特征方程:特征根:齐次方程通解为:设非齐次方程特解为代入得因而非齐次方程通解为代入初始条件可得故所求级数的和为54例例13.设F(x)f(x)g(x),其中函数 f(x),g(x)在(,+)内满足以下条件:(1)求F(x)所满足的一阶微分方程;(2003考研)(2)求出F(x)的表达式.解解:(1)所以F(x)满足的一阶线性非齐次微分方程:55(2)由一阶线性微分方程解的公式得于是 56的解.例例14.设函数内具有连续二阶导(1)试将 xx(y)所满足的微分方程 变换为 yy(x)所满足的微分方程;(2)求变换后的微分方程满足初始条件 数,且解解:上式两端对 x 求导,得:(1)由反函数的导数公式知(2003考研考研)57代入原微分方程得 (2)方程的对应齐次方程的通解为 设的特解为 代入得 A0,从而得的通解:58由初始条件 得故所求初值问题的解为 59例例15 设幂级数满足解解:设内收敛,其和函数(1)证明(2)求 y(x)的表达式.则由代入微分方程得(2007考研考研)60分析,故得(2)由(1)知可见(1)证明61
展开阅读全文