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11.理解多元函数的概念理解多元函数的概念.存在偏导与可微之间的关系存在偏导与可微之间的关系.2.了解二元函数极限与连续概念了解二元函数极限与连续概念,掌握有界掌握有界闭区域上二元连续函数的性质、闭区域上二元连续函数的性质、全微分存在的全微分存在的必要条件与充分条件必要条件与充分条件.了解二元函数极限、了解二元函数极限、连续、连续、第八章第八章第八章第八章 多元函数微分法及其应用多元函数微分法及其应用多元函数微分法及其应用多元函数微分法及其应用2掌握复合函数与隐函数偏导数的求法掌握复合函数与隐函数偏导数的求法.3.熟练掌握偏导数的定义与求法熟练掌握偏导数的定义与求法,特别要特别要会求函会求函数的全微分数的全微分.4.熟练掌握空间曲线的切线与法平面熟练掌握空间曲线的切线与法平面曲面的切平面与法线方程的求法曲面的切平面与法线方程的求法.方程、方程、36.了解方向导数与梯度的概念及其计了解方向导数与梯度的概念及其计会用拉格朗日乘数法求多元函数的会用拉格朗日乘数法求多元函数的5.熟练掌握二元函数的极值理论及其熟练掌握二元函数的极值理论及其求法求法,极值以及有关应用题极值以及有关应用题.算方法算方法.4设空间曲线的方程设空间曲线的方程(1)式中的三个函数均式中的三个函数均可导可导.1.空间曲线的方程为参数方程空间曲线的方程为参数方程一、空间曲线的切线与法平面一、空间曲线的切线与法平面5曲线在曲线在M处的切线方程处的切线方程切向量切向量法平面法平面切线的方向向量称为曲线的切向量切线的方向向量称为曲线的切向量.过过M点且与切线垂直的平面点且与切线垂直的平面.)(),(),(000tztytxT =r6设曲线直角坐标方程为设曲线直角坐标方程为2.空间曲线的方程为空间曲线的方程为曲线的参数方程是曲线的参数方程是由前面得到的结果由前面得到的结果,在在M(x0,y0,z0)处处,令令 x为参数为参数,两个柱面两个柱面的交线的交线7法平面方程为法平面方程为切线方程为切线方程为8设空间曲线方程为设空间曲线方程为3.空间曲线的方程为空间曲线的方程为确定了隐函数确定了隐函数(此曲线方程仍可用方程组此曲线方程仍可用方程组 两边分别对两边分别对表示表示.)x求全导数求全导数:两个曲面两个曲面的交线的交线9 利用利用2.结果结果,两边分别对两边分别对x求全导数求全导数101.设曲面设曲面的方程为的方程为的情形的情形隐式方程隐式方程二、曲面的切平面与法线二、曲面的切平面与法线11曲面在曲面在M(x0,y0,z0)处的法向量处的法向量:切平面方程为切平面方程为法线方程为法线方程为所以曲面所以曲面上在点上在点M的的122.曲面方程形为曲面方程形为 的情形的情形曲面在曲面在M处的处的切平面方程切平面方程为为曲面在曲面在M处的处的法线方程法线方程为为令令或或显式方程显式方程13三、多元函数的极值和最值三、多元函数的极值和最值1.极值的求法极值的求法求函数求函数 极值的一般步骤极值的一般步骤:第一步第一步 解方程组解方程组求出实数解求出实数解,得驻点得驻点.第二步第二步 对于每一个驻点对于每一个驻点求出二阶偏导数的值求出二阶偏导数的值第三步第三步 定出定出的符号的符号,再判定是否是极值再判定是否是极值.142.极值的充分条件极值的充分条件定理定理2 2(充分条件充分条件)的某邻域内连续的某邻域内连续,有一阶及二阶连续偏导数有一阶及二阶连续偏导数,处是否取得极值的条件如下处是否取得极值的条件如下:(1)有极值有极值,有极大值有极大值,有极小值有极小值;(2)没有极值没有极值;(3)可能有极值可能有极值,也可能无极值也可能无极值.15拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法:极值的必要条件极值的必要条件在条件在条件要找函数要找函数下的可能极值点下的可能极值点,先构造函数先构造函数为某一常数为某一常数,其中其中可由可由解出解出其中其中就是就是可能的可能的极值点的坐标极值点的坐标.四、条件极值四、条件极值 拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法16 设有二元函数设有二元函数沿任何方向的变化率沿任何方向的变化率 考虑函数在某点考虑函数在某点五、方向导数的计算五、方向导数的计算定义定义 如果极限如果极限存在存在,则将这个极限值称为函数则将这个极限值称为函数在点在点记为记为即即注注 方向导数是函数沿半直线方向的变化率方向导数是函数沿半直线方向的变化率.P17一定为正一定为正!是函数在某点沿是函数在某点沿一给定方向一给定方向的变化率的变化率.方向导数方向导数偏导数偏导数 分别是函数在某点沿分别是函数在某点沿平行于坐标轴平行于坐标轴的直线的直线x、y可正可负！可正可负！的变化率的变化率.注注181.关于方向导数的存在及计算公式关于方向导数的存在及计算公式 充分条件充分条件定理定理可微可微,则函数则函数且且19注注 即为即为(1)(2)计算方向导数只需知道计算方向导数只需知道l 的方向及函数的的方向及函数的偏导数偏导数.0的方向角的方向角是是，、lp pb ba a 20在定点在定点的方向导数为的方向导数为(3)(4)关系关系方向导数存在方向导数存在偏导数存在偏导数存在可微可微21问题问题六、梯度概念六、梯度概念与计算与计算已知方向导数公式已知方向导数公式方向一致时方向一致时,方向导数取最大值方向导数取最大值函数函数沿什么方向的方向导数为最大沿什么方向的方向导数为最大(gradient)一个二元函数在给定的点处沿不同方向一个二元函数在给定的点处沿不同方向的方向导数是不一样的的方向导数是不一样的.)cos,(cos0b ba a=lr22方向：方向：模：模：f 变化率最大的方向变化率最大的方向f的最大变化率之值的最大变化率之值23定义定义记作记作即即为函数为函数称向量称向量梯度梯度(gradient),设函数设函数可偏导可偏导,利用梯度的概念利用梯度的概念,可将方向导数计算公式写成可将方向导数计算公式写成24例例 设函数设函数 (1)求出求出沿什么方向具有最大的增长率沿什么方向具有最大的增长率,方向的变化率方向的变化率.(2)最大增长率为多少最大增长率为多少?解解 (1)PQ方向的方向向量为方向的方向向量为25沿什么方向具有最大的增长率沿什么方向具有最大的增长率,(2)最大增长率为多少最大增长率为多少?解解 方向具有最大的增长率方向具有最大的增长率,最大的增长率为最大的增长率为:即为即为梯度方向梯度方向.41第九章第九章第九章第九章 重重重重 积积积积 分分分分 1.理解二重积分、三重积分的概念理解二重积分、三重积分的概念,2.掌握二重积分的计算法掌握二重积分的计算法(直角坐标、极直角坐标、极 3.会用重积分求一些几何量与物理量会用重积分求一些几何量与物理量.了解了解重积分的性质重积分的性质.了解三重积分的计算法（了解三重积分的计算法（直角坐标、直角坐标、坐标坐标)，柱面坐标、球面坐标柱面坐标、球面坐标).42一、二重积分的计算一、二重积分的计算(1)积分区域积分区域为：为：其中函数其中函数 X型型在区间在区间 上连续上连续.1.利用直角坐标系计算二重积分利用直角坐标系计算二重积分43有有:先对先对y后对后对x的二次积分的二次积分称为称为累次积分累次积分.44(2)积分区域积分区域为：为：Y型型先对先对x后对后对y的二次积分的二次积分也即也即其中函数其中函数 在区间在区间 上连续上连续.45特殊地特殊地如如D是上述矩形域是上述矩形域,即等于两个定积分的乘积即等于两个定积分的乘积.注注D为矩形域为矩形域:则则则则axb,cyd46交换积分次序的步骤交换积分次序的步骤 (1)将已给的二次积分的积分限得出相将已给的二次积分的积分限得出相应的二重积分的积分区域应的二重积分的积分区域,(2)按相反顺序写出相应的二次积分按相反顺序写出相应的二次积分.并画出草图并画出草图;47例例siny2 对对y的积分的积分而它对而它对x的积分的积分交换积分次序交换积分次序的方法是的方法是:改写改写D为为:oxy 分析分析所以将所以将二次积分二次积分先先将所给的积分域将所给的积分域(1)(2)画出积分域的草图画出积分域的草图(3)计算二次积分计算二次积分不能用基本积分法算出不能用基本积分法算出,可用基本积分法算出可用基本积分法算出.交换积分次序交换积分次序.用联立不等式表示用联立不等式表示 D:48oxy49又是能否进行计算的问题又是能否进行计算的问题.计算二重积分时计算二重积分时,恰当的选取积分次序恰当的选取积分次序十分重要十分重要,它不仅涉及到计算繁简问题它不仅涉及到计算繁简问题,而且而且凡遇如下形式积分凡遇如下形式积分:等等等等,一定要放在一定要放在后面积分后面积分.50也即也即极坐标系中的面积元素极坐标系中的面积元素1.利用极坐标系计算二重积分利用极坐标系计算二重积分51(1)积分区域积分区域D:52(2)积分区域积分区域D(曲边扇形曲边扇形):)(q qj jr r=)(q qj jr r=53极坐标系极坐标系下区域的下区域的面积面积(3)积分区域积分区域D:注注一般一般,在极坐标系下计算在极坐标系下计算:54 今后在计算重积分利用今后在计算重积分利用对称性简化计算对称性简化计算时时,注意注意被积函数的奇偶性被积函数的奇偶性.积分区域积分区域的对称性的对称性,要特别注意考虑两方面要特别注意考虑两方面:55 补充补充在分析问题和算题时常用的在分析问题和算题时常用的设设区域区域D关于关于x轴对称轴对称,如果函数如果函数 f(x,y)关于坐标关于坐标y为偶为偶函数函数.oxyD1性质性质7 7则则D1为为D在在x轴上方轴上方的部分的部分,对称性质对称性质坐标坐标y为奇函数为奇函数则则设设区域区域D关于关于x轴对称轴对称,如果函数如果函数 f(x,y)关于关于56这个性质的这个性质的几何意义几何意义如图如图:OxyzOxyz 区域区域D关于关于x轴对称轴对称f(x,y)关于坐标关于坐标y为偶为偶函数函数 区域区域D关于关于x轴对称轴对称f(x,y)关于坐标关于坐标y为奇函为奇函数数57如果函数如果函数 f(x,y)关于坐标关于坐标x为奇函数为奇函数oxyD1如果函数如果函数 f(x,y)关于坐标关于坐标x则则为偶为偶函数函数则则类似地类似地,设设区域区域D关于关于y轴对称轴对称,且且D1为为D在在Y轴右边的部分轴右边的部分,58设设D为圆域为圆域(如图如图)00D1为上半圆域为上半圆域D2为右半圆域为右半圆域59 二重积分的计算规律二重积分的计算规律再确定交换积分次再确定交换积分次1.交换积分次序交换积分次序:先依给定的积分次序写出积分域先依给定的积分次序写出积分域D的的不等式不等式,并画并画D的草图的草图;序后的积分限序后的积分限;2.如被积函数为如被积函数为圆环域时圆环域时,或积分域为或积分域为圆域、扇形域、圆域、扇形域、则用极坐标计算则用极坐标计算;60 3.注意利用对称性质注意利用对称性质,数中的绝对值符号数中的绝对值符号.以便简化计算以便简化计算;4.被积函数中含有绝对值符号时被积函数中含有绝对值符号时,应应将积分域分割成几个子域将积分域分割成几个子域,使被积函数在使被积函数在每个子域中保持同一符号每个子域中保持同一符号,以消除被积函以消除被积函61二、三重积分的计算二、三重积分的计算1.在直角坐标系下计算三重积分在直角坐标系下计算三重积分故故直角坐标系下直角坐标系下的体积元素为的体积元素为在直角坐标系下在直角坐标系下三重积分可表为三重积分可表为在直角坐标系中在直角坐标系中,如果用平行于坐标面的如果用平行于坐标面的平面的来划分平面的来划分62直角坐标系中将三重积分化为三次积分直角坐标系中将三重积分化为三次积分 投影法投影法思想是思想是(先一后二法先一后二法)如图如图,闭区域闭区域面上的投影为闭区域面上的投影为闭区域D,过点过点作直线作直线,63X型型再计算再计算的函数的函数,得得则则64所以所以,三重积分可以化为六种不同次序的三次积三重积分可以化为六种不同次序的三次积分分(累次积分累次积分).和积分域和积分域选取适当的三次积分进行计算选取适当的三次积分进行计算.解题时解题时,要依据具体的被积函数要依据具体的被积函数同样同样,也可以把积分域也可以把积分域向向yOz、zOx面投影面投影.65解解化三重积分化三重积分为三次积分为三次积分,例例所围成的闭区域所围成的闭区域.其中积分区域为由曲面其中积分区域为由曲面得交线投影区域得交线投影区域66 截面法截面法(红色部分红色部分)(先二后一法先二后一法)截面法的一般步骤截面法的一般步骤(1)投影投影,得投影区间得投影区间(2)(3)计算二重积分计算二重积分(4)最后计算单积分最后计算单积分用过用过67 即即当被积函数仅与变量当被积函数仅与变量z有关有关,用上公式简便用上公式简便.注注且截面且截面Dz易知时易知时,68规定规定直角坐标直角坐标与与柱面坐标柱面坐标的关系为的关系为就叫点就叫点M的的柱面坐标柱面坐标.2.利用柱面坐标利用柱面坐标计算三重积分计算三重积分cylindrical coordinates设设M(x,y,z)为空间内一点为空间内一点,并设点并设点M在在xOy面上的投影面上的投影P的极坐标为的极坐标为则这样的三个数则这样的三个数,sinq qr r=y69柱面坐标柱面坐标系中系中,以以z轴为中心轴为中心轴的轴的圆柱面圆柱面；过过z轴的轴的半平面半平面.与与xOy平面平行的平面平行的平面平面;三坐标面分别为三坐标面分别为称点称点M的柱面坐标的柱面坐标70柱面坐标柱面坐标系中系中,以以z轴为中心轴为中心轴的轴的圆柱面圆柱面；过过z轴的轴的半平面半平面.与与xOy平面平行的平面平行的平面平面;三坐标面分别为三坐标面分别为称点称点M的柱面坐标的柱面坐标71柱坐标系柱坐标系下三重积分的计算下三重积分的计算,可得可得柱坐标系柱坐标系下三重积分化为下三重积分化为三次积分三次积分与与x,y,z等同的看为三个变量等同的看为三个变量.如如,极坐标极坐标不等式表示不等式表示只要把被积只要把被积函数中的函数中的的计算公式的计算公式.类类比比公公式式先先将将在在xOy面上的投影域用面上的投影域用72从而从而故故再再确定确定的下的下,上边界面上边界面注注通常是通常是先积先积再积再积后积后积),(),(21q qr rq qr rzzz 73如积分域如积分域为圆柱域为圆柱域(如图如图).则则74解解例例 所围成所围成.积分域用积分域用柱坐标柱坐标表示为表示为原式原式其中其中由半圆柱面由半圆柱面75 当被积函数是当被积函数是积分域积分域由圆柱面由圆柱面(或一部分或一部分)、锥面、抛物面、锥面、抛物面用用所围成的所围成的.柱面坐标柱面坐标计算三重积分较方便计算三重积分较方便.76为从正为从正z轴来看自轴来看自x轴按逆时钟轴按逆时钟规定规定正方向间的夹角为正方向间的夹角为球面坐标球面坐标.称称为点为点M的的3.利用球面坐标利用球面坐标计算三重积分计算三重积分设设M(x,y,z)为空间内一点为空间内一点,向向xOy平面投影平面投影,q q方向转到方向转到投影投影向量的角向量的角.77球面坐标系球面坐标系中的三坐标面分别为中的三坐标面分别为原点为心的原点为心的球面球面；过过z轴的轴的半平面半平面球面坐标与直角坐标的关系球面坐标与直角坐标的关系为为原点为顶点、原点为顶点、z轴为轴为轴的轴的圆锥面圆锥面；78球面坐标系球面坐标系中的中的体积元素体积元素为为若以三坐标面分割空若以三坐标面分割空得小六得小六面体面体(红色部分红色部分).于是于是,在在球面坐标系球面坐标系中，中，间区域间区域79通常是通常是注注q qj jj jdddsin2rr80如积分域如积分域为球域为球域(如图如图).则则)81当积分区域是球形域当积分区域是球形域或上半部是球面下半部是顶点在原点的锥面或上半部是球面下半部是顶点在原点的锥面,被积函数具有被积函数具有的形式时的形式时,用用球面坐标球面坐标计算三重积分较简便计算三重积分较简便.或是球的一部分或是球的一部分;)(222zyxf+824.三重积分的性质三重积分的性质与二重积分的性质类似与二重积分的性质类似.补充三重积分补充三重积分对称性质对称性质则称则称f关于变量关于变量z的的奇奇 函数函数.(1)关于关于坐标面的上半部区域坐标面的上半部区域.(偶偶)83(2)关于两个坐标面关于两个坐标面在第一在第一,五卦限部分的区域五卦限部分的区域.同为同为f的奇函数的奇函数yx,84关于关于三个三个坐标坐标面面都都对称对称,在第在第一一卦限部分的区域卦限部分的区域.(3)的奇函数的奇函数zyx,85(4)关于关于原点对称原点对称,关于原点对称的一半区域关于原点对称的一半区域.W W若若中中为为其中其中W WW W4861989年研究生考题年研究生考题(数学一数学一)计算计算,5分分解解被积函数是被积函数是围成的空间区域围成的空间区域,x的奇函数的奇函数.球球22221yxzyxz-=+=与与是曲面是曲面设设W W96第十章第十章第十章第十章 曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分曲线积分的性质及两类曲线积分的关系曲线积分的性质及两类曲线积分的关系.2.会计算两类曲线积分会计算两类曲线积分.曲线积分与路径无关的条件曲线积分与路径无关的条件.1.理解两类曲线积分的概念理解两类曲线积分的概念,了解两类了解两类3.掌握格林掌握格林(Green)公式公式,会使用平面会使用平面97Gauss)、4.了解两类曲面积分的概念及高斯了解两类曲面积分的概念及高斯并会并会计算两类曲面积分计算两类曲面积分.斯托克斯斯托克斯(Stokes)公式公式,98一、对弧长曲线积分的计算一、对弧长曲线积分的计算定理定理其中其中则则有定义且连续有定义且连续,具有一阶连续导数具有一阶连续导数,tttd)()(22y yj j+注意注意对弧长的曲线积分要求对弧长的曲线积分要求定积分的下限定积分的下限一定要小于上限一定要小于上限99特殊情形特殊情形(1)(2)tttd)()(22y yj j+100(3)推广推广tttd)()(22y yj j+101或或此时需把它化为此时需把它化为参数方程参数方程再按上述方法计算再按上述方法计算.为参数为参数),是两个曲面的交线是两个曲面的交线如果积分路径如果积分路径L102 在一条光滑在一条光滑(或分段光滑或分段光滑)的的是是L上上关于关于x 的奇函数的奇函数 是是L上关于上关于x 的偶函数的偶函数 L1是曲线是曲线L落在落在y 轴一侧的部分轴一侧的部分.在分析问题和算题时常用的在分析问题和算题时常用的L关于关于y轴轴 对称对称,补充补充对称性质对称性质曲线曲线L上连续上连续,则则当当(或或y)(或或y)当当(或或x轴轴)(或或x)103例例其中其中L是圆周是圆周解解因因积分曲线积分曲线L关于关于被积函数被积函数x是是L上上被积函数被积函数因因积分曲线积分曲线L关于关于对称性对称性,计算计算得得是是L上上y轴轴对称对称,关于关于x的奇函数的奇函数x轴轴对称对称,关于关于y的奇函数的奇函数104对坐标的曲线积分与曲线的方向有关对坐标的曲线积分与曲线的方向有关.二、对坐标的曲线积分的计算二、对坐标的曲线积分的计算思想是思想是因此下限应是起点的坐标因此下限应是起点的坐标,化为定积分计算化为定积分计算.上限是终点的上限是终点的坐标坐标.对坐标的曲线积分与对坐标的曲线积分与曲线的方向有关曲线的方向有关.所以对坐标的曲线积分应该特别注意积分弧所以对坐标的曲线积分应该特别注意积分弧段的方向！段的方向！105定理定理连续连续,且且106可见：可见：(1)对对坐标坐标的曲线积分的计算同样是转化为定积分。的曲线积分的计算同样是转化为定积分。(2)转化为定积分只要做两个工作：转化为定积分只要做两个工作：代换代换(将函数中的将函数中的x,y 代换为曲线的参数方程代换为曲线的参数方程)；定定 限限(确定确定 积分的上下限，与第一类曲线积分不同积分的上下限，与第一类曲线积分不同)。(3)由于第二类曲线积分与方向有关，所以转化为定积分由于第二类曲线积分与方向有关，所以转化为定积分 必须是必须是下限对应于弧线的起点，上限对应于终点，上下限对应于弧线的起点，上限对应于终点，上 限未必大于下限。限未必大于下限。(4)本公式也表示：本公式也表示：107特殊情形特殊情形(1)则则(2)则则108(3)推广推广109例例解解(1)110(2)111 其中其中是由点是由点A(1,1,1)到点到点B(2,3,4)的直线段的直线段.直线直线AB的方程为的方程为解解化成参数式方程为化成参数式方程为于是于是例例A点对应点对应B点对应点对应+=10d3)31(d2)21(d)1(tttttt112补充补充在分析问题和算题时常用的在分析问题和算题时常用的L在上半平面部分与在上半平面部分与P(x,y)为为P(x,y)为为其中其中L1是曲线是曲线L的上半平面的部分的上半平面的部分.类似地类似地,对称性质对称性质对对坐标坐标的曲线积分的曲线积分,当平面曲线当平面曲线L是分段是分段光滑的光滑的,关于关于下半平面部分的走向相反时下半平面部分的走向相反时,x 轴对称轴对称,则则y的偶函数的偶函数y的奇函数的奇函数的讨论也有相应的结论的讨论也有相应的结论.对对113三、两类曲线积分之间的关系三、两类曲线积分之间的关系设设有向有向平面曲线弧为平面曲线弧为则则有向有向曲线弧曲线弧L的切向量为的切向量为)(),(ttty yj j =r114可用向量表示可用向量表示有向曲线元有向曲线元则则推广推广空间曲线空间曲线115四、格林公式四、格林公式格林定理格林定理(定理定理1)1)设设闭闭区域区域D由分段光滑的由分段光滑的曲线曲线L围成围成,在在D上具有上具有一阶连续偏导数一阶连续偏导数,则有则有公式公式(1)称称其中其中L是是 D的取的取正向正向的边界曲线的边界曲线.格林公式格林公式.116当观察者沿边界行走时当观察者沿边界行走时,(1)P、Q在闭区域在闭区域D上一阶偏导数的连续性上一阶偏导数的连续性;(2)曲线曲线L是封闭的是封闭的,并且取正向并且取正向.注注规定规定 边界曲线边界曲线L的的正向正向区域区域D总在他的总在他的左边左边.117格林公式的实质格林公式的实质之间的联系之间的联系.沟通了沿闭曲线的积分与沟通了沿闭曲线的积分与二重积分二重积分 便于记忆形式便于记忆形式:118(1)计算平面面积计算平面面积1.简单应用简单应用格林公式格林公式得得闭区域闭区域D的的面积面积119 例例 求椭圆求椭圆解解由公式由公式得得D所围成的面积所围成的面积.120.(2)简化曲线积分简化曲线积分例例其中其中L为圆周为圆周解解由由格林公式格林公式有有对称性对称性的的正向正向.121对对平面闭曲线平面闭曲线上的对坐标曲线积分上的对坐标曲线积分,比较简单时比较简单时,常常考虑通过常常考虑通过格林格林公式公式化为化为二重积分二重积分来计算来计算.122例例 计算计算分析分析但由但由可知可知非常简单非常简单.其中其中AO是从点是从点的上半圆周的上半圆周到到点点此积分路径此积分路径不是闭曲线不是闭曲线!)0,(aA123为应用为应用格林公式格林公式再补充一段曲线再补充一段曲线,因在补充的曲线上还要算曲线积分因在补充的曲线上还要算曲线积分,补充的曲线要简单补充的曲线要简单,使之构成使之构成闭曲线闭曲线.所以所以因而这里补加直线段因而这里补加直线段直线段直线段.通常是补充与坐标轴平行的通常是补充与坐标轴平行的 L不闭合不闭合+边边L,使使L+L闭合闭合,再用再用格林公式格林公式.由由格林公式格林公式解解的方程为的方程为故故所以所以,)0,(aAymyexmyyexOAxd)cos(d)sin(-+-124(3)简化二重积分简化二重积分则则解解 令令例例为顶点的三角形闭区域为顶点的三角形闭区域.格林公式格林公式125定理定理2 2设开区域设开区域G是一个单连通域是一个单连通域,在在G内恒成立内恒成立.函数函数P(x,y),Q(x,y)在在G内具有一阶连续偏导数内具有一阶连续偏导数,则则曲线积分曲线积分在在G内与路径无关内与路径无关(或沿或沿G内任意闭内任意闭曲线的曲线积分为零曲线的曲线积分为零)的的 充要条件充要条件是是2.平面上曲线积分与路径无关的条件平面上曲线积分与路径无关的条件两条件缺一不可两条件缺一不可126考虑表达式考虑表达式如果存在一个函数如果存在一个函数使得使得则称则称并将并将全微分式全微分式,为一为一原函数原函数.3.二元函数的全微分求积二元函数的全微分求积127定理定理3 3 设开区域设开区域G是一个是一个单连通域单连通域,函数函数P(x,y),Q(x,y)在在G内具有一阶连续偏导数内具有一阶连续偏导数,则则 下面说明一般怎样下面说明一般怎样在在G内恒成立内恒成立.在在G内为某一函数内为某一函数的全微分的的全微分的 充要条件充要条件是等式是等式求原函数求原函数判断全微分式判断全微分式129解解原式原式=原积分与路径无关原积分与路径无关.例例131解解原式原式=原积分与路径无关原积分与路径无关.例例132五、对面积的曲面积分的计算五、对面积的曲面积分的计算则则按照曲面的不同情况分为以下三种：按照曲面的不同情况分为以下三种：思想是思想是:化为二重积分计算化为二重积分计算.(1)133则则则则(2)(3),(zxyy=),(zxyzxyyzxdd122+:若曲面若曲面134确定投影域并写出确定投影域并写出 然后算出曲面面积元素然后算出曲面面积元素;最后将曲面方程代入最后将曲面方程代入被积函数被积函数,对面积的曲面积分时对面积的曲面积分时,首先应根据首先应根据化为二化为二曲面曲面选好投影面选好投影面,曲面曲面的方程的方程,重积分进行计算重积分进行计算.135空间曲面空间曲面的面积的面积:面密度为连续函数面密度为连续函数的质量的质量M为为:其质心坐标为其质心坐标为:136例例解解投影域投影域:所截得的部分所截得的部分.故故对称性对称性yxdd2=137 补充补充设分片光滑的设分片光滑的x的奇函数的奇函数x的偶函数的偶函数其中其中则则曲面曲面关于关于yOz面对称面对称,138计算计算其中其中为球面为球面之位于平面之位于平面 曲面曲面的方程的方程在在xOy面上的面上的投影域投影域解解上方的部分上方的部分.139因曲面因曲面于是于是x3是是x的奇函数，的奇函数，x2y是是y的奇函数的奇函数.关于关于yOz面及面及xOz面对称面对称;yxyxaadd222-=140例例解解积分曲面方程积分曲面方程轮序轮序对称对称提示提示即三个变量轮换位置方程不变即三个变量轮换位置方程不变.具有具有轮换对称性轮换对称性,中的变量中的变量x、y、z141计算计算其中其中为球面为球面之位于平面之位于平面 曲面曲面的方程的方程在在xOy面上的面上的投影域投影域解解上方的部分上方的部分.142因曲面因曲面于是于是x3是是x的奇函数，的奇函数，x2y是是y的奇函数的奇函数.关于关于yOz面及面及xOz面对称面对称;yxyxaadd222-=143例例解解积分曲面方程积分曲面方程轮序轮序对称对称提示提示即三个变量轮换位置方程不变即三个变量轮换位置方程不变.具有具有轮换对称性轮换对称性,中的变量中的变量x、y、z144六、对坐标的曲面积分的计算六、对坐标的曲面积分的计算1.有向曲面在坐标面上的投影有向曲面在坐标面上的投影设设是是有向曲面有向曲面.假定假定的余弦的余弦上各点处的法向量与上各点处的法向量与 z轴的夹角轴的夹角有相同的符号有相同的符号.在有向曲面在有向曲面取一小块取一小块145 类似地类似地,可定义可定义 在在yOz面及面及zOx面的投影面的投影:在在xOy面上的面上的投影投影在在xOy面上的投影区域的面积附以一定的面上的投影区域的面积附以一定的实际上就是实际上就是正负号正负号.146上侧上侧,设积分曲面设积分曲面是由是由的曲面的曲面在在xOy面面上的投影区域为上的投影区域为函数函数具有一阶连续偏导数具有一阶连续偏导数,被积函数被积函数R(x,y,z)在在上连续上连续.147对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分,必须注意曲面所取的必须注意曲面所取的注注侧侧.148 计算计算对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分时时:(1)认定对哪两个坐标的积分认定对哪两个坐标的积分,将曲面将曲面表为表为这两个变量的函数这两个变量的函数,并确定并确定的投影域的投影域.(2)将将 的方程代入被积函数的方程代入被积函数,化为投影域上化为投影域上的二重积分的二重积分.(3)根据根据的侧的侧(法向量的方向法向量的方向)确定二重积分确定二重积分前的正负号前的正负号.149设有向曲面设有向曲面是由方程是由方程函数函数具有一阶连续偏导数具有一阶连续偏导数,被积函数被积函数 给出给出,七、两类曲面积分之间的联系七、两类曲面积分之间的联系在在xOy是由方程面上投影区域为是由方程面上投影区域为对坐标的曲面积分为对坐标的曲面积分为R(x,y,z)在在上连续上连续.150曲面曲面的法向量的法向量的方向余弦为的方向余弦为对面积的曲面积分为对面积的曲面积分为所以所以(注意取曲面的两侧均成立注意取曲面的两侧均成立)151两类曲面积分之间的联系两类曲面积分之间的联系类似可得类似可得不论哪一侧都成立不论哪一侧都成立.其中其中是有向曲面是有向曲面在点在点处的法向量的方向余弦处的法向量的方向余弦.152 格林公式格林公式把平面上的把平面上的闭曲线积分闭曲线积分与与本节的本节的高斯公式高斯公式表达了空间闭曲面表达了空间闭曲面上的上的曲面积分曲面积分与曲面所围空间区域上的与曲面所围空间区域上的三重积分三重积分的关系的关系.所围区域的所围区域的二重积分二重积分联系联系起来起来.八、高斯公式八、高斯公式153具有具有则有公式则有公式一阶连续偏导数一阶连续偏导数,或或 高斯公式高斯公式外侧外侧,闭闭155高斯公式为计算高斯公式为计算(闭闭)曲面积分提供了曲面积分提供了它能简化曲面积分的计算它能简化曲面积分的计算.一个新途径一个新途径,表达了空间闭区域上的三重积分与其表达了空间闭区域上的三重积分与其边界曲面上的曲面积分之间的关系边界曲面上的曲面积分之间的关系.高斯高斯Gauss公式的实质公式的实质156使用使用Guass公式时易出的差错公式时易出的差错:(1)搞不清搞不清是对什么变量求偏导是对什么变量求偏导;(2)不满足高斯公式的条件不满足高斯公式的条件,用公式计算用公式计算;(3)忽略了忽略了 的取向的取向,注意是注意是取闭曲面的取闭曲面的外侧外侧.高斯公式高斯公式157有时可作有时可作辅助面辅助面,(将辅助面上的积分减去将辅助面上的积分减去).化为闭曲面的曲面积分化为闭曲面的曲面积分,然后利用然后利用高斯公式高斯公式.对有的对有的 非闭曲面非闭曲面的曲面积分的曲面积分,158例例 计算曲面积分计算曲面积分之间之间下侧下侧.的法向量的方向余弦的法向量的方向余弦.部分的部分的解解空间曲面空间曲面在在xOy面上的面上的曲面曲面 不是不是 为利用高斯公式为利用高斯公式.投影域为投影域为补补封闭曲面封闭曲面,159由对称性由对称性先先二二后后一一法法160故所求积分为故所求积分为yxyxSdddd001d=+=161九、斯托克斯九、斯托克斯(Stokes)公式公式斯托克斯公式斯托克斯公式定理定理为分段光滑的空间有向为分段光滑的空间有向闭闭曲线曲线,是以是以边界的分片光滑的边界的分片光滑的有向曲面有向曲面,具有一阶连续偏导数具有一阶连续偏导数,则有公式则有公式为为G G 162 即有即有其中其中方向余弦方向余弦.是是指定一侧的法向量指定一侧的法向量163的正向与的正向与的侧符合右手规则的侧符合右手规则:当右手除拇指外的四指依当右手除拇指外的四指依 的绕行方向时的绕行方向时,右手法则右手法则拇指所指的方向与拇指所指的方向与上法向量的指向相同上法向量的指向相同.是有向曲面是有向曲面的正向边界曲线的正向边界曲线.称称164另一种形式另一种形式便于记忆形式便于记忆形式yxyPxQxzxRzPzyzQyRdd)(dd)(dd)(-+-+-165Stokes公式的实质公式的实质 表达了有向曲面上的曲面积分与其表达了有向曲面上的曲面积分与其边界曲线上的曲线积分之间的关系边界曲线上的曲线积分之间的关系.166解解 法一法一 按按斯托克斯公式斯托克斯公式,计算曲线积分计算曲线积分例例其中其中被三坐标面所截成的被三坐标面所截成的三角形的整个边界三角形的整个边界,它的正向与这个三角形上侧它的正向与这个三角形上侧的法向量之间符合右手规则的法向量之间符合右手规则.有有167168按按斯托克斯公式斯托克斯公式,法二法二有有1791.1.理解无穷级数收敛、发散以及和的概念理解无穷级数收敛、发散以及和的概念,2.掌握几何级数和掌握几何级数和 p级数的收敛性级数的收敛性.数的比值审敛法数的比值审敛法.4.了解交错级数的莱布尼茨定理了解交错级数的莱布尼茨定理.了解无穷级数基本性质及收敛的必要条件了解无穷级数基本性质及收敛的必要条件.3.了解正项级数的比较审敛法了解正项级数的比较审敛法,掌握正项级掌握正项级第十一章第十一章第十一章第十一章 无穷级数无穷级数无穷级数无穷级数180 6.了解函数项级数的收敛域及和函数的了解函数项级数的收敛域及和函数的 7.掌握幂级数收敛区间的求法掌握幂级数收敛区间的求法.8.了解幂级数在其收敛区间内的一些基了解幂级数在其收敛区间内的一些基 5.了解无穷级数绝对收敛与条件收敛的了解无穷级数绝对收敛与条件收敛的概念概念以及绝对收敛与收敛的关系以及绝对收敛与收敛的关系.概念概念.本性质本性质.181 9.了解函数展开为泰勒级数的充分必要了解函数展开为泰勒级数的充分必要 条件条件.10.会利用会利用的麦克劳林展开式的麦克劳林展开式将一些简单的函数间接展将一些简单的函数间接展开成幂级数开成幂级数.11.了解函数展开为傅里叶级数的狄里克了解函数展开为傅里叶级数的狄里克雷条件雷条件.182一、一、正项级数正项级数及其审敛法及其审敛法1.定义定义正项级数正项级数2.收敛的充要条件收敛的充要条件单调增加数列单调增加数列这时这时,只可能有两种情形只可能有两种情形:1833.比较审敛法比较审敛法定理定理2 2则则收收敛敛收收敛敛发散发散发散发散184(1)几何级数几何级数使用使用正项正项级数的比较判定法时级数的比较判定法时,常用的比较级数常用的比较级数一些级数的敛散性一些级数的敛散性,作为比较的标准作为比较的标准.需要知道需要知道(2)p-级数级数(3)调和级数调和级数发散发散1854.4.比较审敛法的极限形式比较审敛法的极限形式定理定理3 3两级数有相同的敛散性两级数有相同的敛散性;186注注由比较审敛法可推出如下快速的审敛法由比较审敛法可推出如下快速的审敛法当分母当分母,分子关于分子关于n的最高次数分别为的最高次数分别为级数级数收敛收敛;级数级数发散发散.例如例如收敛收敛.187定理定理4 45.5.比值审敛法比值审敛法(达朗贝尔达朗贝尔 判定法判定法)收敛收敛发散发散方法方法失效失效188级数收敛级数收敛.定理定理5 5适用于适用于:以以n为指数幂的因子为指数幂的因子6.根值审敛法根值审敛法(柯西判别法柯西判别法)收敛收敛发散发散方法方法失效失效189将正项级数与将正项级数与P级数作比较得：级数作比较得：定理定理6（极限审敛法）（极限审敛法）设设为正项级数，为正项级数，（1）如果）如果（2）如果）如果190正、负项相间的级数称为正、负项相间的级数称为定义定义交错级数交错级数.定理定理6 6(莱布尼茨定理莱布尼茨定理)二、二、交错级数交错级数及其审敛法及其审敛法如果交错级数如果交错级数满足满足191注注un与与un+1大小的方法有三种大小的方法有三种:(1)比值法比值法,?(3)由由un找出一个连续可导函数找出一个连续可导函数考察考察?(2)差值法差值法,用莱布尼茨定理判别交错级数用莱布尼茨定理判别交错级数是否收敛时是否收敛时,要考察要考察un与与un+1大小大小,比较比较192注注不满足也不满足也条件条件(2)条件条件(1)莱布尼茨定理条件中莱布尼茨定理条件中就是说就是说,某些交错级数即使条件某些交错级数即使条件(1)()只是只是充分充分条件条件.是是收敛的必要条件收敛的必要条件.不是必要条件不是必要条件.仍有可能是收敛的仍有可能是收敛的.193三、绝对收敛与条件收敛三、绝对收敛与条件收敛定理定理1 1194通常先考查它通常先考查它若使用比值法或若使用比值法或根值法判定级数不绝对收敛根值法判定级数不绝对收敛(这时级数的通项这时级数的通项不趋于零不趋于零),对交错级数对交错级数,利用无穷级数的性质利用无穷级数的性质1、2 将级数将级数如不是绝如不是绝对收敛的对收敛的,再看它是否条件收敛再看它是否条件收敛.便可断言级数发散便可断言级数发散.可用可用莱布尼茨定理莱布尼茨定理.然后讨论敛散性也是常用手段然后讨论敛散性也是常用手段.拆开为两个级数拆开为两个级数,(用正项级数的审敛法用正项级数的审敛法),讨论讨论任意项级数任意项级数的收敛性时的收敛性时,是否绝对收敛是否绝对收敛1951.1.定义定义如下形式的函数项级数如下形式的函数项级数称为称为的的幂级数幂级数.的的幂级数幂级数.定义定义称为称为四、四、幂级数及幂级数及其收敛性其收敛性196正数正数R称为幂级数的称为幂级数的幂级数的幂级数的收敛区间收敛区间,由由幂级数在幂级数在规定规定问问:如何求幂级数的收敛半径如何求幂级数的收敛半径?定义定义收敛半径收敛半径.(1)幂级数只幂级数只在在x=0处收敛处收敛,收敛区间收敛区间(2)幂级数对一切幂级数对一切 x 都收敛都收敛,收敛区间收敛区间的收敛性的收敛性得其得其收敛域收敛域197设设定理定理2 2 如果幂级数如果幂级数的所有系数的所有系数198 把函数项级数中的变量把函数项级数中的变量x视为参数视为参数,通过常数通过常数项级数的敛散性判别法项级数的敛散性判别法,哪些哪些 x 值发散值发散,些些 x 值收敛值收敛,来判定函数项级数对哪来判定函数项级数对哪这是确定函数项级数这是确定函数项级数收敛域的基本方法收敛域的基本方法.199五五、函数展开成傅里叶级数函数展开成傅里叶级数傅里叶系数傅里叶系数由由这些系数这些系数作成的三角级数作成的三角级数2002.狄利克雷狄利克雷(Dirichlet)充分条充分条件件(收敛定理收敛定理)上它的和函数为上它的和函数为且在且在,p pp p-,)(都收敛都收敛一点一点产生的傅里叶级数在任产生的傅里叶级数在任则由则由xxf201当当x是是f(x)的连续点时的连续点时当当x是是f(x)的间断点时的间断点时由定理可知由定理可知:在在 f(x)的连续点处的连续点处,都收敛到都收敛到 f(x)自身自身202周期函数的周期函数的傅里叶级数解题程序傅里叶级数解题程序:并验证是否满足狄氏条件并验证是否满足狄氏条件(画图目的画图目的:验证狄氏条件验证狄氏条件;由图形写出收敛域由图形写出收敛域;易看出奇偶性可减少求系数的工作量易看出奇偶性可减少求系数的工作量);(2)求出傅氏系数求出傅氏系数;(3)写出傅氏级数写出傅氏级数,并注明它在何处收敛于并注明它在何处收敛于f(x).(1)画出画出 f(x)的图形的图形,203由奇函数与偶函数的积分性质由奇函数与偶函数的积分性质系数的公式系数的公式,易得下面的结论易得下面的结论.和傅里叶和傅里叶此时称傅里叶级数为此时称傅里叶级数为(sine series)正弦级数正弦级数,sine series and cosine series六六、正弦级数和余弦级数、正弦级数和余弦级数它的傅里叶系数为它的傅里叶系数为,)(2.1展成傅里叶级数时展成傅里叶级数时的奇函数的奇函数当周期为当周期为xfp p204此时称傅里叶级数为此时称傅里叶级数为注注将函数展为傅里叶级数时将函数展为傅里叶级数时,先要考查函数先要考查函数是非常有用的是非常有用的.是否有奇偶性是否有奇偶性,(cosine series)余弦级数余弦级数,它的傅里叶系数为它的傅里叶系数为,)(2.2展成傅里叶级数时展成傅里叶级数时的偶函数的偶函数当周期为当周期为xfp p205 奇延拓奇延拓 偶延拓偶延拓两种两种:正弦级数正弦级数.偶函数偶函数,奇函数奇函数,余弦级数余弦级数;因而展开成因而展开成因而展开成因而展开成206八、以八、以2l为周期为周期的傅氏级数的傅氏级数定理定理代入傅氏级数中代入傅氏级数中设周期为设周期为2l 的周期函数的周期函数 f(x)满足收敛满足收敛定理的条件定理的条件,则它的傅里叶级数展开式为则它的傅里叶级数展开式为207则有则有奇函数奇函数,(1)如果如果 f(x)为为其中系数其中系数208则有则有注注偶函数偶函数,(2)如果如果 f(x)为为其中系数其中系数以以2l为周期的函数的傅里叶级数有一样为周期的函数的傅里叶级数有一样的收敛定理的收敛定理,微分方程微分方程
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